高中数学竞赛教材讲义第十一章圆锥曲线讲义

第十一章圆锥曲线

一、基础学问

1.椭圆的定义，第肯定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的

点的轨迹，即|PF"+|PFz|=2a(2a>|FFz|=2c).

其次定义：平面上到一个定点的距离及到一条定直线的距离之比为同一个常数e(O〈e<l)的点的轨迹

(其中定点不在定直线上)，即

(0<e<l).

222222

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆5：x+y=a,c2:x+y=b,a,bCR'且aWb。从原点动身的

射线交圆5于P,交圆5于Q,过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即

为椭圆。

2.椭圆的方程，假如以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它

的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

(a>b>0),

参数方程为(6为参数)。

若焦点在y轴上，列标准方程为

(a>b>0).

3.椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),

(0,±b),(±c,0)；及左焦点对应的准线(即其次定义中的定直线)为，及右焦点对应的准线为:

定义中的比e称为离心率，且，由知0<e<l.

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4.椭圆的焦半径公式：对于椭圆l(a>b>0),F,(-c,0),F2(C,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆

上的随意一点，则|PFj=a+ex,IPF21=a-ex.

5.几个常用结论：1)过椭圆上一点P(x。，y。)的切线方程为

2)斜率为k的切线方程为y=kx±y)a2k2+b2；

3)过焦点F?(c,0)倾斜角为。的弦的长为

0

6.双曲线的定义，第肯定义：

满意I|PFj-|PFz||=2a(2a<2c=|FE|,a>0)的点P的轨迹；

其次定义：到定点的距离及到定直线距离之比为常数e(>l)的点的轨迹。

7.双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

参数方程为(夕为参数)。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

O

8.双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

(a,b>0),

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为

F.(-c,0),F2(C,0),对应的左、右准线方程分别为离心率，由a'b'cz知e>l。两条渐近线方程为,

双曲线及有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若@巾，则称为等轴双曲线。

9.双曲线的常用结论，1)焦半径公式，对于双曲线，R(-c,0),F2(C,0)是它的两个焦点。设P(x,y)

是双曲线上的任一点，若P在右支上,则|PFi|=ex+a,|PFz|=ex-a；若P(x,y)在左支上，则IPFiI=-ex-a,

PF21=-ex+a.

2)过焦点的倾斜角为()的弦长是。

10.抛物线：平面内及一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点,

直线1叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线1的直线为x轴，x轴及1相交于K,以线

段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p,则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程

为y2=2px(p>0),离心率e=l.

11.抛物线常用结论：若P(x0,y。)为抛物线上任一点，

1)焦半径|PF|=；

2)过点P的切线方程为yoy=p(x+x0)；

3)过焦点倾斜角为0的弦长为。

12.极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为0,从0动身的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立

了极坐标系，对于平面内随意一点P,记|OP|=P,NxOP=。，则由(P,0)唯一确定点P的位置,

(P,e)称为极坐标。

13.圆锥曲线的统肯定义：到定点的距离及到定直线的距离的比为常数e的点P,若0<e<l,则点P

的轨迹为椭圆；若e>l,则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=L则点P的轨迹为抛物线。这三种圆

锥曲线统一的极坐标方程为。

二、方法及例题

1.及定义有关的问题。

例1己知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当31PAi+5iPF］取最小值时，

求点P的坐标。

［解］见图11T,由题设a=5,b=4,c=J52-42=3,.椭圆左准线的方程为,又因为，所以点A在

椭圆内部，又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则9PF|=PQ|。

3

所以31PAi+5|PF|=3(|PA|+9|PF|)=3(|PA|+|PQ|)》31AMi(AM_L左准线于M)。

3

所以当且仅当P为AM及椭圆的交点时，31PAi+5|PF］取最小值，把y=l代入椭圆方程得，又x〈0,所

以点P坐标为

例2已知P,P'为双曲线C：右支上两点，PP延长线交右准线于K,PFi延长线交双曲线于Q,(F)

为右焦点)。求证：ZP'F,K=ZKF,Q.

