高中数学教学与测试-第12章（1-5）

高中数学教学与测试

总复习

教师用书

目录

第1章集合与常用逻辑用语

1集合的概念及运算

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了解集合的含义，理解元素与集合的关系，能够用符号语言刻画集合，能求两个集合

的并集与交集；理解补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关

系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

1.集合与元素.

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号“G”或表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图.特殊数集N,N*,Q,Z,R,C等.

2.集合间的基本关系.

(1)子集：集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若xeA,则xwB),则称集

合A是集合B的子集，记为4=8或8=A).

(2)集合相等：集合A,B中的元要相同或集合A,B互为子集，则称集合A与集合

B相等，记为A=B.

3.集合的基本运算.

(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，即AnB={x|xeA且

x&B}.

(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，即AU8={x|xeA或

xGB}.

(3)补集：设AgU,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，即

q,A={x|xeU且XeA}.

课前热身

1给.出下列结论，其中正确的是()

A.任何一个集合都至少有两个子集B.{yly=Y}={(x,y)|y=/}

C.若{6,1}={0,1},则x=l或1D.若==则Aq(MAN)

【答案】D

【解析】空集的子集只有它本身，故A错误；选项B中集合{y|y=x2}表示数集，而

集合{(x,y)ly=x2}表示点集，它们不相等；选项C中由集合的互异性知XH1；选项D中

由Pn"=PnN=A,所以A=A=N,所以A1(MnN),D正确.故选D.

2.(2020•全国III卷)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x\3<x<15},则AflN中元素的

个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由题意，AnN={5,7,ll},故中元素的个数为3,故选B.

3.(多选)已知集合4={幻/-2彳=0},则有()

A.0cAB.—2GAC.{0,2}=AD.A^{x\x<4}

【答案】ACD

【解析】易知A={0,2},A,C,D均正确.故选ACD.

4.设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x\x>2],则An(03)=.

【答案】{x|0<x<l}

【解析】因为5={x|xNl},所以"8={刘元<1},因为A={x|0<xv2},所以

={x|（）<x<1}.

课堂示例

例1已知集合4={刈“<4，5={X|X2-3X+2<0},若求实数a的取值范围.

【解析】集合3={x|x2_3x+2<0}={x[l<x<2},由408=3可得BqA,作出数轴

如图，可知aN2.

【情景与层级】本题为情景为课程教学情景，层级为基础性.=[

【题眼与方法】本题的题眼为通过集合间的关系转化为不等式之间「।”

的关系，从而利用数轴来刻画相互之间的大小关系.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，等价转化能力和运算求

解能力在问题解决的过程得到了充分体现.

变式1本例中，若集合A={x|x>a},其他条件不变，求实数a的取值范围.

【解析】因为A={x|x>a},3={x[l<x<2},由结合数轴观察（如图），可得a<l.

变式2已知集合4=3》2-3%<0},8={0川，且ACB有4个子集，-----——

求实数a的取值范围.on—x

【解析】因为ACS有4个子集，所以4nB中有2个不同的元素，所以aeA,所以

a2-3a<0,解得0<a<3.又a",所以实数a的取值范围是（0,1）U（1,3）.

说明：本题中学生容易忽略检验集合的互异性而导致错误.

例2（2020•全国III卷）已知集合A={（x,y）|x,yeN*,yNx},8={（x,y）|x+y=8},则

AA6中元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.6

【解析】由题意，AAB中的元素满足且尤,yeN",由x+y=822x,得XW4,

x+y=8,

所以满足x+y=8的有（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,故4口3中元素的个数为4.故选C.

【情景与层级】本题情景为课程学习情景与探索创新情景，其考查层级为基础性、综合性.

【题眼与方法】本题的题眼为理解集合A,B中元素的含义，通过整数的性质控制变

量的范围是解决问题的关键.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而逻辑思维是解决本题

的关键能力.

变式1（2018•新课标H卷）已知集合4={0,田|/+}；243,xeZ,yeZ）,则A中元素的

个数为（）

A.9B.8C.5D.4

【解析】因为f+y?<3,所以》2<3,又xeZ,所以x=-l,0,1.当x=-l时，y=一1,

0,1.当元=0时，y=-l,0,1；当x=l时，y--\,0,1.所以共有9个元素，选A.

