2021年中考数学模拟（二模）试卷集篇（上海专用） (三)

2021年上海市中考数学模拟（二模）测试卷03【上海专用】

（试卷满分：150分）

一、单选题（每小题4分，共24分）

1.下列运算正确的是（）

A.V16=±4B.衿=3

c.V7+V5=2D.（-2加）2=4。%*

【答案】D

【解析】

分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，合并同类项以及幕的乘方的法则逐一判断即可.A.JR表示的是

16的算术平方根，所以J话=4,错误；

B.衿表示的是9立方根，开不尽方，错误；

C.J7和百不是同类二次根式不能合并，错误；

D.（—=4。2尸，正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质以及幕的乘方的法则，熟记相关公式与运算法则是解答本题的

关键.

2.下列关于x的方程中，整式方程的个数是（）

（1）x3+x2=x4（2）—X4X"H-0；（3）+x=—；（4）―—+1=x.

234ax

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.解：（1）

x3+x2=x4;

（2）—x4--x2+—=0；

234

（3）a/+x=L都符合整式方程的定义；

a

尤2+]

（4）上=+1=*属于分式方程.

x

故选：C.

【点睛】

本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键.

3.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=2x+h向右平移3个单位后经过点S,。），则b的值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

根据“左加右减”的原则得到）=2（x-3）+瓦然后代入点（8,0）即可求得。的值，从而求得原来的直线解析式.解:

由''左加右减”的原则可知：将直线y=2x+b向右平移3个单位后，其直线解析式为产2（片3）+力，即产Zr-6+乩

•.•平移后的直线经过点（b,0）,

...26-6+6=0,

解得b=2,

故选：c.

【点睛】

木题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此

题的关键.

4.一组数1、2、2、3、3、。、b的众数为2,平均数为2,则这组数据的方差为()

1234

A.-B.—C.-D.一

7777

【答案】D

【解析】

利用这组数据的平均数可求出4+3的值，再利用这组数据的众数是2,可具体确定这组数据，最后即可求出其

方差这组数据的平均数为2,

1+2+2+3+3+〃+Z?

工--------------------=2,

7

，。。=3.

又・・•这组数据的众数是2,

a=L。=2或。=2,b=\.

・•・这组数据为1、1、2、2、2、3、3.

•♦•这组数据方差为g[2x(l_2)2+3x(2_2)2+2x(3_2)2]=g.

故选：D.

【点睛】

本题考查平均数，众数，方差.理解众数的定义，掌握求平均数和方差的公式是解答本题的关键.

5.四边形A8CO中，对角线AC、BD交于点0.给出下列四组条件：

①AD//BC；

②A8=CO,AD=BC；

③AO=CO,BO=DO；

@AB//CD,AD=BC.

其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有()

A.1组；B.2组；C.3组；D.4组.

【答案】C

【解析】

根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解.解：①AD//BC,根据两组对

边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；

②A3=C。，AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形;；

③AO=C。，BO=DO,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形：

@AB//CD,AD=BC,无法判定四边形是平行四边形.

故选：C

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键.

6.梯形ABCD中AB〃CD,ZADC+ZBCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积

分别是Si,S2S3»且Si+S3=4s2，贝UCD=()

A.2.5ABB.3ABC.3.5ABD.4AB

【答案】B

【解析】

【解析】

分别用斜边A。、AB、BC把&、*、S3表示出来，然后根据S1+53=4&求出A。、AB、BC之间的关系.在过点B

作BK//AD交CD于点K后，根据数据发现△KBC又是一个直角三角形，再次利用勾股定理即可发现CD和AB

之间的关系.解：,••以A。、AB、3C为斜边向外作等腰直角三角形，

其面积分别是与、基&，

AD2,°BC2,„BC2，

S11=4丁3$3=4丁-S?=4~7~

5|+$3=44，

：.AD2+BC2=4AB2

过点B作BK//AD交C。于点K,

'：AB//CD

：.AB=DK,AD^BK,NBKC=NADC

,/ZADC+ZBCD=W°

：.NBKC+NBCD=9Q°

:.BK2+BC2=CK2

:.AD2+BC2=CK2

：.CK2^4AB2

：.CK=2AB

：.CD=3AB.