［证明］记右准线为1,作PD11于D,于E,因为PE〃PD,则，又由定义，所以

lf5_L=1^2L=由三角形外角平分线定理知，HK为/PFF的外角平分线，所以N

\P'Ft|\P'E\\P'K\

PH7C=ZKFlQo

2.求轨迹问题。

例3已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

［解法一］利用定义，以椭圆的中心为原点0,焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方

程：=1(a>b>0).F坐标为(-c,0).设另一焦点为广。连结A尸，0P,则。所以

FP|+|POi=-(|FA|+|AF'|)=a.

2

所以点P的轨迹是以F,0为两焦点的椭圆(因为a〉|FO1=c),将此椭圆按向量用=(£,0)平移，得到

2

中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为

［解法二］相关点法。设点P(x,y),A(x„yj,贝即刈=2x+c,y,=2y.又因为点A在椭圆上，所

以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和0的椭圆。

例4长为a,b的线段AB,CD分别在x轴，y轴上滑动，且A,B,C,D四点共圆，求此动圆圆心P

的轨迹。

［解］设P(x,y)为轨迹上随意一点，A,B,C,D的坐标分别为A(x-g,O),B(x+-,O),C(0,y--),

222

b

D(0,y+—),记0为原点,由圆幕定理知|OA|”OB|=|OC|-|OD|,用坐标表示为,即

2

当a=b时，轨迹为两条直线y=x及y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。

TT

例5在坐标平面内，NAOB二一，AB边在直线1:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。

3

TT

［解］设NxOB=。，并且B在A的上方，则点A,B坐标分别为B(3,3tan。)，A⑶3tan(9--))，设

3

外心为P(x,y),由中点公式知OB中点为M。

由外心性质知y=Ttane+tan(e-。))再由PM_LOB得

Xtan0=-lo结合上式有

•tan9=①

2

又tan«+=§y.②

又V3=tany=tan0-^0-.

所以tan()-=J51+tan^-tan^-yj两边平方，再将①，②代入得。即为所求。

3.定值问题。

例6过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作BALx轴，交双曲线于B”B?两点，B?及左焦点以连线交

双曲线于B点，连结BB交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。

［证明］设点B,H,F的坐标分别为(aseca,btana),(Xo,0),(c,0),则F”B,,B?的坐标分别

b2b2

为(-c,0),(c,(c,—),因为R,H分别是直线BRBB1及x轴的交点，所以

aa

ahah^acsina-

c=；XQ-；.Cl)

2asina-hcosa9asma+Z7cosa

a%S+csina)

所以5()=-------------------------Z---7-

2Q~sina+ahsinacosa-b~cosa

_a2h(h+csina)

a2sin2a+absinacosa-b2+c2sin2a

_a%S+csina)

asina(〃sina+〃cosa)+(csina)(csina+b)

a(b+cs'ma)

由①得asina+bcosa

a2b

代入上式得“o

a2sina,.,、

(csinot-o)

即(定值)。

注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7设抛物线yZ=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在准线上，且

BC〃x轴。证明：直线AC经过定点。

2

［证明］则，焦点为，所以，，，。由于为〃而，所以？1・y2-yF0,

2P

即=0。因为%/内，所以。所以，即。所以OA〃OC，即直线AC经过原点。

例8椭圆上有两点A,B,满意0AL0B,0为原点，求证：为定值。

［证明］设|0A|=ri,|0B|=r2,且NxOA=0,NxOB=,则点A,B的坐标分别为A(ricos9,risin

9),B(-r2sin0,r2cos0)o由A,B在椭圆上有

42cos2.,2si2n']]sin26+]cos20

=1.

a-2h2a2b2

即①

②

1111

①+②得----1----=---1--(定值)。

|CM|2\OB\2a2b1

4.最值问题。

例9设A,B是椭圆x?+3y2=l上的两个动点，且0AJ_OB(0为原点)，求IAB|的最大值及最小值。

［解］由题设a=l,b=手,记|0A|=rb|0B|=r2,,参考例8可得二4。设

AB12==—(^2+r；)(—+—)=—(2+t2+—),

44rf4t

因为二=塔g+注£=二+叱匕$山26,且选>旨，所以，所以bWnWa,同理bWrzWa.

