2024-2025学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换模块素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.在四边形ABCD中,++= ()A. B. C. D.【解析】选D.在四边形ABCD中,++=++=+=.2.(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为QUOTE.【补偿训练】若QUOTE=1,QUOTE=QUOTE,且a⊥QUOTE,则向量a,b的夹角为 ()

A.45°B.60°C.120°D.135°【解析】选A.由QUOTE=1,QUOTE=QUOTE,且a⊥QUOTE,得a·QUOTE=0⇒a2=a·b=1,则cos<a,b>=QUOTE=QUOTE,

又0°≤<a,b>≤180°,得<a,b>=45°,所以向量a,b的夹角为45°.3.已知α∈(0,π),2sinα-cosα=1,则sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题得2sinα-1=cosα,所以4sin2α-4sinα+1=cos2α,所以4sin2α-4sinα+1=1-sin2α,所以5sin2α-4sinα=0,所以sinα=0(舍)或sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,所以1-2sin2QUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.【补偿训练】已知sinQUOTE=QUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】视察已知角与待求的角之间的特别关系,运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【解析】选A.令QUOTE-α=θ,则QUOTE-2α=2θ,QUOTE+2α=π-2θ,所以cos2θ=1-2sin2θ=1-2×QUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=cosQUOTE=-cos2θ=-QUOTE.4.已知a=cos1°-sin1°,b=2QUOTEcos222.5°-QUOTE,c=QUOTE,则a,b,c的大小依次为 ()A.b>a>c B.c>b>aC.c>a>b D.b>c>a【解题指南】由三角函数的协助角公式、余弦函数的二倍角公式,正切函数的和角公式求得.【解析】选B.a=cos1°-sin1°=QUOTEsin44°<1,b=2QUOTEcos222.5°-QUOTE=QUOTE(2cos222.5°-1)=QUOTEcos45°=1,c=QUOTE=tan46°>1.【补偿训练】函数f(x)=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE的最小正周期为 ()A.QUOTEB.πC.2πD.4π【解析】选D.函数f(x)=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE,所以函数的最小正周期为T=QUOTE=4π.5.已知向量a,b满意2a+b=(1,2m),b=(1,m),且a在b方向上投影的数量是QUOTE,则实数m= ()A.QUOTE B.±QUOTE C.2 D.±2【解析】选D.向量a,b满意2a+b=QUOTE,b=QUOTE,所以a=QUOTE,a·b=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以5m4-16m2即QUOTE=0,解得m=±2.【补偿训练】已知平面内不在同一条直线上的四点O,A,B,C满意=μ,若=QUOTE+λ(λ∈R),则μ= ()A.1B.2C.-1D.-2【解题指南】依据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算比照向量的系数求解.【解析】选D.依据向量的加法法则得=QUOTE+λ=QUOTE+λ=QUOTE+QUOTE+λ,所以QUOTE+λ=1,QUOTE+λ=0,解得λ=QUOTE.且=-2.6.已知α∈QUOTE,sinα=QUOTE,则tan2α= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解题指南】依据同角三角函数关系可求得tanα;由二倍角的正切公式可求得结果.【解析】选C.因为α∈QUOTE,sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.所以tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】(2024·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期 ()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解析】选B.f(x)=sin2x+bsinx+c=QUOTE+bsinx+c=-QUOTE+bsinx+c+QUOTE,其中当b=0时,f(x)=-QUOTE+c+QUOTE,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.7.(2024·南充高一检测)体育品牌Kappa的LOGO为,可抽象为:如图背靠背而“坐”的两条美丽的曲线,下列函数中大致可“完备”局部表达这对曲线的是 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=QUOTEC.f(x)=QUOTE D.f(x)=QUOTE【解析】选D.因为B、C两个函数均是奇函数,故不符合题意;对A:当x趋近于0,且足够小时,f(x)<0,不符合题意;对D:因为f(x)=f(-x),满意x趋近于0,且足够小时,函数值f(x)>0.8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.如图,建立平面直角坐标系,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=QUOTE(0≤y≤b),所以当y=QUOTEb时,|+3|取得最小值5.【补偿训练】已知f(x)=asinx+bcosx,g(x)=2sinQUOTE+1,若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴,则不等式g(x)>2的解集是 ()A.QUOTE(k∈Z)B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z)D.QUOTE(k∈Z)【解析】选B.fQUOTE=asinx+bcosx=QUOTEsin(x+φ),所以ω=1,因此2sinQUOTE+1>2⇒sinQUOTE>QUOTE⇒QUOTE+2kπ<x+QUOTE<QUOTE+2kπ(k∈Z)⇒-QUOTE+2kπ<x<QUOTE+2kπ(k∈Z).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.cosα-QUOTEsinα化简的结果可以是 ()A.QUOTEcosQUOTE B.2cosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.2sinQUOTE【解析】选B、D.cosα-QUOTEsinα=2QUOTE=2QUOTE=2cosQUOTE=2sinQUOTE.10.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 ()A.= B.∥C.与共线 D.=【解析】选ABC.如图,因为与方向相同,长度相等,所以A正确;因为B,O,D三点在一条直线上,所以∥,B正确;因为AB∥CD,所以与共线,C正确;因为与方向不同,所以≠,D错误.11.已知a∥b,QUOTE=2QUOTE=6,则QUOTE的值可能为 ()A.3 B.6 C.8 D.9【解析】选AD.因为a∥b,QUOTE=2QUOTE=6,则QUOTE=6,QUOTE=3.当a,b方向相同时,QUOTE=QUOTE+QUOTE=9;当a,b方向相反时,QUOTE=QUOTE=3.【易错警示】本题易忽视两个向量方向相反的情形而漏解.当两个非零向量共线时,假如没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类探讨求值.QUOTE,则 ()A.g(x)=-1 B.g(x)的最大值为1C.g(x)的最小值为-1 D.g(x)的最小值为-QUOTE【解析】选BC.令f(x)=QUOTEcos2x+sinx+QUOTE=cos2x+sinx-QUOTE,化简得f(x)=1-sin2x+sinx-QUOTE=-QUOTE+1,由于sinx∈[-1,1],所以f(x)∈QUOTE.所以-1≤g(x)≤1,得g(x)的最大值为1,g(x)的最小值为-1.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2024·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:814.已知a=(2,-2),b=(x,2),若a·b=6,则x=.

