高等数学教程　下册　范周田 第4版 习题详解汇 习题7

习题7.1（A）组1.指出下列方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1)解：二阶，不是线性微分方程。(2)解：三阶，是线性微分方程。(3)解：二阶，是线性微分方程。(4)解：一阶，不是线性微分方程。2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：(1)解：是。(2)解：是。因为所以。(3)解：否。因为所以。(4)解：是。因为所以。3.已知曲线在点处的切线的斜率为，建立曲线所满足的微分方程。解::4.用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压对于温度的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比。解：C为常数（B）组1．已知曲线上的点处的法线与轴的交点为,且被轴平分，建立曲线所满足的微分方程。解：由已知得所以2.求曲线族是任意常数）所满足的微分方程。解：两个任意常数，则微分方程为二阶的方程(1)(2)则由知另外联立以上两式3.如果是可微函数，且满足 试求所满足的微分方程。解：对方称求导得，另外所以)满足。4．设连续函数，求满足的微分方程.解：，两边同时求导有，再求导有故f(x)满足的微分方程为。习题7.2（A）组1.求下列微分方程的通解：(1)解：积分得则c为任意常数(2)解：积分得C为任意常数(3)解：dy5y=5x(4)解：积分得则。(5)解：由题得则,积分得则。(6)解：变型得(1−x−a)y'=a积分得−1y=−a2.求下列微分方程的特解：(1)解：积分得将代入通解得即得因此方程的特解为。(2)解：积分得将代入通解得即得因此方程的特解为2y(3)解：积分得dln即将代入通解有得因此方程的特解为。(4)解：由题得积分得将代入通解得则方程的特解为3.求下列微分方程的通解或特解：(1)解：令原方程等价于即(积分得则将代入得若则，检验得也是方程的解。(2)解：令，原方程化为变型得积分得即将代入得通解。(3)解：即令，原方程化为变型为积分得将代入得通解为。(4)解：令，方程化为则将代入得。(5)解：y则令则解得将代入得将代入得。(6)解：令，则，解得，将y(0)=1代入得c=04.求下列微分方程的通解或特解：(1)解：由一阶线性非齐次方程的求解公式得方程的通解为(2)解：则。(3)解：。(4)解：则。(5)解：则由得因此。(6)解：则由得因此。（B）组1．求下列方程的通解或特解(1)解：令x=u+1得令得：，代入得ln[(2)解：令，方程化为解得，C=1，原方程解为y2(3)解：原方程等价于则由一阶线性非齐次方程通解的公式有。(4)解：原方程等价于则由一阶线性非齐次方程的通解公式得则2.求下列微分方程的通解：(1)解：令则原方程等价于则即（为任意常数）。(2)解：令则原方程等价于则即（为任意常数）。(3)解：令则原方程转化为则将代入得(4)解：令则原方程转化为：将代入得通解为。3.通过变量替换,求下列微分方程的通解：(1)解：令则代入方程得即解得则将代入后得为方程通解。(2)解：令则代入方程得解得将代入后得为方程的通解。(3)解：令则代入方程得即解得即(为任意常数)将代入得是原方程的通解。(4)解：令则原方程等价于即将代入得将代入解得。4.设曲线过点,且它与两坐标轴间的任意切线段均被切点所平分,求这曲线的方程。解：设切点为,则切线在轴与轴的截距分别为，则解得将代入得。5．设有连接和的上凸曲线弧，是上任意一点，若曲线弧与直线所围成的面积为，试求曲线弧的方程。解：设弧的方程为由题意知求导得(一阶线性非齐次方程)将代入得则6.求满足方程的连续函数。解：对方程求导得（一阶线性非齐次方程）将代入得则。习题7.3（A）组1．求下列可降阶的高阶微分方程的通解：(1)解：y=160x(2)解：令则原方程为变型为解得即即(3)解：令y'即(4)解：令则将代入方程即则解得即（为任意常数）(5)解：令y'一阶线性非齐次方程解得(6)解：令则原方程为则即解得（B）组1．求下列微分方程的特解:(1)解：令则代入方程有解得积分后得由得即因此方程的特解为由知(2)解：令，则原方程化为解将代入得即解得将代入得即则为方程的特解(3)解：令代入原方程有解得将代入得即将代入得则(4)解：令代入原方程有即积分后得将代入有解得则解得将代入解得则为方程的特解。(5)解：令代入原方程有解得将代入有即令则令原式变为将代入得则为方程通解。(6)解：将代入得将代入得将代入得故习题7.4（A）组1.验证及都是方程的解,并求该方程的通解。解：代入方程左式有代入线性齐次方程的通解为。2.