4ahaa~b~

所以。又函数f(x)=x+L在上单调递减，在上单调递增，所以当t=l即|OA|=|OBI时，IABI取最小值

X

1；当或巴时，IABI取最大值季。

b3

V3

例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为若圆C：1上点及这椭圆上点的最大距

2

离为1+J7,试求这个椭圆的方程。

［解］设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1,因为|AB|W

|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线，且|BCi取最大值时，|AB|取最大值1+J7,所以

|BC|最大值为J7.

因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,JG,t,椭圆方程为，并设点B坐标为

91

B(2tcos0,tsin0),则|BC|2=(2tcos0)2+=3t2sin20-3tsin0+—+4t2=-3(tsin0+—)2+3+4t2.

42

若，W』，则当sin9=-1时，|BC「取最大值t，3t+,及题设不符。

2

若t>,，则当sin。=一时，|BC「取最大值3+4/,由3+4t：7得t=L

22t

所以椭圆方程为。

5.直线及二次曲线。

例11若抛物线y=ax2-l上存在关于直线x+y=O成轴对称的两点，试求a的取值范围。

［解］抛物线y=ax2-l的顶点为(0,-1),对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在

一对点P(xi,y),P'(-yb-xi),满意—1且-x尸a(-y)2-l,相减得xi+y尸a(x；—y；),因为p

不在直线x+y=0上，所以Xi+yiWO,所以1二a(x「y。，即Xi=yi+L

a

所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。

例12若直线y=2x+b及椭圆相交，(1)求b的范围；(2)当截得弦长最大时，求b的值。

［解］二方程联立得17x2+16bx+4(b2-l)=0,由A>0,得一JF7<b<717；设两交点为P(xi,yJ,Q(X2,y2),

I~

4V17/r

由韦达定理得|PQl=Jl+%21%-x2|=V5x~,,所以当b=0时，|PQ|最大。

17

三、基础训练题

1.A为半径是R的定圆。。上肯定点，B为。。上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹

是.

2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是

3.椭圆上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是

4.双曲线方程，则k的取值范围是.

5.椭圆，焦点为F”艮，椭圆上的点P满意NFFF2=60°,则AFF&的面积是______.

6.直线1被双曲线所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分，则1的方程为_____.

7.AABC的三个顶点都在抛物线，=32x上，点A(2,8),且△ABC的重心及这条抛物线的焦点重合,

则直线BC的斜率为.

8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4yT0=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线

方程为.

9.已知曲线/=ax,及其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点，假如过这两个交点的直线

的倾斜角为45°,那么a=.

10.P为等轴双曲线上一点，的取值范围是.

11.已知椭圆及双曲线有公共的焦点F”F2,设P是它们的一个焦点，求NFFF?和APFE的面积。

12.己知(i)半圆的直径AB长为2r；(ii)半圆外的直线1及BA的延长线垂直，垂足为T,设

|AT|=2a(2a<-);(iii)半圆上有相异两点M,N,它们及直线1的距离|MP|,|NQ|满意求证：

2

|AM|+|AN|=|AB|.

13.给定双曲线过点A(2,1)的直线1及所给的双曲线交于点R和％,求线段PR的中点的轨迹方

程。

四、高考水平测试题

1.双曲线及椭圆/+4/=64共焦点，它的一条渐近线方程是x+6y=0,则此双曲线的标准方程是

2.过抛物线焦点F的直线及抛物线相交于A,B两点，若A,B在抛物线准线上的射影分别是A”B,.