变式2（2017•新课标HI卷）已知集合4={（乂y）]》2+卜2=1},B={（x,y）|y=x},则AC|8

中元素的个数为（）

A.3B.2C.lD.0

【解析】由题意可得圆Y+y2=i与直线相交于两点（1,1）,（一1,-1）,则

中有两个元素，故选B.

新题在线

（2021•八省联考卷）已知M,N均为R的子集，且则（）

A.0B.MC.ND.R

【答案】B

2

【解析】因为所以据此可得MU(\N)=M.故选B.

课堂反馈

1.已知集合A={0,l,2},则集合5={x-y|xeA,y"}中元素的个数是()

A.lB.3C.5D.9

【答案】C

【解析】当40,产0,1,2,x—)=0,—L—2；当％=1,产0,1,2,x—y=l,0,—1；

当x=2,y=0,1,2,x—y=2,1,0.所以B中的元素为一2,—1,0,1,2共5个，故选C.

2.已知集合A={(x,y)\x,y为实数，且x?+y?=1},A={(x,y)\x,y为实数，且x+y=l,

则ACS中元素的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】由<"+)'消去),得——A—0,解得x=0或x=\,这时y=l或)=0,即4nB

x+y=l

={(0,1).(1,0)},有2个元素，故选C.

3.(多选)已知集合M={l,2,3,4},N={尤eN*|x242光},则下列结论成立的是()

A.NB.MUN=MC.MCN=ND.Mp|N={2}

【答案】ABC

【解析】由N={xGN*|x2w2x}={l,2},所以A,B,C正确，D错误.故选ABC.

4.设全集为R,集合A={x[0<x<2},B={x|x<l},则AUB,

AfMM.

【答案】{x\x<2},{x|l<x<2}.

【解析】因为8={x|x41},所以为B=={x|无>1},因为A={x[0<x<2},所以

AUB={x|x<2},AO={x[l<x<2}.

练习巩固

1.已知集合闻={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=〃nN,则P的子集共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

【答案】B

【解析】因为P=MDN={1,3},所以P的子集共有22=4,故选B.

2.已知集合相={xeR|(x-l)2<4},A^={-1,0,1,2,31)则Mp|N=()

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-l,0,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】因为M=(—所以MDN={0,l,2},故选A.

3.若集合4={》€1<|依2+以+1=0}中只有一个元素，则a=()

A.4B.2C.OD.0或4

【答案】A

【解析】当a=0,1=0,不合题意，当&H0时，A=0,则a=4故选A.

4.已知M,N为集合/的非空真子集，且M,N不相等，若NnOM=0，则MUN=()

A.MB.NC.ID.0

【答案】A

【解析】根据题意可知，N是M的真子集，所以=".

5.(多选)已知集合4={尤|/一2%>0},3=印82<5},则下列结论正确的是()

A.Afl3H0B.AU3=RC.B^AD.A^B

【答案】AB

3

【解析】A=(-OO,0)U(2,4W),8=(—番,石)，所以AD3H0,AU3=R,故选AB.

6.(多选)已知集合4={1,3,而},3={1,帆)，AUB=A,则根的值可以是()

A.OB.lC.3D.3

【答案】AD

【解析】由4={1,3,而},5={l,m),A\JB=A,故8=A,所以加=3或加=而，即

〃?=3或〃2=0或〃?=1,其中m=1不符合题意，所以加=0或加=3,故选AD.

7.设集合4={0,—4},B={x\x2+2(a+l)x+a2-i=Q,xeR}.若BqA,则实数a的取

值范围是.

【答案】(--1]LJ{1}

【解析】因为A={0,—4},所以BqA,分以下三种情况：①当5=4时，B={0,T},

由此知0和一4是方程/+2(。+1口+/_1=()的两个根，由根与系数的关系，得

A=4(a+l)2-4(a2-l)>0,

<一23+1)=-4,解得。=1；②当且BwA时，8={0}或8={T},并且△=

/一1=0,

4(a+l)2-4(/_1)=0,解得。=一1,此时8={0}满足题意；③当8=0时，

△=4(a+l)2-4(.2一1)<0,解得a<—1.综上所述，所求实数a的取值范围是(-oo,-l]U{l}.

8.已知集合A={x€N|f-2x-340},8={1,3},定义集合4,8之间的运算“*"：A*B=

=+%2,%1&A,X2e5},则A*B=.