故选：B.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的面积的求法，还考查了勾股定理，以及梯形的性质，特别要注意辅助线的作法.

二、填空题(每小题4分，共48分)

7.2—百的一个有理化因式是.

【答案】2+6

【解析】

根据平方差公式的特点即两数之和乘以两数之差，等于两数的平方差，即可得到原式的一个有理化因式.解：：

(2-⑹.(2+@=4-3=1

•­-2一6的一个有理化因式是2+

故答案为：2+6.

【点睛】

本题考查了二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用了平

方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.即一项符号和绝对值相同，另一项

符号相反绝对值相同.

X—1

8.函数=的定义域为___.

【答案】x<2

【解析】

根据二次根式和分式的性质求出该函数的定义域.解：根据二次根式和分式的性质，

，2—x。0,且2-xNO,

解得x<2.

故答案是：x<2.

【点睛】

本题考查函数的定义域，解题的关键是掌握函数定义域的求法.

9.不等式（我-的解集是

【答案】X>-V2-V3

【解析】

先判断出，5—6<o,不等式两边同除以血_g，再化简即可得到答案.解：（&—百）

VV2-V3<0

1

.x>_

>/2+\[?!

•V'〉--------------------

•,一（夜-6）（及+G）

X>—\/2-yfi-

故答案为：x>—\/2—>/§•

【点睛】

畅通题主要考查了解一元一次不等式以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

io.如果函数〉="+人的图像平行于直线y=3x-i且在y轴上的截距为2,那么函数》="+匕的解析式是

【答案】y=3x+2

【解析】

利用两直线平行得到k的值，利用在y轴上的截距的意义得到b的值，从而可确定函数y=kx+b的解析式.•；函

数y=kx+b的图象平行于直线y=3x-l且在y轴上的截距为2,

k=3,b=2,

函数y=kx+b的解析式为y=3x+2.

故答案为y=3x+2.

【点睛】

本题考查了两条直线的交点或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组

成的二元一次方程组的解.若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同.

11.为了参加中学生足球联赛，某校足球队准备购买13双运动鞋，收集尺码，并整理如下统计表：

尺码/cm2525.52626.527

购买量/双52321

则这组数据的中位数是.

【答案】25.5cm

【解析】

根据中位数的意义求解.解：由统计表可知，把尺码按从小到大排列后，排在最中间的为25.5cm,

故答案为25.5cm.

【点睛】

本题考查中位数的应用，熟练掌握中位数的意义是解题关键.

12.袋子中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为2,3,4,5.从袋中随机摸取一个小球，然后放回，再随

机摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是.

【答案】-

8

【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和5为的情况，再利用概

率公式即可求得答案.解：画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中两次摸取的小球标号之和为5的结果有2种，

所以两次摸取的小球标号之和为5的概率为276=5,

8

故答案为：—■.

8

【点睛】

此题考查了树状图法与列表法求概率，列出树状图，是解题的关键.

13.在二次函数y=f—2x+3图像的上升部分所对应的自变量x的取值范围是--

【答案】x>l

【解析】

先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答.；y=x2—2x+3=(x—1y+2,

二对称轴为直线x=1,

V1>0,图象开口向上，

，当x<l时，y随着X的增大而减小；当X>1时，y随着X的增大而增大，

故答案为：x>l.

【点睛】

此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减.

14.阅读材料：设M=(不，yj,5=(%2，%)，如果3/4•则为％*2y-根据该材料填空：已知@=(2,3),

5=(4/)，且£//几则，=.

【答案】6

【解析】

由题意设4=(5，y),5=(%，%)，a1lb'则，由此列出方程即可解决问题.解：由题意:

•/a=(2,3),5=(4,。，且1//方，

二.2r=12,

:.t=6,

故答案为6.

【点睛】

本题考查向量的运算，解题的关键是理解题干中的材料，属于基础题.

15.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，贝ljNACB=.

【答案】36。

【解析】

由正五边形的性质得出NB=108。，AB=CB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.二•五边形

ABCDE是正五边形，

.".ZB=108°,AB=CB,

AZACB=(180°-108°)+2=36°；

故答案为36°.