则NAFB产.

3.双曲线的一个焦点为R,顶点为儿，Az,P是双曲线上任一点，以IPFJ为直径的圆及以AA/为直

径的圆的位置关系为.

4.椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=ll,椭圆上有一点M横坐标为T,M到此准线异

侧的焦点F,的距离为________.

5.4a2+b2=l是直线y=2x+l及椭圆恰有一个公共点的条件.

6.若参数方程(t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是一.

7.假如直线丫=1«+1及焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是一.

8.过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有条.

9.过坐标原点的直线1及椭圆相交于A,B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则

直线1的倾斜角为.

10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>l)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,

这样的三角形最多可作个.

11.求椭圆上任一点的两条焦半径夹角()的正弦的最大值。

12.设F,0分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的随意弦AB,点0都在以AB为直径的

圆内，求椭圆离心率e的取值范围。

13.己知双曲线G：(a>0),抛物线G的顶点在原点0,C?的焦点是G的左焦点居。

(1)求证：G,C?总有两个不同的交点。

(2)问：是否存在过G的焦点宿的弦AB,使AA0B的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB

的方程及SAAOB的最值，若不存在，说明理由。

五、联赛一试水平训练题

1.在平面直角坐标系中，若方程m(x2+/+2y+l)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是

2.设。为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|0F|=a,【PQ|=b,AOPQ面积为.

3.给定椭圆，假如存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点，且OPLOQ,则离心率e的取值范围

是.

4.设R,也分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过B作NFFF2平分线的垂

线，垂足为M,则M的轨迹为________.

5.AABC一边的两顶点坐标为B(0,、回)和C(0,-V2),另两边斜率的乘积为-,，若点T

2

坐标为(t,0)(teR),则IAT|的最小值为.

6.长为1(1<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x?上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等

于.

7.已知抛物线y?=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab』0,t)2#2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM

及抛物线的另一个交点分别为W,M2,当M变动时，直线M岫恒过一个定点，此定点坐标为.

8.已知点P(1,2)既在椭圆内部(含边界)，又在圆/+/=外部(含边界)，若a,bGR,则a+b的

最小值为.

9.已知椭圆的内接AABC的边AB,AC分别过左、右焦点R,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直

线DB及直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。

10.设曲线G：(a为正常数)及C2：y、2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。(1)求实数m的取值范

围(用a表示)；

(2)0为原点，若G及x轴的负半轴交于点A,当时，试求△OAP面积的最大值(用a表示)。

2

11.已知直线1过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,

8)关于1的对称点都在C上，求直线1和抛物线的方程。

六、联赛二试水平训练题

1.在四边形ABCD中，对角线AC平分/BAD,在CD上取一点E,BE及AC相交于F,延长DF交BC

于G,求证：ZGAC=ZEAC,

2.求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都

是有理数。

3.以B。和B,为焦点的椭圆及△ABB的边AB；交于G(i=0,1),在AB。的延长线上任取点P。，以B。为

圆心，BoP。为半径作圆弧痣Qo交GB。的延长线于Q。；以G为圆心，GQ。为半径作圆弧Q°Pi交AA的延

长线于R；Bi为圆心，BR为半径作圆弧PQ交的延长线于孰；以C。为圆心，CQ为半径作圆弧

Q>Pn,交AB。的延长线于P'o。求证：(1)点P'o及点P。重合，且圆弧PoQ。及P4相内切于P。；(2)

Po,Qu,Qi共圆。

4.在坐标平面内，从原点动身以同一初速度vo和不同放射角(即放射方向及x轴正向之间的夹角)

7T

a(aW[0,n],aW2)射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，全部这些抛物线组成一个

2

抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线相互垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物

线族的全部正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。

5.直角AABC斜边为AB,内切圆切BC,CA,AB分别于D,E,F点，AD交内切圆于P点。若CPLBP,

求证：PD=AE+AP0

6.已知BCJ_CD,点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ,又在BQ上找一点R,使BR=2RQ,CQ上找

一点S,使QS=RQ,求证：ZASB=2ZDRC,

答案：

基础训练题

1.圆。设A0交圆于另一点A',A'是A关于A的对称点。则因为所以P在

以A4”为直径的圆上。

2.圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点，则

/\2z\2

「中!+I二>丹=苏。化简为2k2/+2丫%2(1+©.