【答案】{123,4,5,6}

【解析】由析一2x-320,得(x+l)(x-3)40,得。={0,1,2,3}.因为4*8={♦彳=%|+彳2,

所以4*3中的元素有:0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去)，

2+3=5,3+1=4(舍去)，3+3=6,所以5*B={1,2,345,6}.

9.已知集合A={x|%2一4》一1240},£?={x|x2-4X-/M2+4<0},m>0.

(1)求集合A,B；

(2)若求实数胴的取值范围.

【答案】(1)A={x|-24x<6},B={x\2—m<x<2+m}；(2)[4,+oo).

【解析】(1)由》2-4工一12<0,得-24x«6,故集合4={划一2^^46},由/一4%-机2+

4=0,得X]=2+加，々=2-，〃.当/%>0时，2-m<2+m,由x?+44O得2-〃？

2+m,故集合5={x|2-〃zWx42+m}.

2-m<2+m,

(2)因为A=所以<2-加4-2,解得力“，所以实数机的取值范围为[4,+8).

2+m>6,

10.已知全集。=R,集合A={x|x?-4x<0},B={x\m<x<3m-2}.

(1)当加=2时，求g(AAB)；

(2)如果AU8=A,求实数机的取值范围.

【答案】(1)Q/AnB)={x|x<2或x24}；(2)(-oo,2).

【解析】(1)A={x|()<x<4},m=2时,B={x12<x<4},所以An8={x|2<x<4},

且。=R,所以=(Af!5)={x|x<2或xN4).

(2)因为4U8=A,所以8=①3=0时，m>3m-2,解得m<1；②B=0时，

4

tn>1,

<m>l,解得1<僧<2,综上，实数〃2的取值范围为(-oo,2).

3m-2<4,

思考运用

11.已知集合A={(x,y)|x2+y2<\XyeZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,yeZ),定义集

合A㊉8={(X[+工2，必+%)1(%，%)e4(工2，32)€团，则A㊉3中元素的个数为()

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【解析】因为集合4={(工,丁)|%2+/2eZ),所以集合A中

有9个元素(即9个点)，即图中圆中的整点，集合B={(x,y)||x|V2,

拉区2,x,yeZ}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABC。中

的整点，集合Ae>B={(X]+x2,yt+y2)|(x,,eA,(x2,y2)eB}的元素

可看作正方形。中的整点(除去四个顶点)，即7x7-4=45个.

12.(多选)已知集合A={xeZ|/+3%-10<0},5={x|x2+2ax+a2-4=0}AQfi

中恰有2个元素，则实数。的值可以为()

A.2B.lC.-lD.-2

【答案】AB

【解析】集合A={xeZ|f+3x-10<0}=(xeZ|-5Vx<2}={-4,-3,-2,-1,0,1},

8={%|/+2℃+/-4=0},当a=2时，此时丁+4》=0,解得x=0或九=一4,此时4。8={0,

—4},A正确；当”=1时，此时/+2%一3=0,解得x=-3或41,此时-3,1},B

正确；当。=一1时，此时》2+2犬-3=(),解得户3或％=—1,此时={-1},C不正确；

当a=-2时，此时％2_4%=0,解得40或x=4,此时4口8={0},D不正确，故选AB.

13.在整数集Z中，被5除所得余数为％的所有整数组成一个“类”，记为因，即因={5〃+周

〃eZ},^=0,1,2,3,4,贝U2021e；”整数a,属于同一''类"的充要条件是.

【答案】[1],a-he[0]

【解析】由2021=2020+1=404x5+141]；若整数a,b属于同一类，不妨设氏6C网=

{5〃+A:|〃eZ},则a=5"+A,b=5m+k,〃，〃？为a—b=5(n—zn)+0e[01)也成

立

14.在①2GM,,②函数y=0—l的图象经过点P(2,-口，③a<0,

x\4/

2/一5》-3=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：已知集合”={》€?4|》<3+20},N={x|l<2x+1<6},且________，求Mp|N.