16.已知A、5两地相距200千米，货车甲从A地出发将一批物资运往3地，行驶一段路程后出现故障，即刻

停车与8地联系.8地收到消息后立即派货车乙从8地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了

30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往8地，货车甲以原速的1返回A地.两辆货车之间的

路程y(km)与货车甲出发的时间x(h)的函数关系如图所示(通话等其他时间忽略不计).若点C的坐标是

(1.6,120),点。的坐标是(3.6,0),则点E的坐标是.

【答案】(5.1,150)

【解析】

由图像可知，C点时正好甲车出现故障，可求出甲车所走的路程为200k〃一120切1=80k〃及时间为1.6〃，可

求出甲车的速度，进而可求出甲车返回A地时的速度，D点为乙车遇到甲车并把货物搬运到乙车上，可得乙车的

行驶的总路程为120h〃和时间3.6-1.6-0.5=1.5/2,进而可求出乙车的速度，根据甲乙两车返回A地，B地

的时间为甲车大于乙车，故乙车先到B地，点E是乙车先到达B地时甲乙两车相距的距离和对应的时间，进而

可求出E点坐标.由题可知；

•.•点C(1.6,120)时正好甲车出现故障停车，

甲车走的路程为：200k%-120km=SQkm,所用时间为：1.6〃，

，80km「〜,

二.甲车的速度为：v=----=50km/h,

1.6/z

2

二.甲车返回A地的速度为：一x50&〃?/h=2Gkm/h,

5

80A777

甲车返回A地的时间为：-------=4h,

2Qkm/h

•••点D(3.6,0)为乙车遇到甲车并把货物搬运到乙车上，

，乙车走的路程为：200k〃-80k〃=120k〃，所用时间为：3.6—1.6—0.5=1.572,

乙车的速度为：v=120""=80km/h,

1.5万

；乙车返回B地按原速度返回，

，乙车返回B地时间为：1.5/7,

可得乙车先返回到B地

•••点E是乙车先到达B地时甲乙两车相距的距离和对应的时间，

设点E的坐标为(x,y),则尤=3.6+1.5=5.1/2,

甲乙两车各自返回1.5〃时相距的距离为：y-(20km/h+SO/an/h)xl.5h=150km,

故答案为：(5.1,150)

【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用，读懂图像准确理解题意是解题关键

17.如果一个四边形有旦只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5,

这个圆的一个联络四边形是边长为26的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是.

【答案】1

【解析】

此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即

D

根据题意作图可分两种情况：1如图：作OPLBC,BC=2石，BO=5,

,:A,B,C在圆。上，

••.BP=6（垂径定理），

5LBP2+OP-=BOr，

•1•OP=4BOr-BP2=b-（⑸-=2布；

因为ABCD是菱形，

.♦.AC1BD,即NBQC=90°,

在4BOP-tjABQC中，

ZOBP=ZQBC

NOPB=NBQC'

ABOP~△BQC,

.BPBO

••蔽一说‘

即正=2，

BQ2A/5

；.BQ=2,

*.'BQ>BO,

，此情况不符合题意，舍去;

2,如图，同理可得OP=2不，

在4BOP-^ABQC中，

NOBP=NQBC

40PB=NBQC'

/.△BOP-△BQC,

.BPBO

"~BQ~~BC'

即逃5

即=—f=，

BQ275

，BQ=2,

AOQ=BO-BQ=3,

Z.OD=\QD-OQ\=\BQ-OQ\=1,

综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1.

故答案是：I.

【点睛】

此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难.

18.如图，在等边三角形ABC的AC,8c边上各取一点P,Q,使加⑥,AQ,8P相交于点O,若3。=6,

PO=2,则AP的长为,A。的长为.

