高中数学必修第一册2. 2.3 一元二次不等式的解法

2.2.3一元二次不等式的解法

从函数观点看一元二次不等式.①经历从实际情境中抽象出一元二次不

最新谭等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求

程标准解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一

元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

新知初探•自主学习——突出基础性

知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

J>0/=0/vo

上支

y=ax2+bx+c(a>0)

的图像

有两个相等的实数根

ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实数

b没有实数根

的根根X|，X2(X\<X2)制=不=一石

ax2+bx+c>0(a>0)

[X\X<X\或X>X2){小~,}R

的解集

加+bx+c<0(a>0)

{X|X1<X<X2)00

的解集

状元随笔一元二次不等式的解法:

(1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax^+bx+cXX2。)或ax2+bx+c<0(W0)的一

元二次不等式，一般可分为三步：

①确定对应方程ax2+bx+c=0的解；②画出对应函数y=ax2+bx+c的图像简图；③

由图像得出不等式的解集.

对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把

它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x—

p)(x—q)>0,则x>q或x<p；若(x—p)(x—q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边,

小于取中间”.

基础自测

1.下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.a2jr+2^0B.马<3

X2

C.—f+x—mWOD.x3-2x+1>0

2.不等式尤a+i)wo的解集为()

A.[-1,+8)B.[-1,0)

C.(一8,-1]D.[-1,0]

3.函数^=标袅的定义域为()

A.[-7,1]B.(-7,1)

C.(—8,—7]U[1,+co)D.(—00,—7)U(1,+co)

4.不等式l+2x+1W0的解集为.

课堂探究•素养提升——强化创新性

题型1解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1P66例3、例4]

例1(1)求不等式『一'一2>0的解集.

(2)求不等式/一6X一1W0的解集.

(3)求不等式一1V0的解集.

【解析】(1)因为/-x-2=(x+l)(x-2),

所以原不等式等价于(x+l)(x—2)>0,因此所求解集为(-8,-l)u(2,+8).

(2)因为/-Gx-lnr—Gx+g—9-1=。-3)2—10,

所以原不等式可化为。-3产一10W0,即(X—3>W10,

两边开平方得|X-3|WA/H,从而可知一A/TUWX—3WJIU,

因此所以不等式的解集为

[3-V10,3+V10].

(3)原不等式可化为f-2x+l>0,

又因为产-2%+1=(犷-1)2,所以上述不等式可化为

(x-l)2>0.

注意到只要xWl,上述不等式就成立，所以不等式的解集为(-8,l)u(l,+8).

敷材反思

我们以求解可化成分2+6x+c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程.

跟踪训练1解下列不等式：

(l)jr—7JC+12>0；(2)—x2—2x+320；

(3)?-2r+]<0;(4)-2X2+3X-2<0.

状也随邕

题型2三个“二次”之间的关系［经典例题］

例2已知关于x的不等式加+fec+c>0的解集为{x［2<xV3},求关于x的不等式ex2

+/>x+a<0的解集.

由给定不等式一确定a<0及~用a表

状元随笔的解集形式-关于a,b,c的方程组「示b,c

方法招佃

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题

时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.

(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的

根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.

(2)若一元二次不等式的解集为R或。，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次

函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围.

跟踪训练2已知一元二次不等式W+px+qVO的解集为｛x|-4vx<3,求不等式qf

+px+l>0的解集.

猊察给定木等久由根与系数的关系

状元随鎏

的商军集由久得夕，q的方程组

一确定九夕的值一求彳、等式"十用/〉o的解集

题型3含参数的一元二次不等式的解法［经典例题］

例3解关于x的不等式*+ax+2>0.

状元随笔二次项系数为2,A=a2-16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数,

因此需对判别式A的符号进行讨论，确定根的个数.

方Hi-la他

含参数一元二次不等式求解步骤

(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；

(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；

(3)当/>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；

(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.

跟踪训练3解关于x的不等式/一(〃+/)田+/>0.

题型4一元二次不等式的实际应用|经典例题］

例4某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,

设生产该产品M百台)，其总成本为g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本)，并且销售收入

田口f-0.5x2+7x-10.5,0<x<7,

r(x)满足心)=(

I13.5,x>7.

假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：

(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？

(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？

(1)求利润函数f(x)n解不等式f(x)>0=回答实际问题.

(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值=回答实际问题.

方法<)3依)

解不等式应用题的四步骤

(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.

(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.

(3)求：解不等式.

(4)答：回答实际问题.

特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.

跟踪训练4某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征

税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定

将征税率降低x(xWO)个百分点，预测收购量可增加2%个百分点.

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.

