高三寒假数学练习试卷一

高三寒假数学练习试卷一一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（0，1） D．（1，）2．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．3．已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（）A．6 B．0 C．3 D．74．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（2，+∞） B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）6．已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log2a）+f（loga）＞2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（，+∞）8．函数f（x）=ex|lnx|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a=．10．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．12．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若•=2，则λ=．14．函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，则ω的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面积为．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．17．已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=x3+mx2+nx﹣2的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为9x﹣y+3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调区间；（2）若函数f（x）（x∈[0，3]）的值域为A，函数f（x）（x∈[a，a+]）的值域为B，当B⊆A时，求实数a的取值范围．19．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（Ⅲ）证明：f（x）≤2x﹣2．20．已知函数f（x）=ln（ex+a）+x（a为常数）是实数集R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若m∈R，讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m根的个数；（3）若方程=x2﹣2ex+m有两个根x1，x2（x1≠x2），证明：当m＜2e﹣1时，x1+x2＞2e．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（0，1） D．（1，）【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解不等式（x﹣1）（x+2）＞0可得集合A，解1＜2x+1＜4可得集合B，进而由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣1）（x+2）＞0⇒x＜﹣2或x＞1，则A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）；1＜2x+1＜4⇒0＜x＜，则B={x|1＜2x+1＜4}=（0，），则A∩B=（1，）；故选：D．2．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A3．已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（）A．6 B．0 C．3 D．7【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x）=2x+1，将x=1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（2+x）2﹣3x=x2+x+4，其导数f′（x）=2x+1，则f′（1）=3；故选：C．4．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】GT：二倍角的余弦；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选B．5．函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（2，+∞） B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数f′（x）＞0，从而求出其递增区间．【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）ex的，∴f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．6．已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc），故选：B．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log2a）+f（loga）＞2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的定义将所给不等式转化为不等式f（log2a））＞f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log2a）+f（loga）＞2f（1）⇔2f（log2a）＞2f（1）⇔f（|log2a|）＞f（1），又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（|log2a|）＞f（1）⇒|log2a|＜1，解可得＜a＜2；即实数a的取值范围是（，2）；故选：A．8．函数f（x）=ex|lnx|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，可将函数f（x）=ex|lnx|﹣1的零点个数问题转化为两个函数y=e﹣x与y=|lnx|的交点问题，作出两个函数的图象，由图象选出正确选项【解答】解：由题意，函数f（x）=ex|lnx|﹣1的零点个数⇔两个函数y=e﹣x与y=|lnx|的交点个数，两个函数的图象如图．由图知，两个函数有2个交点，故函数f（x）=ex|lnx|﹣1的零点个数是2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a=．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，∴a=．故答案为：．10．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【考点】HP：正弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：12．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若•=2，则λ=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把用和表示，然后结合•=2列式求得λ值．【解答】解：如图，∵=，且∠B=，AB=1，BC=2，∴•=[（1﹣λ）+λ]•=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+=1×（1﹣λ）+4λ=2，解得λ=．故答案为：．14．函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，则ω的取值范围是（0，]．【考点】H2：正弦函数的图象；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间求得ω的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，∴，求得0＜ω≤，故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面积为．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（2）根据正弦定理和二倍角公式和同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为，∴，∴c=3由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA∴（2）由正弦定理∴∵a＞b，∴，∴，∴，，∴==．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系和二倍角根据，求出tanα和tan2α的值；（Ⅱ）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===；…由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=．…17．已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e，讨论导数的正负，即可求出单调区间．（Ⅱ）可得f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，求出ex在[0，2]上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e．…令f′（x）=0，解得x=1x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）_0+f（x）单减单增故单调区间为在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增…..当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0…..（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，则有f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，…..而ex在[0，2]上的最小值为1，故k≤1…..18．已知函数f（x）=x3+mx2+nx﹣2的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为9x﹣y+3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调区间；（2）若函数f（x）（x∈[0，3]）的值域为A，函数f（x）（x∈[a，a+]）的值域为B，当B⊆A时，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f′（﹣1）=9及点（﹣1，f（﹣1））在切线9x﹣y+3=0上列关于m，n的方程组求得m，n的值，则函数解析式可求，进一步利用导数求得函数的单调区间；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，求出集合A，再由x∈[a，a+]的值域为B，且B⊆A得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2mx+n，∴f′（﹣1）=﹣2m+n+3，①由题意可知f′（﹣1）=9，即2m﹣n+6=0，∵点（﹣1，f（﹣1））在切线9x﹣y+3=0上，∴f（﹣1）=﹣6，即（﹣1）3+m（﹣1）2+n（﹣1）﹣2=﹣6，即m﹣n+3=0，②联立①②解得m=﹣3，n=0，∴f（x）=x3﹣3x2﹣2．∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）．令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函数f（x）的单调递减区间为（0，2）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，且f（0）=f（3）=﹣2，f（2）=﹣6，∴A=[﹣6，﹣2]．由（1）知f（﹣1）=f（2）=﹣6，∵B⊆A，∴，∴，解得，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．19．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（Ⅲ）证明：f（x）≤2x﹣2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（Ⅱ）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（Ⅲ）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为f′（x）=1+2ax+，由已知条件得，即，解得a=﹣1，b=3；（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=1﹣2x+=0解得x=或x=1．x[1，）（，e]f′（x）+0﹣f（x）增减当x=时，取得最大值f（）=3ln﹣；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（Ⅲ）证明：设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，g′（x）=﹣1﹣2x+，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）