专题04 【五年中考+一年模拟】解三角形综合题-山西中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题04解三角形综合题1．（2022•山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到．参考数据：，，，．【答案】楼与之间的距离的长约为【详解】延长，分别与直线交于点和点，则，，，在中，，，是的一个外角，，，，在中，，，，楼与之间的距离的长约为．2．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，．【答案】指示牌最高点到地面的距离约为【详解】过点作于点，交直线于点，过点作于点，于点，则四边形和四边形均为矩形，如图所示：，，，，，在中，，，，在中，，，，，．答：指示牌最高点到地面的距离约为．3．（2020•山西）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人【详解】（1）连接，并向两方延长，分别交，于，，由点，在同一条水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，，在中，，，，，，，与之间的距离为；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意得，，解得：，经检验，是原方程的根，当时，，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．4．（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题测量旗杆的高度成员组长：组员：，，测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上．测量数据测量项目第一次第二次平均值的度数的度数，之间的距离任务一：两次测量，之间的距离的平均值是．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．（参考数据：，，，，，任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】见解析【详解】任务一：，故答案为：5.5；任务二：设，在中，，，，，在中，，，，，，，，（米，答：旗杆的高度为14.7米；任务三：没有太阳光或旗杆底部不可能到达．5．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内．测量数据的度数的度数的长度234米（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．【答案】（1）斜拉索顶端点到的距离为72米；（2）见解析【详解】（1）过点作于点．设米，在中，，．，．在中，，．，．，．解得．答：斜拉索顶端点到的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）6．（2022•山西模拟）某校数学兴趣小组开展综合实践活动——测量校园内旗杆的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点处安置测倾器，测得旗杆顶部点的仰角，在与点相距4.5米的点处安置测倾器，测得点的仰角（点，，在同一条水平线上，且点，，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一直线上），求旗杆顶部离地面的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，【答案】旗杆顶部离地面的高度约为9.9米【详解】如图，延长交于，则，设米，在中，，米，米，在中，，，，解得：，（米，答：旗杆顶部离地面的高度约为9.9米．7．（2022•山西模拟）2021年是中北大学建校80周年，某校“综合与实践”小组的同学来到中北大学参观学习，他们在德怀楼前的广场上参观了彭德怀元帅的雕像（如图，并计划测量“彭德怀元帅雕像”的高度．他们制定了测量方案并完成了实地测量．如图2，该小组同学在点处用测角仪（高度不计）测得该雕像顶端的仰角，向雕像的另一侧前进到达点处，再次测得该雕像顶端的仰角．已知该同学的眼睛到地面的距离为，请根据上述测量数据，求彭德怀元帅雕像的高度．（结果精确到；参考数据：，，【答案】彭德怀元帅雕像的高度为【详解】连接，过点作，垂足为，则四边形是矩形，，设，在中，，，在中，，，，，解得：，，，彭德怀元帅雕像的高度为．8．（2022•山西一模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直．量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．（1）求的度数；（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为．问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，【答案】（1）；（2）此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，，在中，，，，，；（2），，，，，，，，此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内．9．（2022•临汾二模）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即，将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，【答案】与之间的距离约为1.4米【详解】作于点，作于点，延长到点，使得，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，在中，，，，答：与之间的距离约为1.4米．10．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点为该校快递收纳站点，点，分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点出发，沿着的路径派送快递．已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，点与点相距1000米，求点到点的距离．（结果精确到，参考数据：，，，【答案】点到点的距离大约为1903米【详解】如图，作交的延长线于．在中，，，米，米，米，在中，，（米，（米．故点到点的距离大约为1903米．11．（2022•交城县模拟）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为，固定支点到水平桌面的距离为，当支架、拉直时所形成的线段与点共线且与底座垂直，此时测得到底座的距离为（线段，，的和），经调试发现，当，时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得到的水平距离为，求此时点到桌面的距离．（参考数据：，，，【答案】点到桌面得距离为【详解】过点作平行于水平桌面，过点作于点，再延长交于点，由题意可知：，，，，，，，，，，，，在中，，，，，在中，，，，点到桌面得距离为．12．（2022•晋中一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，悬臂安装在窗扇上，支点、、始终在一条直线上，已知托臂厘米，托臂厘米，支点，之间的距离是10厘米，张角．