高三数学寒假练习试卷一（理科）

高三数学寒假练习试卷一（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z1+z2等于（）A．4i B．﹣4i C．2 D．﹣22．（5分）已知命题p∧q是假命题，p∨q是真命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p B．（￢p）∧（￢q） C．q D．（￢p）∨（￢q）3．（5分）若集合M={x|x2﹣x＜0}，N={y|y=ax（a＞0，a≠1）}，R表示实数集，则下列选项错误的是（）A．M∩N=M B．M∪N=R C．M∩∁RN=φ D．∁RM∪N=R4．（5分）函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A． B． C． D．5．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+c的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．126．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、体积、比例、开方、高次方程等问题，《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a，b分别为8，2，则输出的n等于（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．138．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是（）A．27π B．36π C．45π D．54π9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A种原料20吨，B种原料36吨，C种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（）ABC甲242乙448A．17万元 B．18万元 C．19万元 D．20万元10．（5分）已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC，AB=，则△ABC外接圆的直径为．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为元．13．（5分）已知△ABC是正三角形，O是△ABC的中心，D和E分别是边AB和AC的中点，若，则x+y=．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有个（用数字作答）15．（5分）抛物线x2=2my（m＞0）的焦点为F，其准线与双曲线有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知，求的值．17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收入（单位：百元）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[来源XK]频数251001501555020赞成人数10701201503515（1）从月收入在[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）数列{an}的前项和记为Sn，a1=t，点（an+1，Sn）在直线上n∈N+．（1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？并求数列{an}的通项公式；（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），在（1）的结论下，令，求{cn}的前n项和Tn．20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2ex，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z1+z2等于（）A．4i B．﹣4i C．2 D．﹣2【解答】解：===﹣1+2i，∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z2=﹣1﹣2i则z1+z2=﹣2．故选：D．2．（5分）已知命题p∧q是假命题，p∨q是真命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p B．（￢p）∧（￢q） C．q D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：∵命题p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴p，q一真一假，当p真，q假时，命题（￢p）∧（￢q），B为假命题，命题（￢p）∨（￢q）为真命题；当p假，q真时，命题（￢p）∧（￢q），B为假命题，命题（￢p）∨（￢q）为真命题；故命题（￢p）∨（￢q）一定为真命题；故选：D3．（5分）若集合M={x|x2﹣x＜0}，N={y|y=ax（a＞0，a≠1）}，R表示实数集，则下列选项错误的是（）A．M∩N=M B．M∪N=R C．M∩∁RN=φ D．∁RM∪N=R【解答】解：∵集合M={x|x2﹣x＜0}=（0，1），N={y|y=ax（a＞0，a≠1）}=（0，+∞），∴M∩N=M，M∪N=（0，+∞），∁RN=（﹣∞，0]，∁RM=（﹣∞，0]∪[1，+∞），∴M∩∁RN=∅，∁RM∪N=R故选：B．4．（5分）函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．∴四个选项，只有C满足题意．故选：C．5．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+c的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：f（x）=ax2﹣2x+c的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=4﹣4ac=0，∴a=，∴=+a≥6（当a=3时成立），故选B．6．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、体积、比例、开方、高次方程等问题，《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a，b分别为8，2，则输出的n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，b=2，n=1a=12，b=4不满足条件a≤b，执行循环体，n=2，a=18，b=8不满足条件a≤b，执行循环体，n=3，a=27，b=16不满足条件a≤b，执行循环体，n=4，a=40.5，b=32不满足条件a≤b，执行循环体，n=5，a=60.75，b=64满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为5．故选：B．7．（5分）已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．13【解答】解：圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（﹣6，﹣5），半径为2，圆C2的圆心坐标（2，1），半径为1，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣3=7．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是（）A．27π B．36π C．45π D．54π【解答】解：几何体为圆柱中挖去一个半球，圆柱底面半径和高均为r，半球的半径为r，∴几何体的体积V=π×r2•r﹣==9π，∴r=3．∴S侧=π×2r×r=2πr2=18π，S底=π×r2=9π，S半球==2πr2=18π，∴几何体的表面积为S表面积=18π+9π+18π=45π．故选：C．9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A种原料20吨，B种原料36吨，C种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（）ABC甲242乙448A．17万元 B．18万元 C．19万元 D．20万元【解答】解：设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x，y吨，则x，y满足的条件关系式为：，再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z，则z=2x+3y．由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（8，1），作出直线2x+3y=0，平移至B时，目标函数z=2x+3y有最大值为19．∴当生产甲种肥料8吨，乙种肥料1吨时，利润最大，最大利润为19万元．