第4章 正弦稳态电路

第4章正弦稳态电路

4.1正弦交流电的基本概念4.3单一参数元件的交流电路4.2正弦量的相量表示法4.4基尔霍夫定律的相量形式4.5阻抗和导纳4.6正弦稳态电路的分析4.7正弦稳态电路的功率4.8电路的谐振本章重点·正弦交流电的基本概念·相量表示法·正弦交流电路的分析方法·功率因数提高的意义正弦稳态电路的功率·正弦稳态电路的功率4.1正弦量的基本概念初相4.1.1正弦量的“三要素”正弦电流的数学表达式为其波形图

正弦交流电的“三要素”：最大值角频率初相角频率最大值4.1.2瞬时值、最大值、有效值·瞬时值：正弦量在任意瞬间的值，称为瞬时值，用小写字母表示，如u、

i、e分别表示电压、电流、电动势的瞬时值。·最大值：

正弦量在整个变化过程中所能达到的极值称为最大值，又称幅值，它确定了正弦量变化的范围，用大写字母加下标m表示，如、、分别表示正弦电压、电流、电动势的最大值。4.1正弦量的基本概念·有效值：正弦交流电流的有效值为它在一个周期内的方均根值。有效值与最大值的关系为：正弦交流电的最大值等于其有效值的倍。

可见，我们也可以用、、来表示正弦交流电的三要素。因此，我们可以把正弦量i改写为4.1正弦量的基本概念4.1正弦量的基本概念4.1.3周期、频率和角频率周期与频率互为倒数周期：正弦量变化一次所需的时间称为周期，用字母T表示。单位是秒（s）。频率：正弦量每秒内变化的次数称为频率，用字母f表示，单位赫兹（Hz）。角频率：ω是正弦量在每秒内变化的弧度，称为角频率，单位为弧度每秒(rad/s)。周期、频率、角频率的关系为周期、频率和角频率都是说明正弦交流电变化快慢的物理量。4.1.4相位、初相位、相位差相位初相两个同频率正弦量为正弦量它们的相位差

两个同频率正弦量的相位关系图（a）所示，电压超前电流

角，或称电流滞后电压

角图（b）所示，电压与电流同相

两个同频率正弦量的相位关系图（c）所示，电压与电流反相图（d）所示，电压与电流正交

相位关系的讨论，只是针对相同频率的正弦量来说的；两个不同频率的正弦量的相位差是随时间变化的，不是常数，在此讨论其相位关系是没有意义的。注意：【例4-1】正弦交流电压，其最大值为380V，f=50Hz，，当t=0时，其瞬时值为190V，试写出其瞬时值的表达式。当t=0时，其电压为190V，最大值为380V，则或正弦交流电压瞬时值表达式为或

解：设该电压的瞬时值表达式为解：i1的初相位i2的初相位

i1与i2的相位差为i1超前i2，或者说i2滞后i1

【例4-2】某两个正弦电流分别为，试求两者的相位差，并说明两者的相位关系。4.2正弦量的相量表示法

通过上面的学习，我们知道正弦量可以用正弦函数及其波形图直观的表示出来。但是，利用这两种方法来分析计算电路，运算将会十分的繁琐。为此，我们引入了“相量法”的概念，把三角函数运算简化为复数形式的代数运算，极大的简化了正弦交流电路的分析计算过程。

4.2.1复数1.复数的表示方法（1）复数的代数形式设A为一个复数，则其代数形式为A=a+jba、b是任意实数实部虚部虚数单位4.2正弦量的相量表示法复数A

也可以用复平面内的一条有向线段来表示复数A的模复数A的辐角复数实部复数虚部4.2.1复数（2）复数的三角函数形式根据欧拉公式可以得出复数的指数形式（3）复数的指数形式（4）复数的极坐标形式4.2.1复数2.复数的运算（1）复数的加减运算复数的加减运算一般采用代数形式和三角函数形式，即复数的实部与实部相加减；虚部与虚部相加减。例如则

复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则做图来完成4.2.1复数复数中关于虚数单位j，常有下列关系注意：j与复角之间的关系为4.2.2正弦量的相量表示法

用复数的模表示正弦量的大小，用复数的辐角表示正弦量的初相位，这种用来表示正弦量的复数称为正弦量的相量。正弦量的相量：可见，正弦量与表示正弦量的相量是一一对应的关系。，其有效值相量形式为例如，正弦电流，其最大值相量形式为例如，正弦电流相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图例如，正弦电流其有效值相量分别为

相量图相位差注意：2.只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图上，不同频率的正弦量不能画在同一个相量图上，也无法用相量来进行分析计算。1.画相量图时，相同的物理量应成比例。【例4-3】