IVFTTJI7T7F)

当kWl时，表示椭圆；当k二1时，表示圆。

Q

3.12.由题设a=10,b=6,c=8,从而P到左焦点距离为10e=10X—=8,所以P到右焦点的距离为

10

20-8=12o

4.-2<k<2或k<5,由(|k卜2)(或k)<0解得k>5或-2<k<2.

5.设两条焦半径分别为m,n,则因为|FE=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos60°,BP(m+n)

z-3mn=144.所以，S=-mnx—^^

AW外223

Yx2

6.3x+4y-5=0.设M(xbyO,N(x2,y2),则十一)；=1,-j一y；=1.两式相减得-(y1+y2)(y]y2)=0.由

丁玉=3,TtA=_i,得。故方程y+l=-3(x-3).

224

7.-4.设B(xl>yi),C(x2,y2),则=0,所以yi+y2=-8,故直线BC的斜率为

当一必_为一M_32

一-2r一一f•

当一九I必必必+必

3232

8.=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为(2,1),又准线为，知其实轴平行于y轴，

设其方程为=1。其渐近线方程为=0。所以yT=±q(xT).由题设，将双曲线沿向量m=(-2,T)平移

b

后中心在原点，其标准方程为=1。由平移公式平移后准线为，再结合，解得a?=9,b、16,故双曲线

为=1。

9.2.曲线yjax关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),

由得y2-2y+2-a=0,故yi+ys=2,从而=

*"=」^=幺1,所以a=2.

H-必必+必2

10.(2,272]o设P(xi,y)及，由|PFj=exi+a

,|PFz|=ex「a,|PF」+|PFz|=2exi,所以，即。因x；2",所以，所以即2〈tW2JL

11.解：由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设5屁「=4(幻-仿2)=4(靖+无)=41,又依据椭

圆及双曲线定义

|PF.|+|P居|=2a.,

''解得|PFi|=ai+a2,|PF2|=a「a2.

(IPF.\+\PF2|=2々，

在AFFR中，由余弦定理

IF/-|2+|F/SI2-|F,FI2

cosZFjPF?2

2\PF{\-\PF2I

(tZi+a,)~+(q—42)~—(2c)~

2(.+a2)(a1一〃2)

_(Q；-c2)-(c2_b；-Z?2

-Q；b；+b；

Z?2—h2

从而/月PF.=arccos-3-----

12斤+股

又sinZF.PFa^J1-COS2ZF.PF,=?也,,

b'+与

所以S"PF=：1尸£ITPgIsinN耳尸外=b,b2.

ir22

12.解：以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由定义知M,N两点既在抛物线

y2=4ax±,又在圆［x-(a+r)『+y2=r2上，两方程联立得x'+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点M,N坐标分别为

(xi,yi),(x2,yz).则xi+xz=2r-2a.又|AM|=|MP|=xi+a,|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r,所以

AM|+1AN|=xi+xz+2a=2r=|AB|.

