苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1-4两条直线的交点课件

设两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立,得到方程组

若方程组有唯一解,则两条直线相交,以此解为坐标的点就是两直线的交点.1.4

两条直线的交点知识点1

两条直线的交点已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则有知识点2

两条直线的位置关系与方程组解的联系

方程组

的解一组无数组无解直线l1,l2的公共点一个无数个零个直线l1,l2的位置关系相交重合平行知识辨析1.两条直线相交,则交点坐标一定是两条直线方程组成的二元一次方程组的解吗?2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗?3.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),当A1B2=A2B1时,l1与

l2有没有公共点?一语破的1.是.两条直线相交,交点同时在两条直线上,分别满足两条直线的方程,所以交点坐标一定是

这两条直线方程组成的方程组的解.2.不一定.当方程组有无数组解时,两直线重合.3.当A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1(或A1C2=A2C1)时,两直线重合,有无数个公共点;当A1B2=A2B1,且B1C2

≠B2C1(或A1C2≠A2C1)时,两直线平行,没有公共点.关键能力定点破定点1求过两条直线交点的直线方程的方法 1.直接法:求出两直线的交点,作为待求直线上的已知点,再根据已知条件求出待求直线的方

程.2.待定系数法:设经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0)的

交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数),然后根据条件求λ.注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线.典例已知两直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求:(1)过点P与Q(1,4)的直线方程;(2)过点P且与直线x-3y-1=0平行的直线方程.解析

解法一(直接法):(1)由

解得

即P(2,2).所以所求直线方程为

=

,即2x+y-6=0.(2)由(1)知点P(2,2),因为直线x-3y-1=0的斜率为

,所以所求直线方程为y-2=

(x-2),即x-3y+4=0.解法二(待定系数法):(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0,即(m+1)x+(2-2

m)y+(2m-6)=0①.把(1,4)代入①,化简得3-5m=0,解得m=

,所以过点P与Q的直线方程为

x+

y-

=0,即2x+y-6=0.(2)由(1)知过直线l1和l2交点的直线方程为(m+1)x+(2-2m)y+(2m-6)=0,则由两直线平行,得-3(m+1)=2-2m,得m=-5,所以所求直线的方程为-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0.1.将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过定点(x0,y0).2.应用分离参数的方法,将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由

求出定点坐标.3.应用特殊值法,给方程中的参数赋两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,将其联立并求解,则

解出的x,y的值分别为所求定点的横、纵坐标.定点2求解直线过定点问题的常用方法典例已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:无论k取何实数,直线l都过定点,并求出这个

定点的坐标.解析

解法一:原方程整理得(x+y)+k(x-y-2)=0,无论k取何实数,直线l都过定点,且定点坐标即

为方程组

的解,解此方程组得

∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1).解法二:由直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1-k)

(y+1)=0.直线l的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直线l必过定点,定点

坐标为方程组

的解,解此方程组得

∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1).解法三:对于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+