《数学》复习人教A（新高考）-第6节　利用空间向量求空间角

第七章

第6节利用空间向量求空间角知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则2.求直线与平面所成的角|cos〈a，n〉|

3.求二面角的大小×

×

×

√

B

D

4.(2020·新高考山东卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 (

)

A.20°

B.40° C.50° D.90°B

6.(2020·重庆诊断)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.45°

考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一用向量求异面直线所成的角///////自主演练B

D

解析

以D为坐标原点，在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴，以DB，DA所在的直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(－2，1，0)，D(0，0，0).感悟升华【例1】(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC；

(1)证明

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.

又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC， 又PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC.

因为AD∥BC，AD⊄平面PBC， 所以AD∥平面PBC.

由已知得l∥AD，因此l⊥平面PDC.考点二用空间向量求线面角///////师生共研(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.向量法求直线与平面所成角主要方法是：1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.感悟升华【训练1】(2021·全国百校联考)如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4. (1)若SA＝AD，求证：SD⊥CA；考点三利用向量求二面角///////多维探究角度1求二面角或某一三角函数值【例2】(2)求二面角B－PC－E的余弦值.1.用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角.2.找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.感悟升华【训练2】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1；【训练2】(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.角度2与二面角有关的综合问题【例3】(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.1.本题把综合法与向量法融为一体，考查逻辑推理与数学运算等数学核心素养.2.题目求解的关键有两点：(1)证明PO⊥平面ABC，从而为建立空间直角坐标系，利用向量法求解提供了保障；(2)由点M在BC上及二面角M－PA－C为30°，确定具体的位置，从而求出点M的坐标.感悟升华【训练3】(2021·衡水检测)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE；【训练3】(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；【例4】如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点. (1)求证：平面BEF⊥平面PAC；考点四与空间向量有关的探索性问题///////师生共研1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.感悟升华【训练4】(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；【训练4】(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.一、点面距【例1】如图，已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，平面ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其运动路程最短时在侧面留下曲线Γ.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ(0＜θ＜π)后得到平面A1B1C1D1，边B1C1与曲线Γ相交于点P. (1)求曲线Γ的长度；求点面距的关键是利用点与平面内异于该点射影的任一点，找出斜线段所在的向量在法向量上的射影，然后利用公式求解.思维升华二、线线距【例2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为CD，BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离.

解以A为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则M(3，2，0)，N(0，4，1)，

A1(0，0，2)，B(0，4，0)，思维升华利用空间向量求两异面直线间的距离，避免了求两异面直线的公垂线，显示了向量法的优势.解题的关键是求出两异面直线公垂线的方向向量.课后巩固作业提升能力分层训练3B

A

4.(2020·长沙检测)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________.解析如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0).三、解答题5.(2020·北京卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点. (1)求证：BC1∥平面AD1E；三、解答题5.(2020·北京卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点. (2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.6.(2021·百所名校模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E是CD的中点.将△ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且使平面PAE⊥平面ABCE. (1)求证：平面PBE⊥平面PAE；6.(2021·百所名校模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E是CD的中点.将△ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且使平面PAE⊥平面ABCE. (2)求平面PAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值.8.(2021·武汉调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点. (1)若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值.

解

不妨设正方体的棱长为2.

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0).

因为E为OD1的中点，8.(2021·武汉调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O