矩形性质作业设计

华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质

同步练习

一、选择题

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

答案：C

解答：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等.

分析：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且平分.

2.如图，矩形A8CD沿AE折叠，使点。落在边上的尸点处，如果/BAF=60°,那

么ZDAE等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

答案：A

解答：由翻折变换的性质可知=在矩形ABCD中/BAD=9（T,又/BAF

=60°,所以/DA尸=/BAD—/BA尸=3（T,所以/DAE=1竽.

分析：根据翻折变换的性质可知△AE72

3.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）

A.22cmB.26cmC.22cm或26cmD.28cm

答案：C

解答：如图（1）所示，此时矩形的周长为2x[5+（3+5）]=26cm；如图（2）所示，此时

矩形的周长为2x[3+（5+3）]=22cm,所以选C.

分析：如上图所示，在矩形A3C。中NAOC=90°,因为。E平分NAOC,所以/即C=-

2

ZADC^45°,所以在RtZ\EDC中，DE=EC.

4.由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与

另一条对角线的夹角为（）

A.22.5°B.45°C.30°D.60°

答案：B

解答：根据题意可以得到如下图所示，因为在矩形ABC。中，ZBAD=90a,又因为垂线

3

AE分NA4。为1：3两部分，所以/ZME=90°X—=67.5°,所以NA£>2=90°一/DAE

4

=22.5°,又OA=OD,所以NZMO=/ADO=22.5°,所以/CAE=/ZME—NZMO=

45°,即该垂线与另一条对角线的夹角为45°.

分析：本题目的关键在于将数学语言转化为图形进行解题.

5.如图，在矩形4BC。中，DE±AC,ZADE=-ZCDE,那么/2DC等于（

2

A.60°B.45°C.30°D.22.5°

答案：C

12

解答：因为在矩形A8CD中NAOC=90°,又因为NAOE=—/QDE,所以—/

23

AZ）C=60°,又因为DE_LAC,所以为直角三角形，所以/AC〃=30°,又因为。。

=OC,所以N3r>C=NAC£）=30°.

分析：矩形的对角线相等且平分.

6.如图，矩形ABC。中，E是BC的中点，且NAE£>=90。.当AO=10cm时，A3等于（）

A.10cmB.5cmC.5A/2cmD.5^/3cm

答案：B

解答：在矩形ABC。中，NB=NC=90。，AB^DC,因为E是BC的中点，AD=10cm,所

AB=DC

以8E=EC=5cm,在△ABE与△OCE中，＜ZB=ZC,所以所以AE=

BE=EC

ED,又因为/AEO=90。，所以/EAZ)=45。，所以/BAE=90。一/E4Q=45。，所以A8=

BE=5cm.

分析：矩形的四个角都是直角.

7.将矩形纸片A8CD按如图所示的方式折叠，AE、EE为折痕，ZBA£=30°,AB=43,

折叠后，点C落在边上的C'处，并且点8落在EC'边上的5'处.则BC的长为()

答案：C

解答：因为△ABE之AAB'E,所以5后=3'后，/AEB=/AEB',又因为48=90°,Z

BAD=90°,N2AE=30°,所以8E=1,AE=2,ZAEB=ZAEB'=60°,NEAD

=60°,所以AAEC'是等边三角形，所以C'E=AE=2,因为△CEP0AC'EF,所以EC

=C'E=2,所以8C=BE+EC=3.

分析：△ABE与AAB'E对折，两个三角形全等，ACEF与AC'E/对折，两三角形也全等，

根据边角关系求出BC.

8.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(-1,-1),(-1,2),(3,-

1),则第四个顶点的坐标为()

A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)

答案：B

解答：如图可知第四个顶点为(3,2),所以选B.

分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3,纵坐标应为

2.

9.如图，矩形ABC。中，42=1,AD=2,M是CD的中点，点尸在矩形的边上沿A今BoCTW

运动，则4APM的面积y与点P经过的路程尤之间的函数关系用图象表示大致是下图中的

()

解答：点尸由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程尤的正比例函

数，当尸到达B点时，面积达到最大，值是1.在尸由2到C这一段，面积随着路程的增

大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是一；由C到M这一段，面积越来越小；当P

2

到达M时，面积最小变成0.因而应选A.

