2024-2025版高中数学单元素养评价三不等式素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.实数a,b满意a>b>0,则下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<1 B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE-QUOTE<QUOTE D.a2<ab【解析】选C.a>b>0,则QUOTE>1,QUOTE>QUOTE,a2>ab,所以A,B,D错误.(QUOTE)2-(QUOTE-QUOTE)2=a-b-(a-2QUOTE+b)=-2b+2QUOTE>2QUOTE-2b=2b-2b=0,即(QUOTE)2>(QUOTE-QUOTE)2,即QUOTE>QUOTE-QUOTE.故C正确.2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<QUOTE B.a|c|>b|c|C.QUOTE>QUOTE D.a2>b2【解析】选C.当a>0,b<0时QUOTE>QUOTE,故A错误;当c=0时,a|c|=b|c|=0,故B错误;当a=-b(b<0)时,a2=b2,故D错误;又a>b且c2+1>0,故QUOTE>QUOTE,故C正确.3.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为 ()A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7}B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7}C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x<-2或x≥3}【解析】选A.M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x>3或x<-2},所以M∩N={x|-4≤x<-2或3<x≤7}.4.函数f(x)=QUOTE则不等式xf(x)-x≤2的解集为 ()A.[-2,2] B.[-1,2]C.(1,2] D.[-2,-1]∪(1,2]【解析】选B.不等式等价于QUOTE或QUOTE解得-1≤x≤2.5.原点和点(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a的取值范围是 ()A.0≤a≤1 B.0<a<1C.a=0或a=1 D.a<0或a>1【解析】选B.因为原点和点(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,所以(0+0-a)(2-1-a)<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1.6.已知x,y均为正实数,且x+y=1,若QUOTE+QUOTE的最小值为9,则正实数a的值为 ()A.2 B.4 C.8 D.80【解析】选B.因为x,y均为正实数,且x+y=1,QUOTE+QUOTE的最小值为9,所以QUOTE+QUOTE=(x+y)QUOTE=1+a+QUOTE+QUOTE≥1+a+2QUOTE=1+a+2QUOTE=9,解得a=4.7.关于x,y的不等式组QUOTE表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满意x0-2y0=3,则实数m的取值范围是 ()A.(-∞,-3) B.(-1,1)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)【解析】选C.作出不等式组对应的平面区域如图,若平面区域内存在点P(x0,y0),满意x0-2y0=3,则说明直线x-2y=3与区域有交点,即点A(-m,m)位于直线x-2y=3的下方即可,则点A在区域x-2y-3>0内,即-m-2m-3>0,得m<-1,即实数m的取值范围是(-∞,-1).8.若直线l:x=my+n(n>4)过点A(4,4QUOTE),若可行域QUOTE的外接圆的面积为QUOTE,则实数n的值为 ()A.8 B.7 C.6 D.9【解析】选A.设l:x=my+n(n>4)与x轴的交点为B(n,0),因为直线l:x=my+n(n>0)过点A(4,4QUOTE),QUOTEx-y=0也过点A(4,4QUOTE),所以直线l:x=my+n(n>4)经过第一、二、四象限,所以m<0.所以可行域为△OAB,且∠AOB=60°,如图,因为可行域QUOTE的外接圆的面积为QUOTE,所以△OAB外接圆的直径为QUOTE.由正弦定理得:QUOTE=2R=QUOTE,所以AB=QUOTE×QUOTE=8.由两点间的距离公式得:QUOTE=8,解得n=0(舍)或n=8.9.设正实数x,y满意x>QUOTE,y>2,不等式QUOTE+QUOTE≥m恒成立,则m的最大值为 ()A.2QUOTE B.4QUOTE C.8 D.16【解析】选D.设y-2=a,3x-2=b,(a>0,b>0),QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+QUOTE=8QUOTE≥16,当且仅当a=b=2,即x=QUOTE,y=4时取等号.10.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为 ()A.QUOTEcm2 B.4cm2C.3QUOTEcm2 D.2QUOTEcm2【解析】选D.设其中一段细铁丝长度为x,则面积和为QUOTE+QUOTE=QUOTE(x2-12x+72)=QUOTE[(x-6)2+36],当x=6时,取最小值2QUOTE.【补偿训练】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.

【解析】依题意,一年购买货物QUOTE次.所以一年的总运费与总存储费用之和为6×QUOTE+4x=4QUOTE.又0<x≤600.所以QUOTE+x≥2QUOTE=60.当且仅当QUOTE=x时,即x=30时等号成立.所以4QUOTE≥240,当且仅当x=30时等号成立.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30.答案:3011.若正数x,y满意x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.5【解析】选B.因为x+3y=5xy,x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE=1,所以3x+4y=(3x+4y)QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE×3≥QUOTE+2QUOTE=5,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=2y=1时取等号,x+2y的值为2.12.已知x,y都是正实数,则QUOTE+QUOTE的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为x,y都是正实数,则QUOTE+QUOTE=QUOTE=1+QUOTE=1+QUOTE≤QUOTE.当y=2x时取等号,所以QUOTE+QUOTE的最大值为QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式QUOTE≤0的解集为.