试写出正弦量的相量，并画出相量图。解：对应的有效值相量为对应的有效值相量为相量图【例4-4】已知正弦量试求:解:

i1对应的有效值相量为i2对应的有效值相量为其对应的正弦量为

4.3元件伏安关系的相量形式在正弦稳态电路中，电阻、电感、电容元件的电压、电流都是同频率的正弦量。为了适应使用相量进行正弦稳态分析，将元件的伏安关系方程表示为相量形式。4.3.1电阻元件伏安关系的相量形式

在关联参考方向下，任意瞬时在电阻R两端施加电压为根据欧姆定律，通过电阻R的电流为

4.3.1电阻元件伏安关系的相量形式电阻电路的电压和电流相量形式即欧姆定律的相量形式电阻电路的电压和电流同相位结论：【例4-5】把一个100KΩ的电阻接到频率为50Hz电压有效值为220V的正弦电源上，求通过电阻的电流有效值是多少？如果电压值不变，电源频率改为500Hz，这时的电流又是多少？解：电阻电流的有效值为由于电阻元件电阻的大小与频率无关，所以频率改变后，电流仍为2.2mA。【例4-6】今有一白炽灯，若其工作时的电阻为400Ω，两端的正弦电压为

求通过白炽灯的电流相量及瞬时值表达式。解：依题意，电压相量为电流相量为则电流的瞬时值表达式为电阻电路中的功率（补充内容）（1）瞬时功率：电路任意瞬时所吸收的功率，用p表示。瞬时功率单位：瓦【W】或千瓦【KW】瞬时功率p总是大于零，说明电阻是耗能元件。

（2）有功功率：瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率或有功功率，用

表示P表示。有功功率单位：瓦【W】或千瓦【KW】结论：正弦电压和电流的有效值

【例】今有一白炽灯，若其工作时的电阻为322.67Ω，两端的正弦电压为试求（1）通过白炽灯的电流相量及瞬时值表达式；（2）白炽灯工作时的平均功率。解：（1）电压相量为电流相量为电流的瞬时值表达式为（2）平均功率电阻电路中的功率（补充内容）4.3.2电感元件伏安关系的相量形式如设电流为参考相量，即

任意瞬时，电压uL和电流iL在关联参考方向下的关系为则有这里XL称为电感元件的电抗，简称感抗；单位：欧姆[Ω]。电感元件电流和电压的相量形式分别为电感电路欧姆定律的相量形式4.3.2电感元件伏安关系的相量形式结论：当正弦电流通过电感元件时，在电感上产生一个同频率的、相位超前电流90o的正弦电压。电感元件端电压和电流的有效值之间符合欧姆定律。电感元件端电压和电流的相量形式符合欧姆定律。4.3.2电感元件伏安关系的相量形式【例4-7】把一个0.15H的电感元件接到频率为50Hz，电压有效值为180V的正弦电源上，求通过电感的电流有效值是多少？如果电压值不变，电源频率改为1000Hz，这时的电流有效值又是多少？解：当f=50Hz时当f=1000Hz时电感电路中的功率（补充内容）（1）瞬时功率（2）平均功率（有功功率）电感不消耗功率，只与电源之间存在着能量的交换；电感是一储能元件。结论：（3）无功功率：电路中能量互换的速率,即电感与电源之间功率交换的最大值，用

Q表示。单位：乏儿[var],千乏儿[Kvar]4.3.2电感元件伏安关系的相量形式解：（1）（2）设电压

为参考向量，即

电流的有效值，相位上滞后于电压

【例4-8】设有一电感线圈，其电感

，电阻可略去不计，将其接于

、

的电源上，试求：（1）该电感的感抗

；（2）电路中的电流I及其与电压的相位差。4.3.3电容元件伏安关系的相量形式任意瞬时，电压uC和电流iC在关联参考方向下的关系为设电压为参考相量则有

式中容抗的单位：欧姆[Ω]电容元件电压和电流的相量形式分别为

或

电容电路欧姆定律的相量形式当电容元件两端施加正弦电压时，在电容上产生一个同频率的、相位超前电压90o的正弦电流。电容元件端电压和电流的有效值之间符合欧姆定律。电容元件端电压和电流的相量形式符合欧姆定律。结论：【例4-9】在电容为的电容器两端加的电压，试求电容的电流。解：因为