【答案】MAN={1,2}

【解析】选择①，因为2eM,3eM,所以2K3+2a<3.又xwN,所以M={0,l,2}.因为

N={x|l<2x+1<6}=(无0<x<g),所以"nN={l,2}.选择②，将的坐标代入

y=J,解得a—3，故知={》@1^|彳<2}={0,1,2},因为"={%|1<28+1<6}=[*0<%<[

X

所以MnN={l,2}.选择③，2a2-5a-3=(2a+l)(a-3)=0,解得a=-g或a=3(舍去)，故

M={xeN|x<2}={0,1,2},因为N={x|1<2x+l<6}=(x0<x<g),所以MflNRlZ}.

5

15.设数集A由实数构成，且满足：若xeA(xwl且xrO),则一一eA.

(1)若2wA,试证明A中还有另外两个元素；

(2)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为将，且A中有一个元素的平方等

3

于所有元素的积，求集合A

【答案】(1)A中还有另外两个兀素—1,—；(2)A=,2,-1,--,3,-1.

2〔223j

【解析】证明：(1)因为数集A由实数构成，且满足：若且XHO),则一!一wA.

1-x

2eA,所以」一=—leA,—―=-eA,—1=2eA,所以A中还有另外两个元素一1,

1-21-(-1)2.12

1-----

2

(2)A中元素个数不超过8个，所有元素的和为与，且A中有一个元素的平方等于所有

元素的积，所有元素积为1,因为xwA,-eA,—eA,所以(2曰=l=x=L,

i—xxyx/2

.,.1.,1m—\141

fc/Tr以--F2-1+AW4-----1-----=--1TI=-----,3,

21-mm32

拓展探究

(2018•北京卷)设”为正整数，集合4={0|&=(22…乙)，tke{0,l},仁1,2,…,〃}对

于集合A中的任意元素a=(4々…x“)和"=(X，%…>“)，记=+乂一

I%一/I)+(9+必一I%一%I)+…+(%+y〃-I%+%I)1.

(1)当〃=3时，若a=(1,1,0),B=(61，1)，求“(a,a)和“(a,夕)的值.

(2)当〃=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素外从当a,4相同时，

M(a,Q是奇数；当如夕不同时，M(a,Q是偶数.求集合B中元素个数的最大值.

【答案】(1)M(a,a)=2,M(a,4)=1；(2)4个.

【解析】(1)因为a=(1,1,0),归(0,1,1),所以M(a,a,)=-[(1+1-|1-1|)+(1+1

2

-|l-l|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(a,Q=^-[(l+0-|l-0|)+(l+l-|l-l|)+(0+l-|0-l|)]=l.

(2)设a=a，/—,%)GB,则Af(a,a)=玉+々+W+Z屈题意知xl,x2,xi,x4e{0,l},

且M(a,a)为奇数，所以王,々,七,与中1的个数为1或3.所以BU{(1,0,0,0),(0,

1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),

(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0),(1,1,1,0)；(0,

1,0,0),(1,1,0,1)；(0,0,1,0),(1,0,1,1)；(0,0,0,1),(0,1,1,1).

经验证，对于每组中两个元素a,[i,均有M(a,Q=1.所以每组中的两个元素不可能同

时是集合B的元素.所以集合3中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,

0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件，所以集合8中元素个数的最大值为4.

2充要条件与词量

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理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，理解性质定理与三种条件的关系；理解

6

全称量词与存在量词的意义，能正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定.

1.命题.

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句

叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念.

（1）若pnq,则?是<7的充分条件，g是2的必要条件；

（2）若poq,则P是q的充分条件.

3.全称量词与存在量词.

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词，用符号

“V”表示.含有全称量词的命题称为全称量词命题.

（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词，用

符号“三”表示.含有存在量词的命题称为存在量词命题.

（3）含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

课前热身

1.给出下列结论，其中正确的是（）

A."f+2x_3<0”是命题B.当,是P的必要条件时，夕是,的充分条件

C.命题“5>2”是假命题D.“长方形的对角线相等”是存在量词命题

【答案】B

【解析】“/+2工一3<0”不能判断真假，不是命题，故A错误；选项B中q是P的

必要条件，所以“。必夕是,的充分条件，故B正确；选项C,命题“5>2”是真命题；

选项D是全称量词命题.故选B.

2.（202。天津卷）设。61{,则“4>1”是“片>4，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解二次不等式可得。>1或。<0,据此可知。>1是的充分不必要

条件，故选A.

