新教材人教A数学必修第一册课件4.5.3函数模型的应用

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.3函数模型的应用学习目标素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题数学建模2.能建立函数模型解决实际问题数学建模|自学导引|1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的答案．解函数模型应用题的一般步骤常见的函数模型有哪些？【预习自测】(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．函数拟合与预测的一般步骤如何根据收集到的数据解决实际问题？【提示】通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；【预习自测】第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示如下：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？【提示】因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．|课堂互动|题型1指数型模型的应用1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．2．解答数学应用题应过的三关(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．1．设在海拔xm处的大气压强为ykPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为________kPa.【答案】81题型2对数型模型的应用素养点睛：考查数学建模的核心素养．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．题型3以图表信息为背景的函数应用题

某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？素养点睛：考查数学建模的核心素养．1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．2．建立函数模型解决实际问题的基本思路3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是 (

)A

B

C

D【答案】A【解析】从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内水面高度上升慢，在[t1，t2]时间段内水面高度上升快，于是柱体底面面积为下面大，上面小．故选A．|素养达成|1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求(体现了数学运算和数学建模的核心素养)．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．1．(题型1)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(

)A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2x【答案】B【解析】逐个检验可得答案为B．3．(题型2)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．【答案】300【解析】由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．4．(题型2)2020年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)【答案】20495．(题型3)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]