状元随笔根据题意，列出各方量之间的关手表，如下：

原计划降税后

价格(元/担)200200

税率10%(10-x)%(0<x<10)

收购量(万担)aa(l+2x%)

收购总金额(万元)200a200a(l+2x%)

税收y(万元)200a-10%200-a(l+2x%)(10-x)%

2.2.3一元二次不等式的解法

新知初探咱主学习

［基础自测］

1.解析：选项A中，“2=0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为

三次；只有选项C符合.

答案：c

2.解析：解不等式得一IWXWO,故选D.

答案：D

3.解析：由7—6x—f>0,得f+6%—7<0,即(x+7)(x—1)<0,所以一7<x<l,故选B.

答案：B

4.解析：不等式l+Zr+fWO化为(戈+1)2忘0,解得x=-1.

答案：｛T｝

课堂探究•素养提升

跟踪训练1解析：(1)因为/=1>0,所以方程『一7》+12=0有两个不等实根乃=3,

及=4.再根据函数y=d—7x+12的图像开口向上，可得不等式X2—7x+12>0的解集是｛8》

<3或Q4｝.

(2)不等式两边同乘一1,原不等式可化为3W0.因为/=16>0,所以方程/+

2%—3=0有两个不等实根制=-3,忿=1.再根据函数y=f+2x-3的图像开口向上，可得

不等式一f—2»+320的解集是3-3WxWl｝.

2

(3)因为/=0,所以方程X—2x+l=0有两个相等的实根M=X2=1.再根据函数y=/

-2x+l的图像开口向上，可得不等式工2—2%+1<0的解集为。.

(4)原不等式可化为2?—3x+2>0,因此/=9-4X2X2=-7<0,所以方程2f-3x

+2=0无实根，又二次函数y=2?—3x+2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.

例2【解析】方法一由不等式o^+bx+oO的解集为｛x［2<r<3｝可知，a<0,且2

和3是方程tzx2+Z>x+c=O的两根，由根与系数的关系可知'=-5,-=6.由a<0知c<0,-=

aac

一,故不等式cf+bx+aV),即f+'x+W,。，即x2—1r+；>0,解得或所以不等式

6CC6632

cd+fer+ovO的解集为(—8,0uQ,+8).

方法二由不等式aK+hx+c>。的解集为｛川24<3｝可知，〃<0,且2和3是方程

11

bx+c=O的两根，所以ax+bx+c=a(x—2)(x—3)=ax—5ax+6a=>b=—5afc=6a,故不

等式cf+fer+ovO,即6加一5or+4<0=64(x—；)(x—g)<0，故原不等式的解集为(一8,

|)ug,+00),

跟踪训练2解析：因为x2+px+q<0的解集为｛x|—：<xV)所以xi=—1与X2=

方程x2+px+q=O的两个实数根，

由根与系数的关系得

(11

--=—Dp=3

J/八，解得

Wqq=V

所以不等式qf+px+1>0即为一g+2x+l〉。，

66

整理得x2—x—6<0,解得一2<x<3.

即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<d<3}.

例3【解析】对于方程2?+公+2=0,其判别式/=〃2—16=3+4)3—4).

①当〃>4或a<—4时，J>0,方程2f+or+2=0的两根为x\=~(—a—Va2—16),X2

--(—〃+Va2—16).

4

J原不等式的解集为

{x|x<，(—a—孤2-16))或x>(―a+Va2—16)}.

②当〃=4时，4=0,方程有两个相等实根，X\=X2=—\,

・,・原不等式的解集为WxW—l｝.

③当〃=-4时，/=0,方程有两个相等实根，汨=12=1,

二原不等式的解集为｛x|x#l｝.

④当一4<〃<4时，J<0,方程无实根，，原不等式的解集为R.

跟踪训练3解析：原不等式可变形为(工一4>。一。2)>0,则方程(比一。)。一/)=0的两个

根为Xl=a,X2="2,

①当〃<0时，有4</,或》>/,此时原不等式的解集为｛.很<〃或X>〃2｝；

②当0<〃<1时，有〃>/,即xV?或此时原不等式的解集为｛冲《/或x>。｝；

③当4>1时，有於>〃，即或X>〃2,此时原不等式的解集为｛工以<4或x>〃2｝；

④当4=0时，有xHO；・,・原不等式的解集为｛4r£R且xr0｝；

⑤当。=1时，有xWl,此时原不等式的解集为｛x|x£R且尤#1｝;

综上可知：

当a<0或々>1时，原不等式的解集为｛x|x<4或x>a2｝；

当0<a<l时,原不等式的解集为｛x|x</或x>a｝；

当〃=0时，原不等式的解集为且xWO｝；

当a=\时，原不等式的解集为｛x|x£R且xNl｝.

例4【解析】⑴依题意得g)=尤+3,设利润函数为危)，则

-0.5x2+6x—1