3.（多选）下列命题是真命题的有（）

A.VXGR,XJ-1>0B.VxeN*,（x-l）2>0

C.3x0eR,lgx0<1D.3x0eR,tanx0=2

【答案】ACD

【解析】当Al时，*-1）2=0,故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.

4.（2017•北京卷）能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+』<c"是假命

题的一组整数。，4c的值依次为.

【答案】一2,-4,-5（答案不唯一）

【解析】a>b>c,取a=—2,/?=-4,c=-5,则a+Z?=-6<c.

课堂示例

例1已知P={x|x?-8x-2040},非空集合S={x\\-m<x<\+m].若xe尸是xeS的

必要条件，求实数机的取值范围.

【解析】由—20<0,W-2<x<10,所以P={x|-2<x<10}.因为xeP是xwS

的必要条件，则S=P所以『一‘〃"一2'解得加W3.又因为S为非空集合，所得1-〃?41+加，

1+m<10,

解得相上0,m的取值范围是[0,3].

【情景与层级】本题情景为课程教学情景，层级为基础性.

7

【题眼与方法】本题的题眼为通过命题的关系转化为集合之间的包含关系，从而利用

不等式来求解参数范围.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，等价转化能力和运算求

解能力在问题解决的过程得到了充分体现.

变式1本例条件不变，问是否存在实数〃?，使xeP是xeS的充要条件?并说明理由.

【解析】由例题知「^刈-24x410}.若无cP是xcS的充要条件，则。=5,所以

1-^0

'此方程组无解.所以，这样加不存在.

l+m=10,

变式2本例条件改为“若xeP是xeS的充分不必要条件”，求实数〃?的取值范围.

【解析】由例题知r={村-2Wx<10}.因为xeP是xeS的充分不必要条件，所以集合

P是集合S的真子集，所以‘或:'所以根29.又因为S为非空集合，所

[1+机>10[l+m>10,

以1-加41+〃7,解得加20.综上，实数机的取值范围是[9,+8).

例2若f(x)=x2-2x,g(x)-ax+2(a>0),V%e[-l,2],Bxe[-l,2],使g(xj=f(x),

求实数。的/'(x),求实数a的取值范围.

【解析】由于函数g(x)在定义域[一1,2]内是任意取值的，且必存在xg-1,2],使

得g(%)=/(x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数/(x)值域的子集.因为函数f(x)=

炉-2彳=0-1)2-1的值域是[-1,3],又。〉0,所以函数g(无)的值域是[2-a,2+2a],则

2—ci2—1,即吗.故a的取值范围是层

2+2。<3,

【情景与层级】本题情景为课程学习情景与探索创新情景，其考查层级为基础性、综合性.

【题眼与方法】本题的题眼为理解量词的含义，等价转化为函数的性质来解决问题.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而逻辑思维是解决本题

的关键能力.

变式1本例中，若将“g(X)=/(x)”改为“g(%)N/(x)”，其他条件不变，求实数a的

取值范围.

【解析】由于函数g(x)在定义域[-1⑵内是任意取值的，且必存在xe[-1,2],使得

ga)N/(x),因此问题等价于函数g(x)的最小值大于等于函数/(x)的最小值.因为函数

/(X)=/一2X=(x-l)2一1的最小值是—1,又。>0,所以函数g(x)的最小值是2—a,则

又2-。2-1,即aK3.故a的取值范围是(0,3].

变式2若/(》)=/一2%,g(x)=ax+2,问是否存在实数。，使得对Vxe[-1,2],都有

g(x)>/(x)?

【解析】由题意可得不等式以+2之/一2%在》封一1,2]上恒成立，gpx2-(2+a)x-2<Q

在xe[-1,2]上恒成立，设〃(x)=r一(2+a)x-2,函数h(光)的图像表示开口向上的抛物

Q+1<0,

线，所以<解得a=-l,所以这样的a存在.

—2a—240,

新题在线

(2021•八省联考卷)关于x的方程Y+奴+8=0,有下列四个命题：①是该方程

的根；②A3是该方程的根；③该方程的两根之和为2；④该方程的两根异号.如果只有一

个假命题，则该命题是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

8

【解析】若①是假命题，则②®④是真命题，则关于光的方程V+以+8=()的一根为3,

由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号，合乎题意；若②是假命题，则①③④

是真命题，x=l是方程/+6+匕=0的一根，由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号，

不合乎题意；若③是假命题，则①②④是真命题，则关于x的方程V+办+/,=()的两根为1

和3,两根同号,不合乎题意;若④是假命题,则①②③是真命题,则关于x的方程/+5+方=0

的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.综上所述，①为假命题.故选A.