【答案】41+V13

【解析】

证明△ABP和4ACQ全等，得到NCAQ和/ABP相等，即可得到/AOP为60。角，再证△AOP相似于△BAP,

通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AGLOP,在RsAOG和RSAPG中，通过勾股定理得到等式，求

AP^CQ

出OG长，即可得到结论.：在AAQC和ABAP中，＜NACQ=N8AC

AB=AC

：.NAQC/VBP4

ZCAQ=ZABP

"：NAP。=NAPB

：DAOP^OBAP

.APOP

,•丽一而

AP2=BPOP

AP?=BP-OP

OP=2,BP=BO+OP=8

AP=4

过A作OP的垂线与OP交于点G,在△AOP中，ZAOP=60°,OP=2,AP=4,

设OG=x,则AO=2x,

在RSAOG中,由勾股定理得AG2=AC)2-OG2,BPAG2=(2X)2-X2=3X2,

在RSAPG中，由勾股定理得AG?=AP2-PG2,即AG2=42-(x-2)

.•.3x2=42-(x-2)2解得x=生!叵，又x>0,.•.x="迎,

22

AO=^2x=l+>fi3，

故答案为：4,1+V13.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定

理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键.

三、解答题（第19-22小题每小题10分，第23-24题每小题12分，第25题14分，共78分）

-cor30°+L1L

19.计算:（万-何

>/3-V2

【答案】V2-3

【解析】

根据零指数基、负整数指数基，特殊角的余切三角函数值和:次根式的化简，然后混合运算即可.原式

6+21

1-石+

回2)回2)4x2

2

=1—有+6+四一4

—\/2—3-

【点睛】

本题考查含零指数事、负整数指数幕，特殊角的余切三角函数和二次根式的混合运算.把二次根式化为最简二次

根式再合并同类二次根式是解答本题的关键.

x2-5xy+6j2=0

x2+x+/-11)=2

23

x4=3

1U=1

【解析】

x2-5xy+6y2=0①

根据二元二次方程组的解法进行求解即可.解:

x2+x+y2-lly=2②

fx=2v

由①得：1:，

x=3y

当x=2y时，代入②可得：

5y2-9y—2-O<解得：凹=_[,%=2,

X1=--,x2=4；

当x=3y时，代入②可得:

10/-8y-2=0,解得：%=一；，%

1,

.•.工3=_|,4=3,

3

=---七="1

x2=4%4=3

综上所述：方程组的解为♦-,一，*

=21=1

71一

【点睛】

本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键.

21.某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过。人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超

过。人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人已元交入园费，下表是两个旅游团队

人数和入园缴费情况：

旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）

旅游团队180350

旅游团队245200

根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的。人是多少？

【答案】50

【解析】

先根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费+超出的部分的费用列出方程，解得q=30,g=50,再根

据旅游团队2的数据可知介45,由此可求得。的值.解：由题意可得：

（80-«）x—+200=350,

解得q=30,a2=50,

由旅游团队2的数据可知介45,

。=50,

答：某旅游园区对团队入园购票规定的。人是50人.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费+超出的部分的费用

列出方程是解决本题的关键.

22.如图，将一个直角三角形形状的楔子（RtZ\4?C）从木桩的底端点尸沿水平方向打入木桩底下，可以使木

桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°,其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），

留在外面的楔子长度HC为3厘米.

（1）求的长；

（2）木桩上升了多少厘米？（sinl00x0.17,cos10°«0.98,tanl0°»0.18,结果精确到0.1厘米）

【答案】（1）7厘米；（2）1.3厘米

【解析】

（1）根据正切的定义求出BC,即可得出答案；

（2）根据正切的定义得出即可得到答案.解：（1）在RtzXABC中，ZABC=10°,

Ar

tanZABC=—

BC

AC_1.8

则BC==10(cm),

tanZABC0.18

BH=BC-HC=l(cm),

(2)在R/DBPH中，ZABC=10°,tanZABC=——，

BH

则PH=BH•tanZABC«7x0.18»1.3(cm),

答：木桩上升了大约1.3厘米.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关

键.

23.已知：如图，四边形ABC。是平行四边形，延长8A至点£,使得=联结。E、AC.点尸在线

段。E上，联结3尸，分别交AC、AO于点G、H.

（1）求证：BG=GF；

（2）如果AC=2AB,点F是OE的中点，求证：AH2=GHBH.

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【解析】

<1）由平行四边形的性质可得AB=CD=AE,AB〃CD,可证四边形ACDE是平行四边形，即AC〃ED,可得

BGAB

可得结论;

~GF~AE=1

（2）由“SAS”可证△BEF^aDEA,可得NEBF=NEDA,通过证明△AHGs/\BHA,可得结论.证明：（1）:

四边形ABC。是平行四边形,

/.AB=CD,AB//CD.