电容电流的有效值为

由于电容的电流要超前电压而所以

则有

为参考向量，即（2）设电压

【例4-10】设有一电容器，其电容，电阻可略去不计，将其接于的电源上，试求：（1）该电容的容抗（2）电路中的电流I及其与电压的相位差

解：（1）容抗即，电流的有效值，相位上超前于电压表4-1

交流电路中电路元件的基本性质电路模型电路参数电阻R电感L电容C电压与电流的关系瞬时值u=iR有效值U=IRU=IXLU=IXC相位电压与电流同相电压超前于电流90o电压滞后于电流90o电阻或电抗RXL=ωL用向量表示电压与电流的关系向量模型向量关系式向量图有功功率P=UIP=0P=0无功功率Q=0电容电路中的功率(补充内容)（1）瞬时功率（2）平均功率（有功功率）（3）无功功率：电容与电源之间功率交换的最大值，用

表示。结论：

电容不消耗有功功率，只与电源之间存在着能量的交换；所以，电容也是一储能元件。4.3.3电容元件伏安关系的相量形式4.4基尔霍夫定律的相量形式

直流电路中由欧姆定律和基尔霍夫定律所推导出的结论、分析方法和定理，都可以扩展到交流电路中。根据基尔霍夫电流定律，在电路中任意节点，任何时刻都有若这些电流都是同频率的正弦量，则可以用相量形式表示为1.基尔霍夫电流定律的相量形式2.基尔霍夫电压定律对电路中任意回路任一瞬时基尔霍夫电压定律的相量形式（K=1···········n）即即解：图（a）中，由于并联电路中各支路的电压相同，所以设端电压为参考相量，即

【例4-11】如图（a）所示电路中，已知电流表的读数都是5A，图（b）中电压表

、、的读数分别是30V、40V、80V，试求电路中电流表A和电压表V的读数。

（电阻元件上的电流与电压同相）

（电感元件上的电流滞后电压）

（电容元件上的电流超前电压）由KCL得图（a）中电压表A的读数为5A。在图（b）中，由于串联电路中各元件的电流相同，所以设电流为参考相量，即

（电阻元件上电流与电压同相）

(电感元件上电流滞后电压）

(电容元件上电流超前电压）由KVL得图（b）中电压表V的读数为50V。4.5阻抗和导纳4.5.1阻抗1.阻抗如图（a）所示为若以电流I为参考相量，即根据基尔霍夫电压定律有对应的相量式相量模型其中带入上式，得等效复阻抗

等效阻抗阻抗三角形正弦交流电路欧姆定律的相量形式阻抗的模阻抗角电阻电抗4.5.1阻抗复阻抗Z,电抗X的单位[Ω]由可见，阻抗角φ也是电压和电流的相位差角。

其中，结论：复阻抗Z仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电流的大小无关4.5.1阻抗若XL＜XC，则X＜0，UL＜UC，φ＜0，电压滞后电流，相量图为（b）所示。2.电路的性质3.单一参数的复阻抗

（1）电阻Z=R（2）电感（3）电容R、Z、X、XL、XC的单位为欧姆[Ω]。若XL＞XC，则X＞0，UL＞UC，φ＞0，电压超前电流，相量图为（a）所示。若XL=XC，则X=0，UL=UC，φ=0，电压与电流同相，相量图为（c）所示。试求：线圈两端的电压有效值U及u与i之间的相位差φ。【例4-12】在RLC串联电路中，已知电压源电压试求：该串联电路的阻抗Z及电路中的电流i。解：

【例4-13】已知一线圈的电阻电感通过线圈的电流为解：线圈的电抗

线圈的复阻抗电压有效值

u与i之间的相位差复导纳角4.5.2导纳阻抗的倒数定义为导纳，用Y表示。导纳的模导纳Y的代数形式可写为电导电纳1.导纳的定义：2.单个元件的导纳（1）电阻（2）电感（3）电容其中：称感纳称容纳

3.一端口为RLC并联的导纳根据KCL定律Y的实部是电导

虚部是电纳

导纳三角形复导纳角复导纳模Y的模和导纳角分别为

4.电路的性质（1）当B＞0

，＞时,Y呈容性

＜（2）当B＜0

，时,Y呈感性

（3）当B=0

，=时,Y呈阻性

G、Y、B、BL、BC的单位为西门子[S]5.Y与Z的关系4.5.3阻抗的串联和导纳并联1）阻抗的串联

如图所示为若干个阻抗的串联电路，它的等效阻抗为

R称为串联电路的等效电阻，它等于各串联电阻的和；X称为串联电路的等效电抗，它等于各串联电抗的代数和（感抗取正值，容抗取负值）2.导纳的并联

如图所示为若干个导纳的并联电路，它的等效阻抗Z的倒数等于各并联阻抗的倒数和，即总复阻抗为【例4-14】如图所示电路中，阻抗

试求各支路的电流阻抗外加电压

解：4.6正弦稳态电路的分析

在正弦交流电路中，以相量形式表示的欧姆定律和基尔霍夫定律与直流电路有相似的表达式；因而在直流电路中，由欧姆定律和基尔霍夫定律推导出的支路电流法、节点电压法、叠加定理、等效电源定理等等都可以同样扩展到正弦交流电路中。

