工科数学分析 课件 8-5 重积分的换元法及含参变量的积分

第五节重积分的换元法及

含参变量的积分工科数学分析北京理工大学第二学期重积分的换元法及含参变量的积分重积分的换元法含参变量的积分的连续性含参变量的积分的微分莱布尼茨公式小结0、重积分的换元法

注意：基本要求:变换后定限简便，求积容易．(A).二重积分换元法（1）的面积元素

（2）的面积元素（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素(B).三重积分换元法柱面坐标球面坐标（3）广义球面坐标的体积元素一、含参变量积分的连续性设函数是在矩形是变量在上的一个一元连续函数,上的连续函数.在上任意确定的一个值,于是从而积分存在,这个积分的值依赖于取定的值.当的值改变时,一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的的函数,

我们把它记作即这里变量在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.uniformlycontinuous一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。图像区别:

闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0，1）上连续的函数y=1/x。一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可。函数f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是在[a,b]上连续。函数f(x)在[a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续

且f(b-)存在。定理1

如果函数在矩形确定的函数在上也连续.

上连续，那么由积分证设和是上的两点，则就有于是由（1）式有由于在闭区域上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的,存在,使得对于内的任意两点及,只要它们之间的距离小于,即因为点与的距离等于,所以当

时,就有所以在上连续.定理得证注====即当f(x,y)在区域R上连续时，求极限与求积分可以交换次序.注

既然函数在上连续,那么它在上的积分存在,这个积分可以写为右端积分式函数先对后对的二次积分.定理2

如果函数在矩形上连续,则公式（2）也可写成即定理刻画了积分次序交换性.

我们在实际中还会遇到对于参变量的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量的函数.这样,积分也是参变量的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.证设和是上的两点，则则由积分（3）确定的函数在上也连续.定理3

如果函数在矩形上连续,又函数与在区间上连续，并且当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，所以函数在上连续.定理得证又下面考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.二、含参变量的函数的微分矩形上连续,那么由积分(*)确定的函数在上可微分,并且定理4

如果函数及其偏导数都在即求导与积分可交换次序.证因为为了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的连续性，我们有

小于某个正数.因此其中，可小于任意给定的正数，只要这就是说综上所述有令取上式的极限，即得公式（5）.##三、莱布尼茨公式则由积分(3)确定的函数在上可微，并且定理5

如果函数及其偏导数都在矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且证由(4)式有当时，上式右端的第一个积分的积分限

不变，则由定理4对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得其中在与之间.当时,类似地可证,当时,因此，令，取(8)式的极限便得公式(7).##

公式(7)称为莱布尼茨公式.于是应用莱布尼茨公式，得例1设求解例2

求解

这里函数在矩形上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有例3

计算定积分

考虑含参变量的积分所确定的函数显然，根据公式(5)得解把被积函数分解为部分分式,得到于是上式在