2024-2025学年新教材高中数学单元素养检测二第三章函数的概念与性质含解析新人教A版必修第一册

PAGE单元素养检测(二)(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.假如函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 ()A.{-1,0,3} B.{y|-1≤y≤3}C.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}【解析】选A.x=0时,y=0;x=1时,y=-1;x=2时,y=0;x=3时,y=3,所以所求函数的值域为{-1,0,3}.2.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.-2,f(2) B.2,f(2)C.-2,f(5) D.2,f(5)【解析】选C.由函数最值的几何意义知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时有最大值f(5).3.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数是 ()A.y=QUOTE B.y=x4 C.y=x-1 D.y=x3【解析】选B.选项A中y=QUOTE=QUOTE是非奇非偶函数,选项C中y=x-1是奇函数,对于选项D中y=x3也是奇函数,均不满意题意;选项B中y=x4是偶函数,且过点(0,0),(1,1),满意题意.4.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为 ()A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3【解析】选B.设f(x)=kx+b(k≠0),所以f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,即kx-k+b=3x-5,所以QUOTE解得k=3,b=-2,所以f(x)=3x-2.5.已知函数f(x)=QUOTE则f(f(1))等于 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为f(x)=QUOTE所以f(1)=2+1=3,所以f(f(1))=f(3)=32-2×3=3.【补偿训练】定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=3,则奇函数f(x)的值域是()A.(-∞,-3] B.[3,+∞)C.[-3,3] D.{-3,0,3}【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,设x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3,所以f(x)=-3,所以f(x)=QUOTE所以奇函数f(x)的值域是{-3,0,3}.6.若函数f(x)对于随意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是单调递减的,则 ()A.fQUOTE<f(-1)<f(2)B.f(-1)<fQUOTE<f(2)C.f(2)<f(-1)<fQUOTED.f(2)<fQUOTE<f(-1)【解析】选B.因为函数f(x)对于随意实数x总有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2),又因为f(x)在区间(-∞,-1]上是单调递减的且-2<-QUOTE<-1,所以f(-1)<fQUOTE<f(-2).即f(-1)<fQUOTE<f(2).【补偿训练】定义在R上的偶函数f(x)满意:对随意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有QUOTE<0,则 ()A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】选A.随意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有QUOTE<0.所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,故f(x)在(-∞,0]上单调递增.且满意n∈N*时,f(-2)=f(2),3>2>1>0,所以f(3)<f(-2)<f(1).7.已知函数f(x)=QUOTE,若f(x)在区间(0,1]上是单调递减的,则实数a的取值范围是 ()A.[0,3] B.(0,3] C.(0,1] D.[3,+∞)【解析】选B.函数f(x)=QUOTE,若f(x)在区间(0,1]上是单调递减的,则t=3-ax在区间(0,1]上为单调递减的,且t≥0,分析可得a>0,且3-a≥0,可得0<a≤3,所以a的取值范围为(0,3].8.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y=QUOTE B.y=QUOTEC.y=QUOTE D.y=QUOTE【解析】选B.依据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表,即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应当加3,因此利用取整函数可表示为y=QUOTE,也可以用特别取值法,若x=56,y=5,解除C,D,若x=57,y=6,解除A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中定义域与值域相同的是 ()A.y=x+1 B.y=2QUOTEC.y=x2-1 D.y=QUOTE【解析】选AD.A中y=x+1,定义域为R,值域为R;B中y=2QUOTE,定义域为[-1,+∞),值域为[0,+∞);C中y=x2-1,定义域为R,值域为(-1,+∞);D中y=QUOTE,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以A,D定义域与值域相同.10.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ()A.f(x)=QUOTE·QUOTE,g(x)=QUOTEB.f(x)=QUOTE,g(x)=(QUOTE)2C.f(x)=QUOTE,g(x)=x+1(x≠1)D.f(x)=x2,g(x)=QUOTE【解析】选CD.A.f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),故不是同一个函数;B.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),故不是同一个函数;C.f(x)、g(x)的定义域均为{x|x≠1},且对应关系相同,故是同一个函数;D.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且两函数解析式化简后为同一个解析式.11.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人依据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:其中正确信息的序号是 ()A.骑自行车者比骑摩托车者早动身3h,晚到1hB.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动C.骑摩托车者在动身1.5h后追上了骑自行车者D.骑摩托车者在动身1.5h后与骑自行车者速度一样【解析】选ABC.看时间轴易知A正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此B正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故C正确,D错误.12.已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=QUOTE则关于F(x)的说法正确的是 ()A.最大值为3,最小值为-1B.最大值为7-2QUOTE,无最小值C.增区间是(-∞,2-QUOTE)和(1,QUOTE),减区间是(2-QUOTE,1)和(QUOTE,+∞)D.增区间是(-∞,0)和(1,QUOTE),减区间是(0,1)和(QUOTE,+∞)【解析】选BC.作出F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值不是3,当x≤0时,由3+2x=x2-2x得x=2-QUOTE,当x>0时,由3-2x=x2-2x得x=QUOTE结合图象可得增区间是(-∞,2-QUOTE)和(1,QUOTE),减区间是(2-QUOTE,1)和(QUOTE,+∞).三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数f(3-2x)的定义域为________.