在扩展中，直流电路中的各物理量在交流电路中用相量的形式来代替；直流电路中的电阻R用复阻抗Z来代替；直流电路中的电导G,用复导纳Y

来代替。设

为参考相量，超前，则有【例4-15】如图所示电路中，两个电源的电压有效均为220V，相位相差60o，内阻抗负载阻抗，试求负载电流解：(1)用支路电流法求解各支路电流的参考方向如图所示

由KCL定律得由KVL定律得

解得（2）用叠加定理求解(a)可视为是(b)和(c)的叠加，负载电流(3)

用节点电压法来求解此题还可以用戴维南定理来求解，所得结果与上述完全一致。【例4-16】在如图所示电路中，已知R=5Ω，XL=5Ω，XC=5Ω，，试求：该电路的等效阻抗及各支路的电流。解：设等效阻抗为【例4-17】在如图（a）所示电路中，

交流电流表A的读数最小，其值为2.59A。求图中交流电流表A1的读数。电容可调，当时，解：当电容C变化时，始终不变，可以先定性画出相量图。设则故滞后电压表示的电流相量组成的三角形如图（b）所示。

当C变化时，始终与正交，故的末端将沿图中所示虚线变化，到达a点时，为最小。

用电流三角形解得电流表A1的读数为这时I=2.59A，4.7正弦稳态电路的功率

4.7.1二端网络的功率1）瞬时功率如图所示无源二端网络，设

则瞬时功率为用p表示单位：瓦[W]或千瓦[KW]功率因数瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率或有功功率。用P表示，即2）有功功率电压和电流的有效值电压和电流的相位差3）功率因数称为功率因数，用表示。

单位：瓦[W]或千瓦[KW]。电阻是耗能元件；电感和电容是不消耗电能的，它们只与外电路进行能量交换，是储能元件。

4.7.1二端网络的功率4）无功功率电感与电容与电源之间进行能量的交换规模的大小用无功功率来衡量。无功功率用Q来表示单位乏[var]或千乏[kvar]将电压和电流有效值的乘积定义为视在功率（设备的容量），用S表示5）视在功率单位：伏安[VA]。

4.7.1二端网络的功率6）功率三角形我们可以用直角三角形来表示有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系

4.7.1二端网络的功率7）复功率如图示，设端口的电压和电流分别为复功率定义为复功率的单位：复功率的模为视在功率S【例4-18】如图所示电路，已知交流电压表的读数为100V，交流电流表的读数为2A，功率表的读数为120W，交流电源的频率f=50Hz,求：电阻R和电感L的值。R和L串联阻抗

解：得其模为【例4-19】求例4-18电路中线圈吸收的复功率解：设电压由例4-18可知

则

因此有

1）提高功率因数的方法主要采用在感性负载两端并联电容器的方法对无功功率进行补偿。＞，因此，＜故并联电容后功率因数提高了

4.7.2提高功率因数的方法及意义【例4-19】如图所示，感性负载吸收的有功功率P=9KW，功率因数为0.6，将其接到220V、50HZ的交流电源上，今欲将其功率因数提高到0.9，试问：需要并联的电容值为多大？所需补偿的无功功率QC为多少?解：未并联电容时,功率因数为0.6并联电容后,功率因数为0.9所需补偿的无功功率为

由于

因此所需并联的电容量为电路的无功功率为电路的无功功率为4.7.2提高功率因数的方法及意义2）提高功率因数的意义（1）使电源设备得到充分的利用一般交流电源设备（发电机、变压器）都是根据额定电压UN和额定电流IN来进行设计、制造和使用的。它能够供给负载的有功功率为。当UN、IN值一定时，若低，则电源能够供给负载的有功功率P1也低，电源的容量就没有得到充分的利用

。因此，提高功率因数，可以提高电源设备的利用率。（2）降低线路损耗和线路压降输电线上的损耗为

，线路电压为，而线路电流。可见，当电源电压U及输出有功功率P1一定时，提高，可以使线路电流减小，从而降低了传输线上的损耗，提高了传输效率。同时，线路上的压降减小，使负载的端电压变化减小，提高了供电的质量。2）提高功率因数的意义4.7.2提高功率因数的方法及意义4.7.3最大功率传输定理图（a）所示电路为含源一端口向负载Z传输功率，当传输的功率较小不必计较传输效率时，常常要研究使负载获得最大功率的条件。根据戴维南定理，问题可以简化为图（b）所示的等效电路进行研究。设，，则负载吸收的有功功率为如果R和X可以任意变动，而其他参数不变时，则获得最大功率的条件为4.7.3