二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式1三个“二次”的关系目录2解一元二次不等式3题型00前情回顾目录1三个“二次”的关系01新知1——三个二次的关系概念一般地，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，叫做一元二次不等式.一般形式

一元二次不等式的定义“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为001新知探究探究1从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，三者之间有什么样的内在联系.

y=x+1-11方程x+1=0的解为x=-1；

函数图像与X轴相交

不等式x+1>0的解为x>-1；

函数图像在X轴上方不等式x+1>1的解为x>0；

函数图像在X轴下方

二次函数一元二次方程一元二次不等式它们的联系又是怎样的呢？02新知探究

01新知1——三个二次的关系

二次函数的零点

注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数值y=x2－12x＋2001新知1——三个二次的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）有两个相等实根

x1＝x2＝－没有实数根{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－

}R{x|x1＜x＜x2}∅∅x1x2xyOxyOx1=x2yxO练一练例1.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，

则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________.－2,3解

不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别－2,3.练一练∴a＝－2，b＝3，ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，目录2解一元二次不等式02新知2——解一元二次不等式问题1.解不等式：x2－2x－3>0.解

方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y＝x2－2x－3的图象（开口向上）与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}.02新知2——解一元二次不等式

02新知2——解一元二次不等式

－3x1y不画图你能写出不等式的解集吗开口向上时：大于取两边,小于取中间

总结解对应方程画函数图像看图给解集①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0)③求根:求方程ax2+bx+c=0的根④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象因式分解or求根公式大于取两边,小于取中间②判别:判别△确定有无实数根⑤写解:由图象写出不等式的解集解一元二次不等式的步骤:例1：解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；

(2)(2－x)(x＋3)<0.练一练解

(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.

原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.02新知2——解含参一元二次不等式问题3.解关于x的不等式(a－x)(b＋x)>0的不等式。解

(a－x)(b＋x)>0可化为(x－a)(b＋x)<0方程(a－x)(b＋x)＝0的两根为a，－b，当a>－b时，原不等式的解集是{x|－b<x<a}；当－b>a时，原不等式的解集是{x|a<x<－b}.讨论两根的大小02新知2——解含参一元二次不等式问题4解关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≥0.解

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.讨论两根的大小讨论方程的类型总结解含参一元二次不等式的步骤:练一练例2

解关于x的不等式[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0.解方程[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0的根：X1＝a＋1，X2＝2(a－1)；(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1).(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1.综上所述，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}.讨论a＋1与2(a－1)的大小目录3题型03题型1－三个二次的理解D03题型1－三个二次的理解例2

已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.解

∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2.代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.03题型1－三个二次的理解变式1.

已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|-1<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx＋a>0的解集.

03题型2－解一元二次不等式B03题型2－解一元二次不等式03题型2－解一元二次不等式03题型2－解一元二次不等式例6.

解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.解

原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无实根；③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}.综上所述，

当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；

当a＝0时，原不等式的解集为∅；

当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}.课堂小结Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）有两个相等实根

x1＝x2＝－没有实数根{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－

}R{x|x1＜x＜x2}∅∅x1x2xyOxyOx1=