【解题指南】依据a·b=6,利用平面对量数量积的坐标表示即可求出答案.【解析】因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4,又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5.答案:515.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满意6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是.

【解析】记2=,因为6--2=0,所以-+2-2=0,所以=2,如图,得S△ABN=QUOTES△ABC,又因为S△ABM=QUOTES△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.答案:316.若2sinα-3cosβ=-QUOTE,2cosα-3sinβ=-QUOTE,则sinQUOTE=.

【解题指南】将等式2sinα-3cosβ=-QUOTE和等式2cosα-3sinβ=-QUOTE都平方,再将所得两个等式相加,并利用两角和的正弦公式可求出sinQUOTE的值.【解析】2sinα-3cosβ=-QUOTE,2cosα-3sinβ=-QUOTE,将上述两等式平方得4sin2α+9cos2β-12sinαcosβ=QUOTE,①4cos2α+9sin2β-12cosαsinβ=QUOTE,②,①+②可得4+9-12sinQUOTE=QUOTE,解得sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分别为AB,BC上的点,且AE=2EB,CF=2FB.(1)若=x+y,求x,y的值.(2)求·的值.(3)求cos∠BEF.【解析】(1)因为=-=QUOTE-所以x=QUOTE,y=-1.(2)·=·=QUOTE-·=QUOTE×42-4×2×QUOTE=QUOTE.(3)设,的夹角为θ,因为||2=|QUOTE(+)|2=QUOTE,所以||=QUOTE,又因为||=QUOTE,·=+·=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以cos∠BEF=cosθ==QUOTE=QUOTE.18.(12分)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值.(2)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.(3)求|b+c|的最大值.【解析】(1)由a与b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,故tan(α+β)=2.(2)由tanαtanβ=16,得sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,故a∥b.(3)b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβ·sinβ+16sin2β=17-15sin2β,因为sin2β∈[-1,1],所以|b+c|2的最大值为32,所以|b+c|的最大值为4QUOTE.19.(12分)已知函数f(x)=(QUOTEsinωx+cosωx)cosωx+QUOTE(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)画函数f(x)在区间[0,π]上的图像.【解析】(1)由函数f(x)=(QUOTEsinωx+cosωx)cosωx+QUOTE(ω>0),得f(x)=sin(2ωx+QUOTE)+1,由周期为π得ω=1,故f(x)=sinQUOTE+1,由-QUOTE+2kπ≤2x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为QUOTE,k∈Z.(2)由“五点画图法”列表如下:得函数图像如图:20.(12分)已知△ABC为等边三角形,AB=2.点N,M满意=λ,=QUOTE,λ∈R.设=a,=b.(1)试用向量a和b表示,.(2)若·=-QUOTE,求λ的值.【解题指南】(1)依据向量线性运算法则可干脆求得结果.(2)依据(1)的结论将已知等式化为QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=-QUOTE;依据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于λ的方程,解方程求得结果.【解析】(1)=-=QUOTE-=QUOTEa-b,=-=λ-=λb-a.(2)·=QUOTE·QUOTE=QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=-QUOTE,因为△ABC为等边三角形且AB=2,所以QUOTE=QUOTE=2,<a,b>=60°,所以QUOTEa·b-QUOTEa2-λb2=QUOTE×4cos60°-4QUOTE-4λ=-QUOTE,即4λ2-4λ+1=QUOTE=0,解得λ=QUOTE.21.(12分)已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且m·n=sin2C.(1)求角C的大小.(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·(-)=18,求边c的长.【解析】(1)由已知得m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以m·n=sinC,又m·n=sin2C,所以sin2C=sinC,因为sinC≠0,所以cosC=QUOTE.又0<C<π,所以C=QUOTE.(2)由已知及正弦定理得2c=a+b.因为·(-)=·=18,所以abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6.22.(12分)已知向量a=(QUOTEsinωx,cosωx),b=(cosωx,-cosωx),(ω>0),函数f(x)=a·b+QUOTE的图像的两相邻对称轴间的距离为QUOTE.(1)求ω的值.(2)若x∈QUOTE,f(x)=-QUOTE,求cos4x的值.(3)若cosx≥QUOTE,x∈(0,π),且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m的值.【解析】由题意,得f(x)=QUOTEsinωx·cosωx-c