得证。

13.解：若直线1垂直于x轴，因其过点A(2,1),依据对称性，PR的中点为(2,0),

若1不垂直于x轴，设1的方程为y7=k(x-2),即

y=kx+l-2k.①

将①代入双曲线方程消元y得

(2-k2)x2+2k(2k-l)x-(4k2-4k+3)=0.②

这里&H±72且△=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k-4k+3)=8(3k-4k+3)>0,

设Xl,X2是方程②的两根，由韦达定理

2k(2k-1)_2kQk-1)

X]+x=-③

22-k2k2-2

由①，③得yi+y2=kxi+(l-2k)+kx2+(l-2k)

=k(xi+x2)+2(l-2k)=④

设PR的中点P坐标(x,y),由中点公式及③，④得

X)+%2kQk—1)y+%2(2k—1)

消去k得

(1)2⑶-了

J--------八

84

点(2,0)满意此方程，故这就是点P的轨迹方程。

高考水平测试题

1.由椭圆方程得焦点为(±46,0),设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又c=46，c2=a2+b2.

所以b、12,a=36.

2.90"。见图1,由定义得|FA|=|AA",|FB|=|BBj,有N1=NBFB“Z2=ZAFA>,又N1=N3,N2=N

4,所以N3+N4=NBFBI+NAFAF90〉

3.相切，若P(x,y)在左支上，设件为左焦点，F,为右焦点，M为PR中点，则［MO|=L|PFz|=1(a-ex),

22

又|PF」=-a-ex,所以两圆半径之和1(-a-ex)+a=1(a-ex)=|MO|,所以两圆外切。当P(x,y)在右支

22

上时，同理得两圆内切。

4.W.及件对应的另一条准线为x=T1,因|MFJ及M到直线x=-ll距离心之比为e,且d,=Ix,„+ll|=10.

3

所以,所以|MF/=—.

3

5.充要。将y=2x+l代入椭圆方程得(1?+4@2”2+4@1+@2(1-1?)=0.①

^△=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(l-b2)=0,则直线及椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=l；反之，4a2+b2=l,

直线及椭圆有一个公共点。

6.y=2(x-1)o消去参数得(y-2m)2=4(x-m),焦点为它在直线y=2(xT)上。

7.直线过定点(0,1),所以又因为焦点在x轴上，所以5>m,所以

m

8.3.双曲线实轴长为6,通径为4,故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。

兀5

9.受或己万。设直线1:y=kx及椭圆交于A(xbyi),B(x2,y2),把y=kx代入椭圆方程得

66

(1+31?)X2-6X+3=0,由韦达定理得

①

②

因F(1,0),AFJ_BF,所以(XLD(X2T)+yiy2=0,即

X1X2-(X1+X2)+l+k2XiX2=0.(3)

把①，②代入③得，所以倾斜角为2乃或士5万.

66

10.3.首先这样的三角形肯定存在，不妨设A,B分别位于y轴左、右两侧，设CA斜率为k(k>0),

CA的直线方程为y=kx+l,代入椭圆方程为(a2k2+l)x?+2a2kx=0,得x=0或，于是，CA|=

由题设，同理可得|CB|=，利用|CA|=|CB|可得

(k-l)[k2-(a-l)k+l]=0,

解得k=l或①

对于①，当l<a<百时，①无解；当。=百时，k=l；当a>百时，①有两个不等实根，故最多有3

个。

11.解设焦点为F”F2,椭圆上任一点为P(xo,y°),NF,PF2=9,依据余弦定理得

222

IFIF21=|PFi1+1PF21-21PFi|•|PF21cos9,

又|PFil+|PFz|=2a,则4cJ(2a)2-2|PFi|•IPF2I(1+cos©),再将|PFj=a+exo,iPFzka-exo及a2=b2+c2

代入得4b2=2(a2-e2x^)(1+cos0).

于是有

由0Wa?,得〃24a2,所以。因。e[0,n],所以cos。为减函数，故

八口(2b2-a2}

0<0<arccos-----——I.