【解析】原不等式等价于QUOTE即QUOTE即-QUOTE<x≤1.故原不等式的解集为QUOTE.答案:QUOTE14.设a,b,c∈(0,+∞),若(a+b+c)QUOTE≥k恒成立,则k的最大值是.

【解析】因为a,b,c∈(0,+∞),所以(a+b+c)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2=4,当且仅当a=b+c时,等号成立.由条件可知k≤4,即k的最大值为4.答案:415.已知x,y满意条件QUOTE则2x+y的最大值是,原点到点P(x,y)的距离的最小值是.

【解析】不等式组对应的可行域如图:当动直线2x+y-t=0过B时,2x+y有最大值,又B(2,2),故2x+y的最大值为6.原点到P的距离的最小值即为|OA|=QUOTE=QUOTE.答案:6QUOTE【补偿训练】(2024·北京高考)若x,y满意QUOTE则y-x的最小值为,最大值为.

【解析】作出可行域如图所示,令目标函数z=y-x,即y=x+z,由QUOTE得(2,3),由QUOTE得(2,-1),分别代入目标函数得z=1,-3,所以y-x的最小值为-3,最大值为1.答案:-3116.已知正实数x,y满意x2+xy-2y2=1,则5x-2y的最小值为.

【解析】由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,由x+2y>0,可得x-y>0,5x-2y=(x+2y)+4(x-y)≥2QUOTE=4,当且仅当x+2y=4(x-y)时等号成立.答案:4【补偿训练】已知a>0,b>0,且QUOTE+QUOTE=QUOTE,则ab的最小值是.

【解析】因为QUOTE+QUOTE=QUOTE≥2QUOTE,所以ab≥2QUOTE,当且仅当2b=3a时取等号.因此ab的最小值是2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答题(共70分)17.(10分)设m为正实数,若(x,y)QUOTE⊆{(x,y)|x2+y2≤25},求实数m的取值范围.【解析】依据题意可知,直线mx+y=0的斜率为负值.不等式组所确定的区域如图所示.因此只须要满意QUOTE⇒0<m≤QUOTE.18.(12分)已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|1<x<b}.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)=(2a+b)x-QUOTE(x∈A)的最小值.【解析】(1)由题意知:QUOTE解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以A={x|1<x<2}.所以f(x)=4x+QUOTE(1<x<2),而x>0时,4x+QUOTE≥2QUOTE=2×6=12.当且仅当4x=QUOTE,即x=QUOTE时取等号,且x=QUOTE∈A,所以f(x)的最小值为12.19.(12分)已知x,y满意QUOTE(1)求z1=2x-y-1取得最值时的最优解;(2)求z2=QUOTE的取值范围;(3)若ax+y≥3恒成立,求实数a的取值范围.【解析】画出不等式组QUOTE所表示的可行域,如图所示.其中,A(1,1),B(3,2),C(2,4).(1)将z1=2x-y-1变形为y=2x-z1-1,得到斜率为2,在y轴上的截距为-z1-1的一组平行直线,由图可知,当直线z1=2x-y-1经过可行域上的点B时,在y轴上的截距-z1-1最小,即z1最大;当直线z1=2x-y-1经过可行域上的点C时,在y轴上的截距-z1-1最大,即z1最小.所以z1=2x-y-1取得最值的最优解为B(3,2),C(2,4).(2)z2=QUOTE=1+QUOTE.因为QUOTE表示M(x,y)与P(2,-1)连线的斜率,又kPA=-2,kPB=3.所以由图可知,QUOTE∈(-∞,-2]∪[3,+∞).所以z2的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).(3)因为直线ax+y=3恒过定点(0,3),又kQA=-2.所以由图可知,直线ax+y=3的斜率-a≤-2,得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞).20.(12分)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,求所需租赁费最少为多少元?【解析】设甲种设备须要生产x天,乙种设备须要生产y天,该公司所需租赁费为z元,则z=200x+300y,A类产品(件)(≥50)B类产品(件)(≥140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则满意的关系为QUOTE即QUOTE作出不等式表示的平面区域,当z=200x+300y对应的直线过两直线QUOTE的交点(4,5)时目标函数z=200x+300y取得最小值为2300元.21.(12分)已知全集U=R,集合A={x|log2(11-x2)>1},B={x|x2-x-6>0},M={x|x2+bx+c≥0}.(1)求A∩B;(2)若UM=A∩B,求b,c的值;(3)若x2+bx+c=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求z=-2b+c的取值范围.【解析】(1)由log2(11-x2)>1得QUOTE解得-3<x<3,所以A={x|-3<x<3}.由x2-x-6>0解得x<-2或x>3,所以B={x|x<-2或x>3}.所以A∩B={x|-3<x<-2}.(2)由(1)知,UM=A∩B={x|-3<x<-2},所以M={x|x≤-3或x≥-2}.所以-3和-2是方程x2