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文档简介
勾股定理湘教版·八年级数学下册第1章直角三角形
情境导入国际数学家大会InternationalCongressofMathematicians2002年8月20-28日在北京召开BeijingAugust20-28,2002会徽(2)若:直角三角形的斜边为c,求会徽的面积?(1)若直角三角形的直角边分别为a,b,求会徽的面积?ABCDEFGHSABCD=
4S△ABE+S
EFGH=a2+
b2S
ABCD=c2=
4×ab+(b-a)2abc你有什么发现?a2+
b2=c2[教材P1章前图]史上证法最多的定理(约400种)跳转勾股定理证法探究激趣导入公元前3500年毕达哥拉斯赵爽古埃及欧几里得商高古巴比伦公元前1100年约公元前600公元前330~275年公元180-250年公元前1800年刘徽公元263年加菲尔德1876年1891年爱因斯坦勾股定理简洁、优美、超级有用由特殊到一般[教材P31数学与文化]探究新知如图1-9,在方格纸上(设小方格边长为单位1)画一个顶点都在格点上的直角三角形,使其两直角边分别为3,4,量出这个直角三角形斜边的长度.图1-9我量得c为5.探究新知在方格纸上,以图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形,得到三个大小不同的正方形,如图1-10,那么这三个正方形的面积S1,S2,S3之间有什么关系呢?图1-10由图1-10可知,S1=32,S2=42,为了求S3,我可以先算出红色区域内大正方形的面积,再减去4个小三角形的面积,得S3=52.∵32+42=52,∴S1+S2=S3.探究新知如图1-11,任作一个Rt△ABC,∠C=90°,若BC=a,AC=b,
AB=c,那么a2+b2=c2是否成立呢?ABC图1-11cbacbaa2+b2=c2几何代数如何探究?cbaa2+b2=c2cbac步骤1教材P10页“探究”PPT第2页赵爽毕达哥拉斯法探究新知如图1-11,任作一个Rt△ABC,∠C=90°,若BC=a,AC=b,
AB=c,那么a2+b2=c2是否成立呢?①ABC图1-11cba“重新排列”策略探究:cbac2bbaa=ccccc2b2a2②③c2=a2+b2(点击按钮③持续出动画)探究新知由此得到直角三角形的性质定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.a2+b2=c2ABCDEFGHabc①②③(勾股定理/毕达哥拉斯定理)[教材P10“探究”]由此得到直角三角形的性质定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.a2+b2=c2(勾股定理/毕达哥拉斯定理)[教材P10“探究”]探究新知变式:a2=c2-b2,b2=c2-a2几何代数a2+b2=c2勾股定理勾股定理反应了直角三角形三边的关系,成为沟通几何和代数的桥梁.例1如图1-15,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗?解:在△ABC中,∵AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC,∴BD=BC=5.在Rt△ADB中,由勾股定理得,AD2+BD2=AB2,故AD的长为12cm.探究新知【教材P11】巩固练习在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知a=25,b=15,求c;(2)已知a=5,c=9,求b;(3)已知b=5,c=15,求a.解:根据勾股定理:巩固练习巩固练习解:根据勾股定理:答:AB长4.巩固练习巩固练习解:可得S1+S2=S3,如果向外作半圆,则有同理即S1+S2=S3.如果向外作等边三角形,则有而a2+b2=c2.即得S1+S2=S3.课堂小结直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.a2+b2=c2勾股定理(毕达哥斯拉定理):几何代数勾股定理变式:a2=c2-b2,b2=c2-a2直角三角形性质判定直角三角形两锐角互余.
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