课堂反馈

1.命题“Vxe[0,+oo),x3+xZ0”的否定是()

A.Vxe[0,+oo),x3+x<0B.VxG(-OO,0),X3+x>0

C.3x0G[0,+=o),+x0<0D.3x0e[0,+oo),XQ+x0>0

【答案】C

【解析】把量词“V”改为“m”，把结论否定，故选C

2.(2020浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线机，〃，I,则"/w,〃，/在同一平

面”是“相，〃，/两两相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由条件可知当机，n,/在同一平面时，则三条直线不一定两两相交，有可能

两条直线平行或三条直线平行；反过来，当空间中不过同一点的三条直线加，n,/两两相

交时，三个不同的交点确定一个平面，则〃z,n,I在同一平面.所以am,n,I”在同一平

面是um,n,/两两相交”的必要不充分条件，故选B.

3.(多选)下面有4个命题，其中是真命题的是()

A.集合N中最小的数是1

B.若一a£N,则aeN

C.若“GN*,beN*,贝Ua+b的最小值为2

D./+1=2%的解集为{1}

【答案】CD

【解析】A为假命题，集合N中最小的数是0；B为假命题，如不满足；C为真

命题，a=b=\,a+0=2最小；D为真命题，所给方程有重根1.

4.(2020•上海卷)命题p：若存在aeR且aHO,对任意的aeR,均有/(x+a)</(x)+

/(«)恒成立.已知命题4：f(x)单调递减，且/(x)>0恒成立；命题私：/(%)单调递增，存

在/<0使得/(%)=0厕命题％是命题p的条件，命题%是命题P的条件.

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【答案】充分不必要；充分不必要.

【解析】0：当。>0,/(«)>0,因为函数/(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)<“X)

+/(a),即/(x+a)</(x)+/(a),所以存在。>0,当满足命题小时，命题〃成立，所以命

题名是命题〃的充分条件，反之取/(x)=e*,a=~l,命题〃成立，但命题名不成立；%：当

a=Xo<O时，/(a)=0,因为函数/(x)单调递增，所以〃x+a)=f(x)</(x)+/(a),即

f(x+a)<f(x)+存在a<0,当满足命题%时，命题p成立，所以命题外是命题p的充

分条件，反之取/(x)=e“，x=-1,命题p成立，但命题名不成立.

练习巩固

1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

9

A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

【答案】B

【解析】根据存在量词命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，

故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.

2.下列命题是假命题的是（）

A.eR,log2x=0B.BxcR,cosx=1

C.VxeR,x2>0D.VXGR,2'>0

【答案】C

【解析】因为log21=0，cosO=l,所以选项A,B均为真命题，。2=（）,选项C为假

命题，2*>0,选项D为真命题，故选C.

3.（2018•上海卷）已矢口awR,贝犷a>1"是“'<1”的（）

a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】由a>l可得成立；当工<1,即_1一1=匕£<0,解得。<0或。>1,推

aaaa

不出a〉l一定成立.所以“a>l”是“工<1”的充分非必要条件.故选A.

a

4.（2019•全国H卷）设a,6为两个平面，则二〃/?的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与月平行

C.a,月平行于同一条直线D.a,力垂直于同一平面

【答案】B

【解析】对于A,a内有无数条直线与月平行，则a与尸相交或a〃力，排除；对于B,

a内有两条相交直线与月平行，则。〃/?；对于C,a,力平行于同一条直线，则a与尸相

交或a〃力，排除；对于D,a,£垂直于同一平面，则a与4相交或。〃力，排除.故选

B.

5.（多选）下列结论正确的有（）

A.若a>0>0,则a/〉。,？

B.命题“Vx>0,2'2/"的否定是，，玉>o,2x>x2"

C.“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题

D.是“的必要不充分条件

22

【答案】BD

【解析】对于A：若a>力>0,当c=0时，则a。?=be?,故A错误;对于B：命题“Vx>0,

的否定是''士>0,2,2/”，故选B正确；对于C：“三个连续自然数的乘积是6

的倍数”是任意性命题，故选C错误；对于D：由于整理得-L<x-L<,，

故0<x<l时，所以当0<x<l,x<l成立，当％<1时，0<无<1成立，故‘％<1”是“x--<1”

22

的必要不充分条件，故D正确.故选BD.

