2023-2024学年天津一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|4−xx+1A.[−2,4) B.(−1,3] C.[−2,−1] D.[−1,3]2.命题“∃x0>0，x0A.∃x0>0，x02+sinx0−4≥0 B.∃x0≤03.已知函数f(x)=sinx+f′(0)e2x，则f(0)=(

)A.1 B.−12 C.2 4.“1x>1”是“ex−1<1A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件5.函数f(x)=(x2+1)A. B.

C. D.6.已知函数g(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，a=g(log20.2)，b=g(20.2)，c=g(0.20.3)，则A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a7.已知a>0，若关于x的不等式x+ax+1≥3在x∈(−1,+∞)上恒成立，则a的最小值为A.1 B.2 C.4 D.88.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有(

)A.96种 B.132种 C.168种 D.204种9.已知函数f(x)=alnx+12x2，若对任意正数x1，x2(xA.(0,14] B.(0,14)10.函数f(x)=x2−2x,x≤02xex,x>0，若关于x的方程A.[1,e+2e) B.(1,e2+2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知函数f(x)=(12)x,x⩽012.已知(2x−ax)6关于x的展开式中的常数项为−160，则a=13.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且当x∈[−1,0]时，f(x)=(12)x，则14.已知函数f(x)=2sinx−ex+e−x，则关于x15.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f(x)=f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=ex−x，ℎ(x)=lnx，φ(x)=2023x+2023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c16.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，g(x)=x2−2x+a(a∈R)，若对任意x1∈[0,π]，均存在x2∈[1,2]三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=1−x2x2+a．

(1)若a=0，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在x=−118.(本小题12分)

我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．

(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；

(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19.(本小题12分)

已知函数f(x)=alnx+x−1(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)∀x∈[1,+∞)，f(x)≥−2lnx+(lnx)2，求a20.(本小题12分)

已知函数f(x)=x−1x+alnx，其中a∈R．

(1)当x∈[1,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

(2)若a<−2，证明：f(x)有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.C

9.C

10.D

11.212.1

13.2

14.{x|x<−4或x>1}

15.b>a>c

16.(−∞,1)

17.解：(1)已知f(x)=1−x2x2+a，函数定义域为R，

当a=0时，f(x)=1−x2x2，

可得f′(x)=x−22x3，

所以f′(1)=−12，

又f(1)=0，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=−12(x−1)，

即x+2y−1=0；

(2)易知f′(x)=2x2−4x−a(2x2+a)2，

若函数f(x)在x=−1处取得极值，

此时f′(−1)=0，

即6−a(2+a)2=0，

解得a=6，

此时f(x)=1−x2x2+6，f′(x)=2(x+1)(x−3)(2x2+6)2，

当x<−118.解：(1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，

所求概率P=C42C21C63+C43C63=45；

(2)设甲公司正确完成面试的题数为X，则XX123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×82719.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=ax+1=a+xx，

当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a<0时，当x∈(0,−a)时，f′(x)<0，当x∈(−a,+∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增；

(2)当x=1时，f(x)≥−2lnx+(lnx)2显然成立，此时a可为任意实数，

当x>1时，由lnx>0，f(x)≥−2lnx+(lnx)2在(1,+∞)上恒成立，得a≥1−xlnx+lnx−2，

令g(x)=1−xlnx+lnx−2，x∈(1,+∞)，

则g′(x)=−lnx+1−1x(lnx)2+1x=x(1−lnx)+(lnx)2−1x(lnx)2=(1−lnx)(x−lnx−1)x(lnx)2，

设ℎ(x)=x−lnx−1(x>1)，

由(1)可知，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，20.解：(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1+1x2+ax=x2+ax+1x2(x>0)，

设g(x)=x2+ax+1(x>0)，其中g(0)=1，

①当−a2≤0，即a≥0时，g(x)>0，所以f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x∈[1,+∞)时，f(x)≥f(1)=0，

故a≥0满足题意，

②当−a2>0，且Δ=a2−4≤0，即−2≤a<0时，g(x)≥0，

所以f′(x)≥0，f(x)单调递增，

所以当x∈[1,+∞)时，f(x)≥f(1)=0，

故−2≤a<0满足题意，

③当−a2>0，且Δ=a2−4>0，即a<−2时，

设g(x)=0的两根为p，q，

解得p=−a−a2−42(0<p<1)，q=−a+a2−42(q>1)，

则当x∈(1,q)时，g(x)<0，所以f′(x)<0，f(x)单调递减，

则f(x)<f(1)=0，

故a<−2不满足题意，

综上，a的取值范围是[−2,+∞)；

(2)由(1)可知，当a<−2时，f(x)在(0,