'：AB=AE,

AE—CD.

A四边形ACDE是平行四边形.

AC//DE.

:.——BG=—AB=1,.

GFAE

：.BG=GF.

(2)VAB=AE

BE=2AE.

•1,AC=2AB

:.BE=AC.

V四边形ACDE是平行四边形

，AC=DE.

:.DE=BE.

,点尸是DE的中点

二DE=2EF.

:.AE=EF.

在4BEF和4DEA中

BE=DE

<ZE=ZE

EF=EA

.,.OBEF^DEA.(SAS)

ZEBF=ZEDA.

•：AC//DE

:.ZGAH=ZEDA.

：.Z.EBF=ZGAH.

NAHG=ZBHA

：.OAHG^GBHA.

.AHGH

AH2=GHBH.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推

理是本题的关键.

24.如图，已知对称轴为直线x=-l的抛物线旷=以2+加+3与x轴交于A、8两点，与旷轴交于点C，其

中点A的坐标为（1,0）.

1）求点8的坐标及抛物线的表达式

（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段的交点为Q,将线段PQ绕点。，按顺时针方向旋转120。，请

判断旋转后点P的对应点P'是否还在抛物线上，并说明理由；

（3）在x轴上是否存在点M,使△欣左与口8。尸相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M的

坐标（不必书写求解过程）.

【答案】（1）B（—3,0）,y=—》2_2X+3；（2）P'在抛物线上，理由见解析；（3）存在；M（1,0）或（9,0）

或（-1,0）或（-9,0）

【解析】

（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的坐标，用待定系数法求得函

数解析式.

（2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过P作尸Z＞平行于x轴，P'D交抛物线对称轴于点D,

根据旋转角度解直角三角形，得出P'的坐标，将P'的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案.

（3）根据勾股定理可得出口BCP是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标.解：（1）

,:A、B是关于直线x=—l轴对称图形的两点，点A的坐标为（1,0）,

点B的横坐标为-1-[1一（-1）]=-3,

...点B的坐标为（一3,0）；

将A、B两点坐标值代入y-ax2+Z?x+3可列方程组：

0=a+b+3

0=9a—3Z?+3

a=-1

解得Lc

b=-2

二抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3.

（2）•.•点P为抛物线顶点，直线x=—l为抛物线的对称轴,

•••点P的横坐标为-1,纵坐标为y=-d-2x+3=-(-l)2-2x(-l)+3=4>

...点P的坐标为(-1,4),

直线BC的解析式为>=履+6,将B、C的值代入可列方程：

-3=0+b

0=-3k+h

k-1

解得c

b=3

VBC与对称轴交于点Q,

...当x=-l,y=x+3=-l+3=2,

...点Q的坐标为(一1,2),

PQ=4-2=2,

P'是点P绕点Q顺时针旋转120。得到的，

P'Q=PQ=2,

过P'作产。平行于x轴，P7)交抛物线对称轴于点D,如图：

•.•在W0QDP'中，NP'QO=180°-120°=60°,P'Q=2,

*'•QD-1,DP'—yj2<

..•点P'横坐标为点D横坐标加DP',即：一1+百，

点P纵坐标为点Q纵坐标减。Q,即：2—1=1,

将P'的横坐标值代入y=—刀2—2x+3,

y=_(T)2_2x(T)+3=l,

•••P'的坐标符合抛物线表达式，

AP'在抛物线上.

(3),/BP2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20,

PC2=(-l-0)2+(4-3)2=2,

BC2=(—3—Op+(0—3)2=18,

20=18+2,

•••BP2=PC2+BC2，

•••口8。户是直角三角形，ZBCP=9Q°,BC=3®，PC=五,

：M是x轴上一点，^COM=90°,

若ZOCM=NCBP,则口OCM^UCBP,

.OCCB372.

••--=——7=~=3,

OMCPV2

此时，点M坐标为(1,0)或(—1,0),

若NOCM=NCPB,则口0cMs口。28,

,PCCPV21

此时，点M坐标为(9,0)或(一9,0),

r.综上，点M存在，点M坐标为(1,0)或(9,0)或(—1,0)或(—9,0).

【点睛】

木题主要考查了待定系数法求二次函数解