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）【解答】解：函数f（x）=，∴函数f′（x）=，故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜，当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜，当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则f（x1）=f（x2）=f（x3）∈（0，），即﹣＜x1＜﹣，故==1+∈（﹣1，0），故选：A[二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC，AB=，则△ABC外接圆的直径为2．【解答】解：∵AB=，∴由余弦定理可得：BC===，∵设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得：R===，∴△ABC外接圆的直径为2．故答案为：2．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为7.5元．【解答】解：=6.5，=80，∴=80﹣（﹣4）×6.5a=106，∴回归方程为=﹣4x+106．y=76时，76=﹣4x+106，∴x=7.5，故答案为7.5．13．（5分）已知△ABC是正三角形，O是△ABC的中心，D和E分别是边AB和AC的中点，若，则x+y=4．【解答】解：∵O是△ABC的中心，D和E分别是边AB和AC的中点，∴=+=+=+（﹣），++=0∴=2﹣，同理可得=2﹣，∴2=2+2﹣（+），∴=2+2﹣（++）=2+2，∴x=y=2，∴x+y=4，故答案为：4．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有91个（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、取出的3个数字中不含0，先在1，2，3，4，5，6，7中任取3个数，有C73=35种取法，把最大的数放在十位，剩下的2个数全排列，放在百位、个位，有A22=2种情况，则此时一共有35×2=70个“伞数”，[②、取出的3个数字中含有0，需要在1，2，3，4，5，6，7中任取2个数，有C72=21种取法，把最大的数放在十位，0放在个位，剩下的数放在百位，有1种情况，则此时一共有21×1=21个“伞数”，则一共有70+21=91个“伞数”，故答案为：91．15．（5分）抛物线x2=2my（m＞0）的焦点为F，其准线与双曲线有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为3．【解答】解：由题意，F（0，），准线方程为y=﹣，代入双曲线，可得x=±，∵准线与双曲线有两个交点A，B，∠AFB=120°，∴=，∴m=2n，∴双曲线的离心率为=3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知，求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵向量，且，∴y=2sin（ωx+）cosωx=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+，…4分∴f（x）=sin（2ωx+）+，∵函数y=f（x）的图象过点．∴sin（ω+）=0，∴ω+=kπ，可得：ω=（k∈Z），∵0＜ω＜2，∴ω=1，…6分∴f（x）=sin（2x+）+，∴T=…7分（2）g（x）=f（x﹣）=sin（2x﹣）+，…9分∴g（）=sin（α﹣）+=，解得sin（α﹣）=，…10分∴cos（2α﹣）=1﹣2sin2（）=…12分17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连结DN，∵N为BC的中点，CD=BC，∴CD=CN，[∵∠DCN=60°，∴△DNC为正三角形，∴∠DNC=60°，DN=DC，∵∠ABC=60°，AB=DC，∴AB∥DN，AB=DN，∴四边形ABND为平行四边形，又AB=BN，∴平行四边形ABND为菱形，∴BD⊥AN，设AN∩BD=H，则H为BD中点，∵M为EF中点，BF∥DE，∴MN∥DE，∵DE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴MH⊥BD，∵MH∩AN=H，MH、AN⊂平面MAN，∴BD⊥平面MAN．解：（2）∵∠ABC=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又AB=AD=1，∴∠ADH=30°，∴∠BDC=120°﹣30°=90°，∴BD⊥CD，且BD=，∵DE⊥平面ABCD，∴∠DHE是直线BE与平面ABCD所成的角，∴∠DBE=45°，∴DE=BDtan，以点D为原点，直线DB、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（，0，0），C（0，1，0），A（，﹣，0），E（0，0，），=（，，0），=（﹣），=（﹣），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），设平面BCE的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得平面BCE的一个法向量=（1，，1），∴cos＜＞===﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣C为锐角，∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收入（单位：百元）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数251001501555020赞成人数10701201503515（1）从月收入在[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从20人中任意选取3人，共有中取法，且这种取法的可能性相同，恰有2人持赞成态度的概率p1==，恰有3人持赞成态度的概率P2==，∴3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率p=p1+p2==．（2）∵500人中持赞成的频率p3==，∴可估计市民对该项政策持赞成态度的概率为p=，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X0123PEX==．19．（12分）数列{an}的前项和记为Sn，a1=t，点（an+1，Sn）在直线上n∈N+．（1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？并求数列{an}的通项公式；（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），在（1）的结论下，令，求{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意得Sn=an+1﹣1，∴Sn﹣1=an﹣1，两式相减得an=an+1﹣an，即an+1=3an，∴当n≥2时，数列{an}是等比数列，要使n≥1时，数列{an}是等比数列，则只需要=3，∵a1=a2﹣1，∴a2=2a1+2，∴=3，解得t=2，∴实数t=2时，数列{an}是等比数列，an=2•3n﹣1，（2）∵bn=f（log3an）+1=[log3（2×3n﹣1）]，∵3n﹣1＜2×3n﹣1＜3n，∴n﹣1＜log3（2×3n﹣1）＜n，∴bn=n﹣1+1=n，∴cn=an+=2×3n﹣1+=2×3n﹣1+（﹣），∵{an}的前n项和为=3n﹣1，{}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣∴Tn=3n﹣1+﹣═3n﹣﹣20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）由题意可得：=tan，a+b+c=3+，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=，c=1．∴椭圆E的方程为+=1．（2）证明：A（2，0）．设直线l的方程为：my+t=x，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，∴y1+y2=，y1•y2=，（*）∵以PQ为直径的圆经过点A，∴⊥，∴•=0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2=0，化为：（m2+1）y1y2+（mt﹣2m）（y1+y2）+（t﹣2）2=0，把（*）代入可得：（m2+1）•+（mt﹣2m）•+（t﹣2）2=0，化简可得：t=2或．t=2舍去．代入直线l的方程：my+t=x，可得：my+=x．可得直线l经过定点：．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2ex，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（x2﹣1）ex，令f′（x）＞