（1）求支点到滑轨的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块向左侧移动到，（在移动过程中，托臂长度不变，即，当张角时，求滑块向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：，，，【答案】（1）支点到滑轨的距离为23厘米；（2）滑块向左侧移动的距离是6厘米【详解】（1）过作于，过作于，，，，，，，，，，，，（厘米）；支点到滑轨的距离为23厘米；（2）过作于，，，，，，，，（厘米），滑块向左侧移动的距离是6厘米．13．（2022•云冈区一模）如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图．、、是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在涓动轨道上，两门关闭时（图，，分别在，处，门缝忽略不计（即，重合），两门同时开启，点，分别沿，的方向同时匀速滑动（如图，当到达时，恰好到达，此时两门完全开启，在门开启的过程中，时，求的度数．【答案】的度数为【详解】由题意得，，，，，，，，，故的度数为．14．（2022•山西模拟）2022年春节假期正逢北京冬奥会，使滑雪这项“冷运动”成了“热时尚”．某地计划将一个山坡改造成一个滑雪场的滑道，滑道由和两段组成，的坡角，的坡角，已知山坡的水平距离，铅直高度，求滑道的铅直高度的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，【答案】滑道的铅直高度的长约为【详解】如图所示：过点作于点，由题意可得：，，则四边形是矩形，设的长为，，，，，，，，在中，，，即，在中，，，即，，，，解得：，答：滑道的铅直高度的长约为．15．（2022•吕梁模拟）图1为太阳能路灯，其顶端是太阳能电池板，白天吸收太阳光向灯杆中的蓄电池组充电，晚上蓄电池组提供电力给灯光源供电，实现照明功能．图2是该路灯上部的平面示意图，灯臂，支架与立柱分别交于，两点，灯臂与支架交于点．已知，，，，点到地面的距离为，求路灯最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，，【答案】路灯最高点到地面的距离约为【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，路灯最高点到地面的距离，路灯最高点到地面的距离约为．16．（2022•山西二模）某校“综合与实践”小组来到太原文瀛公园进行参观研学，对人民革命烈士纪念碑的高度进行了实地测量．项目操作如下：如图，测角仪的高度米，他们分别在点和点处测得纪念碑顶端的仰角分别为，，且米，，，，，，，在同一竖直平面内，且，，在同一条水平线上，，，在同一条水平线上，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米，，【答案】纪念碑的高度约为4.1米【详解】由题意得：米，米，设米，在中，，（米，在中，，（米，，，，米，（米，纪念碑的高度约为4.1米．17．（2022•阳高县校级一模）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走10米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处20米．已知坡面米，山坡的坡度（即，且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：，【答案】条幅的长度是17米【详解】过点作于，过点作于于，坡面米，山坡的坡度，米，米，米，，米，米，，米，米，答：条幅的长度是17米．18．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，且其上半身长为，．（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角的度数；（2）求此刻运动员头部到斜坡的高度．（结果精确到，参考数据：，，，【答案】（1）；（2）此刻运动员头部到斜坡的高度约为【详解】（1）连接，，，，，三点共线，，，，，；（2）由（1）得，在中，，在中，，，，，答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为．19．（2022•山西模拟）如图是太原地铁2号线某一个入站口扶梯设计的示意图．起初工程师计划修建一段扶梯，扶梯总长为40米，点到地面的距离为米．但这样斜坡太陡、扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建，两段扶梯，并在扶梯的连接处修建5米的平台，减缓各扶梯的坡度．其中扶梯和平台形成的，扶梯与水平面的夹角，扶梯长米．求此时，修建的入站路程从点到点的路程总长是多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，【答案】修建的入站路程从点到点的路程总长约60.7米【详解】过点作于点，过点作于点，延长交于点，，．，四边形是矩形，，，，，在中，米，，，（米，米，米，米，在中，，，米，（米．答：修建的入站路程从点到点的路程总长约60.7米．20．（2022•平遥县一模）受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，观看比较适宜，试求此时点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，【答案】点到的距离约为【详解】过点作，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为，则，，在中，，，，，，，，在中，，，，，点到的距离约为．21．（2022•山西模拟）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知于点，底座的长为1米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮球底部支架，于点，已知长米，长为米，长1米．（1）求篮板底部支架与支架所成的角的度数；（2）求篮板底部点到地面的距离（结果保留根号）．【答案】（1）篮板底部支架与支架所成的角的度数为；（2）篮板底部点到地面的距离为米【详解】（1），，在中，米，米，，，篮板底部支架与支架所成的角的度数为；（2）延长交直线与点，过点作，垂足为，，，，，，，，四边形是矩形，，，，（米，（米，（米，在中，（米，（米，米，篮板底部点到地面的距离为米．22．（2022•迎泽区校级模拟）某景区、两个景点位于湖泊两侧，游客从景点到景点必须经过处才能到达．观测得景点在景点的北偏东，从景点出发向正北方向步行600米到达处，测得景点在的北偏东方向．（1）求景点和处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点到景点的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点到景点比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：，【答案】（1）景点和处之间的距离为；（2）大桥修建后，从景点到景点比原来少走约【详解】（1）过点作于点，由题意得，，，，在中，，，，，，，，，答：景点和处之间的距离为；（2）由题意得．，，，答：大桥修建后，从景点到景点比原来少走约．23．（2022•运城二模）关公是山西运城的名片，在解州常平关公故里的南山上有一尊世界上最高的关公铜像．它静静耸立在中条山间，远眺着河东大地，护佑着运城万民．数学实践小组想利用所学知识测量关公铜像的高度，下面是他们测量得到的相关数据：如图，他们在坡脚测得铜像顶端的仰角，然后沿坡面行走了一段距离到达处，发现垂直距离升高了10米（即点到的垂直距离为10米），在处测得铜像顶端的仰角，已知，点，，，，，均在同一平面内，，为地平线，请你根据以上数据，利用所学知识求出关公铜像的高度．（参考数据：，，【答案】关公铜像的高度约为60米【详解】延长交于，交于，过点作于，则四边形为矩形，米，，设米，在中，，米，则米，米，在中，，则米，，，即，解得：，（米，