6.（多选）使不等式1+，>0成立的一个充分不必要条件是)

X

10

A.x>2B.x>0C.工〈-1或x>lD.-l<x<0

【答案】AC

1y_1-1

【解析】不等式l+2>0,即土上>0,所以x(x+l)>()解得龙〉0或％<-1.使不等式

XX

1+，〉0成立的一个充分不必要条件是X〉2及％<-1,或x>1.故选AC.

x

7.若“Vxw0,—,tanx<mv是真命题，则实数机的最小值为_______.

_4_

【答案】1

【解析】“Vxe0,—,”是真命题，则m2tan匹=1,于是实数机的最小值为

_4」4

1.

8.(2018•北京卷)能说明“若/(x)>/(0)对任意的xe(0,2］都成立，则/(x)在［0,2］

上是增函数”为假命题的一个函数是.

【答案】/(x)-sinx(不答案不唯一)

【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足/(x)>/(0)对任意的XG(0,2］都

成立，且函数/(x)在［0,2］上不是增函数即可，如/(x)=sinx,答案不唯一.

9.已知集合A=*；<2"8>,B={x\x-C={x||%-w|<2}.

(1)若"2=2,求集合AflB.

(2)在8,。两个集合中任选一个，补充在下面的问题中，并解答：

条件p：xeA,条件q：xe,求使得p是q的必要充分条件的机的取值范

围.

【答案】(案ADB={x|l<x<3)；(2)选B,则阳的取值范围为［-1,2］；选C,则机

的取值范围为［0,1］.

【解析】(1)由已知，将m=2代入x2-2mx+病一1<o,可得.-4x+3<0,解得1<x<3,

即3={刈1<%<3}.又4=［《；<2'48］=>4={刈2-2<2”《23}=>4={幻—2<%43},所以

AnB={x［l<x<3}=(l,3).

(2)若选8：由f_2/nx+m2—1<0，得［x-(nt-l)］［x—(m+l)］vO，所以用一1vxvm+l,

所以3={x|m-lvxvm+l}.由p是q的必要非充分条件，得集合B是A的真子集，所以

W7—1>—2

；+］13'解得一1<"2<2.故机的取值范围为［―1,2］.若选C：由|x—m|v2,得m—2<%<

m+2,所以C={x|m-2<x〈机+2}.由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子

m—1>—2

集，所以一’解得0K机<1.故机的取值范围为［0,1］.

［m+\<3,

10.设命题p：实数x满足V一4奴+3/<0,命题q：实数x满足|x-3|<l.

(1)若。=1，若p，(7同为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若。>0且q是p的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

*4-

【答案】(1)(2,3)；(2)1,2.

【解析】(1)若a=l,命题p：实数x满足V一4X+3<0,解得1<X<3,命题q：实数x满

11

足|x-3|<1,解得2<%<4,若p,(7同为真命题，则2<x<3,所以实数x取值范围为(2,3).

(2)命题p：实数x满足d一4利+3a2<0,化为(x-a)(x-3a)vO,因为。>0,所以

a<x<3a,若。>0且q是〃的充分不必要条件,则(2,4)呈(a,3a),故解《"一’得

3a>4,3

(等号不同时取得)，故。的取值范围是1,2.

思考运用

11.下列命题是真命题的是()

Av2

A.3x0eR,e°<0B.VxeR,2>x

C.a+b=O的充要条件是3=TD.a>\,〃>1是必>1的充分条件

b

【答案】D

【解析】因为VxeRe>0,故排除A；取x=2,则22=22,故排除&。+。=0,。=匕=0,

则不能推出@=-1,故排除C.故选D.

b

12.(多选)下列命题正确的是()

A.〉0,InxH---<2

Inx

B.命题'Fxw(0,+oo),In尤=x-l"的否定是"Vxe(0,+oo),InxHx-l”

C.设x,yeR,则“x22且yi2”是“V+y24”的必要不充分条件

D.设a/eR,则“"0”是“正。”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】当]=工>0时，ln<0,lnx+—!—<0,故A正确；根据存在量词命题的否定

2