【解析】由-1≤3-2x≤2,解得QUOTE≤x≤2,故定义域为[QUOTE,2].答案:[QUOTE,2]14.若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则f(x)的增区间是________.

【解析】因为函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,所以a-1=0,得a=1,所以f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以y轴为对称轴的抛物线.故f(x)的增区间为(-∞,0].答案:(-∞,0]15.已知函数f(2x+1)=3x+2,则f(1)的值等于________.

【解析】由f(2x+1)=3x+2,得f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2.答案:216.已知函数f(x)=QUOTE,则f(1)=________,函数y=f(x)的定义域为________.

【解析】由函数f(x)=QUOTE,可得f(1)=QUOTE=2,QUOTE解得x≤5且x≠0.则函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,5].答案:2(-∞,0)∪(0,5]【补偿训练】已知幂函数f(x)=QUOTE(-2<m<2,m∈Z)满意:(1)在区间(0,+∞)上为单调递增的.(2)对随意的x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求同时满意(1)(2)的幂函数f(x)的解析式,并求当x∈[0,4]时,f(x)的值域.【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递增,所以-m2-2m+3>0,解得:-3<m<1.因为-2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时,-m2-2m+3=4满意题意,当m=0时,-m2-2m+3=3不满意题意,所以f(x)=x4,所以f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,所以值域是[0,256].四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)推断函数f(x)的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)函数f(x)在R上是减函数.任取x1<x2(x1,x2∈R),则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因为x1<x2,所以f(x2)-f(x1)<0,即函数f(x)在R上是减函数.【补偿训练】已知函数f(x)=QUOTE(1)求f(f(-1)).(2)若f(x0)>2,求x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.(2)当x0≤0时,令2<-x0+3,得x0<1,此时x0≤0;当x0>0时,令2<4x0,得x0>QUOTE,所以x0≤0或x0>QUOTE.所以x0的取值范围是{x|x0≤0或x0>QUOTE}.18.(12分)已知函数f(x)=x+QUOTE.(1)求f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值.(2)证明:f(x)在(1,+∞)上为单调递增的.【解析】(1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又因为f(-x)=-x+QUOTE=-QUOTE=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=0.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=x1+QUOTE-QUOTE=(x1-x2)+QUOTE=(x1-x2)-QUOTE=(x1-x2)QUOTE.因为x1,x2∈(1,+∞),x1>x2,所以x1-x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上为单调递增的.19.(12分)经市场调查,某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量满意f(t)=价格满意g(t)=200-t(1≤t≤100,t∈N).(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系;(2)若销售额超过16610元,商家认为该商品的收益达到志向程度,请推断该商品在哪几天的收益达到志向程度?【解析】(1)由题意知,当1≤t≤60时,t∈N时,h(t)=f(t)·g(t)=(60+t)·(200-t)=-t2+140t+12000,当61≤t≤100,t∈N时,h(t)=f(t)·g(t)=QUOTE·(200-t)=QUOTEt2-250t+30000,所求函数关系h(t)=QUOTE(2)当1≤t≤60,t∈N时,h(t)=-t2+140t+12000=-(t-70)2+16900,所以函数h(t)在[1,60]上单调递增,所以h(t)max=h(60)=16800(元),当61≤t≤100,t∈N时,h(t)=QUOTEt2-250t+30000=QUOTE(t-250)2-1250,所以函数h(t)在[61,100]上单调递减,所以h(t)max=h(61)=16610.5(元),若销售额超过16610元,当61≤t≤100时,函数单调递减,故只有第61天满意条件.当1≤t≤60时,经计算h(53)=16611满意条件,又函数h(t)在[1,60]上单调递增,所以第53,54,…,60天,满意条件.即满意条件的天数为第53,54,…60,61天,共9天.20.(12分)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2.(1)当a=1,x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=-4x2+4x-5的对称轴x=QUOTE,开口向下,x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减,当x=1时,函数有最大值f(1)=-5,当x=3时,函数有最小值f(3)=-29,故函数f(x)的值域为[-29,-5].(2)因为f(x)=-4x2+4ax-4a-a2的开口向下,对称轴x=QUOTEa,①当QUOTEa≥1,即a≥2时,f(x)在[0,1]上单调递增,函数取最大值f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去).②当0<QUOTEa<1,即0<a<2时,x=QUOTEa时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=QUOTE∈(0,2).③当QUOTEa≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,所以x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].综上所述,a=QUOTE或a=-5.【补偿训练】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满意条件f(0)=0和f(x+2)-f(x)=4x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若函数g(x)=f(x)-2mx+2,当x∈[1,+∞)时,求函数g(x)的最小值.【解析】(1)由题意得,c=0,a(x+2)2+b(x+2)-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x,即a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.(2)g(x)=x2-2x-2mx+2,x∈[1,+∞),对称轴方程为:x=m+1,①当m+1≤1时,即m≤0,g(x)min=g(1)=1-2m,②当1<m+1时,即m>0,g(x)min=g(m+1)=-m2-2m+1,综上,g(x)min=QUOTE21.(12分)已知函数f(x)满意f(x+y)+f(