>22

当2b"a?即a<同时，，arccos----、，<—,^e[O,-J,sin©为增函数，sin。取最大值

a222

—_|=---;当2b'Wa”时，arccos,9G[0,n],则sin0最大值为1。

_JJa'

12.解设A(xi,yJ,B(X2,yz),若AB斜率不为0,设为k,直线AB方程为y=k(x+c),代入椭圆方程

并化简得

(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①

则x„Xz为方程①的两根，由韦达定理得

②

③

因为yiyz=k“xi+c)区+c),再由②,③得

22222

所以。4・OB=x,x2+yiy2=,0点在以AB为直径的圆内，等价OAOB<0,即k(ac-b')-ab<0对随意

k£R成立,等价于a2c2-b2^0,即ac-bWO,即e%TW0.所以0<eW

若斜率不存在，问题等价于即，综上

13.解（1）由双曲线方程得匕=0a,c=,所以F,（-V3a,0）,抛物线焦点到准线的距离

p=2扃,抛物线

y~=-46ax.①

把①代入G方程得

lx1+4V3ax-2a2=0.②

A=64a2>0,所以方程②必有两个不同实根，设为xi,xz,由韦达定理得x的=-a、0,所以②必有一个负

根设为xi,把由代入①得/=一46axi，所以y=±2、一疯巧（因为xyO）,所以C,Cz总有两个

不同交点。

（2）设过F,（―V3a,0）的直线AB为my=（x+V3a）,由得y2+45/3may-lSa'^O.因为A=481«23'+483'>0,

设yi,y2分别为A,B的纵坐标,则yi+y2=4j5ma,yiy2=T2a；所以（yi-j^&lgaYn^+D.所以S.

।_____

2222

AOB=—|y-y2|•|0Fi|=——a*4V3a*Vm+1=6«vm+1>Ga当且仅当m=0时，SAAOB的面积取

22

最小值；当nif+8时，SAAOB->+°°,无最大值。所以存在过F的直线x二-百。使AAOB面积有最小值

6a2.

联赛一试水平训练题

1.m>5.由已知得，说明（x,y）到定点（0,-1）及到定直线x-2y+3=0的距离比为常数-,由椭圆定

m

义J—<1,所以m>5.

Vm

2.QJ茄.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|二—————+---------=丫，所以。所以SAOPQ='absin。

1-cos01-cos(乃+。)sin**02

=a4ab.

3.o设点P坐标为(ncos0,nsin。)，点Q坐标为(-nsin9,r2cos0),因为P,Q在椭圆上，可得，

RtAOPQ斜边上的高为W|OFp=c.所以a2b2/23+1?),解得We<l.

4.以0为圆心,a为半径的圆。延长RM交PF2延长线于N,则FM而|F2N|=|PNHPF2|=|PFiHPF2|=2a,

所以；OM|二a.

5.tG(0,1］时|AT|O=j2-1,t>l时|AT,in=11-21.由题设吐服=-L设A(x,y),则(xWO),整理

2

得=1(x#0),所以|AT|2=(x-t)2+yJ(x-t)2+(x-2t)2+2-t；因为|x|W2,所以当t£(0,1］时取x=2t,|AT|

取最小值J2—产。当t>l时，取x=2,；AT|取最小值|t-2］.

/211

6.不设点M(xo,yo),直线AB倾斜角为9,并设Alxo-x。-5cos4乂)-毛山。)，B(x0+),因为A,

B在抛物线上，所以

%-gsin6=(Xo-;cos。)？，①

2

y0+—sin^=(x0+—cos^),②

由①，②得2xocos0=sin0.③

1111oo1

所以X)=(/——cos。)0”+—sin6=—(-------+/-cos20)——.

224cos04

因为Y<1,所以函数f(x)二.在(0,1］在递减，

11/2/2

所以打2—(1+/)——=二。当COS。=1即1平行于X轴时，距离取最小值L.

4444

7.设M(S，%)J，M［［技■，为，由A,M,Mi共线得yi二，同理B,M,\必共线得,

设(x,y)是直线MM2上的点,则yiy2=y(yi+y2)-2px,将以上三式中消去y1,y2得

yo2(2px-by)+y0*2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.

当x=a,y=加时上式恒成立，即定点为

b

8.V3+V6o由题设且a、2bW15,解得5Wb2<6.