分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值

点，确定选项比较简单.

10.如图，矩形A8C。中，AB=3,BC=5.过对角线交点。作OE_LAC交A。于E,贝UAE

的长是()

答案：D

解答：如下图，连接EC,由矩形的性质可得AO=CO,又因E0LAC,则由线段的垂直平

分线的性质可得EC=AE,设AE=x,则ED=AD-AE=5-x,在RtA£®C中，根据勾股

定理可得ECZUDEZ+DCZ,即％2=（5—X『+32,解得X=3.4.故选D.

分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的

长.

11.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一

个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其

它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米()

A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或20

答案：C

解答：如图四边形ABC。是矩形，AD=18cm,AB=16cm；本题可分三种情况：

1

①如图（1）：△AE/7中，AE=AF=10cm；所以=5•AE・AF=50cm9；

(1)(2)(3)

②如图(2)：AAGH中，AG=GH=10cm；在R33G"中，BG=AB-AG=16-10=6cm；

11

根据勾股定理有：BH=8cm；所以506〃=彳人6^^1=5'8乂10=40。79?；

③如图(3)：△AMN中，AM=MN=10cm；在RtADMN中,MO=A£>—AM=18—10=8cm；

110

根据勾股定理有。N=6cm；所以SMMN=—AM・DN=-xl0x6=30cm~・故选C.

分析：本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于

能够进行正确的讨论.

12.如图，将矩形ABC。沿AE折叠，若/BAO=30。，贝Ij/AE。等于()

AB

A.30°B.45°C.60°D.75°

答案：C

解答：根据题意得：NDAE=/EAD\ZD=ZD'=90°,又因为/54。，=30。，所以/EAD

=-（90°-30°）=30°,所以/AED'=90°—30°=60°.故选C.

2

分析：根据折叠的性质求NEA。，再在R3EA。中求NAEO.

13.在矩形A3C。中，42=1,AD=6,A尸平分NZMB,过C点作CE_LBD于E,延长

AF,EC交于点H,下列结论中：®AF=FH；②BO=BF；®CA=CH；④BE=3ED；正确

的是（）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

答案：D

解答：VAB=1,AD=6,；.BZ）=AC=2,OB=OA=O£）=OC=1,：./\OAB,AOCD

为正三角形，平分NZMB,.•.NFAB=45。，即AAB尸是一个等腰直角三角形.尸

=AB=\,即②正确；平分/DAB,：.ZFAD=45°,NCAH=45°—30°

=15。，：/ACE=30。（正三角形上的高的性质）；./AHC=15。，，CA=CH即③正确；由

正三角形上的高的性质可知：DE=OD^2,OD=OB,即④正确；若AF=FH,

那么点尸为等腰三角形CAH的中点，那么C8垂直于AH,显然不成立，①所以不正确.故

选D.

分析：这是一个特殊的矩形：对角线相交成60。的角.利用等边三角形的性质结合图中的特

殊角度解答.

14.如图，矩形的两条对角线相交于点。，ZA0B=6Q°,AB=2,则矩形的对角线

AC的长是（）

A.2B.4C.D.4A/3

答案：B

解答：因为在矩形ABCD中，所以AO=-AC^-BD^BO,又因为NAOB=60。，所以△AOB

22

是等边三角形，所以A0=AB=2,所以AC=2AO=4.故选B.

分析：本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度.

15.已知AC为矩形A2C。的对角线，则图中N1与N2一定不相等的是（）

解答:A项的对顶角相等;B,C项不确定；D项一定不相等，因为N1=/ACQ,Z2>ZACD.

分析：本题主要是利用三角形的外角大于和它不相邻的任一内角来分析.

二、填空题

16.在矩形A8CZ）中，对角线AC,2。相交于点0,若对角线AC=10cm,边8C=8cm,

则△AB。的周长为.

