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文档简介

第二节向量及其线性运算工科数学分析北京理工大学第二学期向量及其加减法向量与数的乘法向量的概念向量的加减法向量与数的乘法小结向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或与同方向的单位向量可记作或零向量没有方向，或者说其方向是任意的自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量，叫做点M的向径.即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。[1]定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]定义减法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系证充分性显然；必要性‖两式相减，得按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1

化简解例2

试用向量方法证明：对角线互相

平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量的坐标向量在轴上的投影与投影定理向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式小结一、向量在轴上的投影与投影定理证于是空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影

数关于向量的投影定理（1）证定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）特别地，如果把上述向量a在轴上

的投影换成向量a在向量b上的投影,

可得到类似的概念与性质：二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标由例1知

向量在

轴上的投影

向量在

轴上的投影

向量在

轴上的投影按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式解为直线上的点，由题意知：#非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量为解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或解例4

设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3p和4p，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解向量在轴上的投影与投影定理.向量在

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