所以a+b/J?4+匕=+Jf+4(t=b2-4e[1,2]),而

>V6+V3»V7+4-V6>A/3-J-0-^222(/^^,又K2可得上式成

VtVTM+V6回+河+4)

立。

9.解设A(2cos6,V3sin0),B(2cosa,V3sina),C(2cosP,V3sin6),这里aW6,则过A,

B的直线为卜B：画吧乌二显也(x-2cose)+6sin8=y,由于直线AB过点R(-1,0),代入

2(cosO-cosa)

有V3(sin0-sina)•(l+2cos0)=243sin()(cos。-cosa),即2sin(a-。)=sin。-sina=2・，故

a+6ca3.VSsin6z-、6a

2cosi+cos-------=3cos—cos—+,Bapn•o又1曲：y=---------------(zx+2)=——tan—

22222(l+cosa)22

•(x+2)=,同理得。ICE：(X-2)=

=-2).

2。c

2tan—2

两直线方程联立，得P点坐标为，消去得点P(x,y)在椭圆上(除去点

(-2,0),(2,0)).

10.解(1)由消去y得x'+ZaZx+Za'm-aW),①设f(xhxZ+Za^x+ZakaM问题(1)转化为方程①在

xe(-a,a)上有唯一解或等根。只需探讨以下三种状况：

1°.A=0,得，此时Xp=-a2,当且仅当-aV-a'a即0<a<l时适合；2°。f(a),£(-a)<0,当且仅当-a<m〈a

2

时适合；3°of(-a)=0得m=a,此时xP=a-2a,当且仅当-a<a-2a即0<a〈l时适合。令f(a)=0得m=-a,

2

此时xP=-a-2a.由于-a-2a'<-a,从而mK-a.综上当0〈a<l时，或-a<mWa；当a》l时，

22

(2)A0AP的面积因为0<a<—,故当-a<mWa时，OV-a、a」a+1—21n<a,由唯一性得xP=-a+.当

2

m=a时，x”取最小值。由于x°>0,从而时取值最大，此时Xp=2《a-a，,故5=a]a-a，；当时，

2

xP=-a,%=Ji-/,此时以下比较aja-a?及的大小。令a1a-a?=3鼠1-a，，得，故当0<a

时，ciyj6((1—ci)<—w\ll—cr,此时；当时，有aJa(l-a)>,此时Smax=a《a-.

11.解：设A,B关于1的对称点分别为AKx2,y2),Bi(xi,y),则AAi中点在[上,

所以y2=k(x2-l)①

又1_LAAi,所以

②

由①，②得

同理，由BBi中点在1上，且解得

设抛物线方程为y-2px,将A,,Bi坐标代入并消去p得k2-k-l=0.

所以，由题设k>0,所以，从而

所以直线1的方程为，抛物线C的方程为

联赛二试水平训练题

1.以A为原点，直线AC为x轴，建立直角坐标系，设(：9,0),原点0)座尖坂1«1>)1&%-1^1)),则直

线DF的方程为

①

直线BC的方程为②

©乂①4乂②得

③表示一条直线，它过原点，也过DF及BC的交点G,因而③就是直线AG的方程。

同理

,直线AE的方程为

(c-f)x+-^[cf-L±

+-(c+f)]y=O.④

X。XB

③，④的斜率互为相反数，所以/GAC=NEAC。

2.证明假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为Ao,其他顶点坐标

为：，…，，其中都是既约分数，并记Ae=A°.若p及q奇偶性相同，贝I记p三q,否则记pfq,下面用

数学归纳法证明。

bk=l,dk=l(k=l,2,…，n),ak+CkWaz+Ck-i(k=l,2,…，n,n+1)。

当k=l时，由，得，因为a1,E互质，所以也被b整除，反之亦然(即b被小整除)。

因此b,=±d„从而仿2=&2=a2+42吗，。不行能