答案：16cm

解答：在矩形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,对角线AC=10cm,.•./A8C=90。,

OA=OB=-AC=5cm,"：BC=8cm,：.AB=AC1-BC1=6cm,.♦.△ABO的周长为：

分析：根据勾股定理求出边AB的长度是本题的解题关键.

17.矩形ABCD的两条对角线相交于O,ZAOB=6Q°,AB=S,则矩形对角线的长.

答案：16

解答：如下图所示，：四边形A8CZ）是矩形，.*.OA=O8=OC=OD,AC=BD,又；NAOB

60°,...△AOB是等边三角形，：.OA^AB=8,：.AC^BD^16.

分析：本题的关键在于△AOB是等边三角形的判定与其性质的利用.

18.矩形的两条对角线的夹角为60。，一条对角线与短边的和为15,则短边的长是

,对角线的长是.

答案：5|10

解答：如下图所示，ZAOB=6Q°,AB+AC=15；:在矩形ABC。中，ZAOB=60°,.1.△

AOB是正三角形，：.AB^OA,：.AC^2AB,又：AB+AC=15,；.AB=5,AC=10即短边

分析：矩形的性质与两条对角线的夹角为60。相结合得到所需的正三角形.

19.矩形A8CD的对角线相交于。，AC^2AB,则△CO。为三角形.

答案：等边三角形

解答：在矩形A8CD中，AO=OC=OB=OD,'：AC=2AB,：.AO=OB=AB,:.△COD为

等边三角形.

分析：矩形的两条对角线相等且平分.

20.如果一个矩形较短的边长为5cm,两条对角线所夹的角为60。，则这个矩形的面积

是

答案:256cm2

解答：如下图，AB=5cm,ZAOB=60°,二•在矩形4BCD中，AO=OC=OB=OD,又：/

AOB=60°,.•.△AO8为等边三角形，VAB=5cm,：.AO=AB=5cm,AC=10cm,.1

BC=s/ACa-AB2=5A/3cm,这个矩形的面积为：AB.^=25^/3cm2.

D

B

分析：矩形的两条对角线相等且平分.

三、解答题

答案：

解答：证明：是矩形，：.AD=BC,OA=OB,ZDAB=ZCAB^90°,：.ZOAB=

ZOBA,：.ZDAB-ZOAB=ZCBA~ZOBA,即/DAE=NC8凡'：E,尸分别是OA,OB

的中点，：.AE=-OA,BF=-OB,：,AE=BF,AAADE^ABCF(SAS).

22

(2)若A£)=4cm,AB=8cm,求。P的长.

答案：J?cm

解答：解：在矩形A8CD中，AZ)=4cm,AB=8cm,：.BC=4cm,DC=8cm,：.BD=

A/BC2+DC2=4，^cm,；.03=2&cm,又..•尸是08的中点，.\。尸=；0B=逐小11.

分析：矩形的两条对角线相等且平分.

22.如图，在矩形A2CD中，已知AB=8cm,2C=10cm,折叠矩形的一边AD,使点。落

在BC边的中点尸处，折痕为AE,求CE的长.

答案:3cm

解答：解：根据题意可得：BC=A£）=AF=10cm,DE=DF,又：在A3尸中，ZABF=90°,

ABF=-JAF2-AB2=6cm,：.FC=BC~BF=4cm,设CE=x,那么EF=OE=8—x,

又：NC=90。，所以石。2+尸。2=跖2即必+42=（8—%）2,；,x=3,.•.CE=3cm.

分析：通过翻折的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键.

23.如图，在矩形A8CD中，AE平分NBA。，Zl=15°.

(1)求/2的度数.

答案：30。

解答：解：：在矩形A8CO中，AE平分NBA。，Zl=15°,：.ZAEB=ZEAD=45°,：.

Z2=ZA£B-Z1=3O°.

(2)求证：BO=BE.

答案：3cm

解答：证明：由(1)可知/2=30°,.,.NBAO=60°,,：OA=OB,是等边三角

形，