验证及都是方程的解,并求该方程的通解。解：代入方程左端有代入有该齐次方程的通解为。3.设,,是某二阶线性非齐次微分方程的特解,求该方程的通解。解：是对应的二阶线性齐次微分方程的特解，则是齐次方程的通解，故是非齐次方程的通解。4.证明：为方程的通解。（为任意常数）证明：先验证是方程的解，因为则则。再验证为方程的解则因此为方程的通解。5．证明:设是二阶线性非齐次方程的两个任意解,则是对应的齐次方程的解。证明：是的两个解，即两式相减有即是对应齐次方程的解。6．设，是微分方程的两个解，求该方程的通解，并写出该方程的具体形式。解：因为与线性无关，因此该方程的通解为（为任意常数）将代入方程得即因此方程得具体形式为。（B）组1.已知是齐次线性方程的一个解,求该方程的通解。解：设是方程的解代入方程有则即取得为方程的解，且与线性无关因此为方程的通解。设y1和y2是齐次线性微分方程的两个线性无关的解。证明是非齐次线性微分方程的特解，其中提示：将特解代入非齐次线性微分方程，利用y1和y2已知齐次线性方程的通解为,求二阶线性非齐次方程的通解。（为任意常数）解：方法一：根据第2题的结论可得方程的一个特解为即：因此原方程的通解为方法二：其中,求解方程得因此方程的一个特解为,因此原方程的通解为习题7.5（A）组1.求下列微分方程的通解或特解:(1)解：方程的特征方程为则则通解为(2)解：方程的特征方程为则则通解为(3)解：方程的特征方程为则则通解为(4)解：方程的特征方程为则则通解为y=(5)解：方程的特征方程为则λ2则通解为y=c(6)解：方程的特征方程为则则通解为求下列微分方程的特解：(1)解：方程的特征方程为则则通解为,两边求导得将代入得则方程的特解为。(2)解：方程的特征方程为则则通解为将代入得则方程特解为。（B）组1.(1)解：方程的特征方程为解得则为方程的通解。(2)解：方程的特征方程为解得（二重根）（二重根）则为方程的通解。2.求解下列欧拉方程解：令，则，于是将变换后的记过分别代入原方程化简得其特征方程为，解得通解为因此原方程的通解为。习题7.6（A）组1.求下列微分方程的通解:(1)解：先求的通解特征方程为则则通解为再求的一个特解设是方程的一个特解，代入方程有则解得即综上有韦方程的通解。(2)解：先求的通解特征方程为，解得则通解为设是原方程的一个特解将代入原方程得得解得即因此原方程的通解为(3)解：先求的通解特征方程为，解得则通解为设为方程的特解将代入方程有得即因此方程的通解为(4)解：先解齐次方程的通解特征方程为解得则为方程的通解。令为方程的一个特解，则即设代入方程有解得即因此为原方程的通解(5)解：先解齐次方程的通解特征方程为解得则方程的通解为再解，设为该方程的一个特解，则即设则解得即则实部为原方程的一个特解因此y=c1(6)解：先解齐次方程的通解特征方程为解得则通解为令为方程的解则满足方程设则解得因此则为的特解因此为原方程的通解。求下列微分方程的特解(1)解：先解齐次方程特征方程为解得则通解为设为原方程的一个特解，则因为为原方程的通解将代入有解得则。(2)解：先解齐次方程特征方程为，解得则通解为再解，令为方程的解，则即设为解，则因此则为原方程的一个特解因此为原方程的通解将代入有解得因此（B）组1.求下列微分方程的通解(1)解：先解的通解特征方程为，解得则通解为再分别解与的特解设分别为以上两个方程的解，则有则解得因此为原方程的一个特解即为原方程的通解。(2)解：原方程等价于先解齐次方程，特征方程为，解得即得通解接下来分别解，的特解。设为的特解，则设为的解则有即设为方程的特解，则即因此为原方程的一个特解故为原方程的通解。2．设函数满足方程且，试确定。解：对方程两边同时求导后整理后先解，其特征方程为，解得通解为令为原方程的解，代入方程有即设为其一个特解，代入有得解得因此为方程的通解将代入有解得则。3.求解欧拉方程。解：令则则有将变换后的结果代入原方程先解齐次方程，其特征方程为，得通解为设为的一个特解，解得因此的通解为将代回有为原方程的通解。综合习题7（A）组1．求以下列函数为通解的微分方程.(1)解：特征根为，则特征方程为则微分方程为(2)解：方程有一对共轭的复根为，则特征方程为则所求微分方程为(3)解：为特征方程的三重根，因此特征方程为则所求微分方程为(4)解：为齐次方程的通解，为非齐次方程的特解。齐次方程对应的特征根为，则特征方程为齐次方程为设非齐次方程为，将代入得即所求微分方程为。求解下列微分方程的通解或特解(1),解：即积分后得将代入后得即化简后得。(2),解：变型积分后得将代入得即(3),解：由题通解为将代入得即。(4)解：设，则故则即积分得解得则有解得(5)解：先解齐次方程其特征方程为，解得通解为令代入原方程得即。设为特解，则即为原方程的一个特解因此为方程的特解。(6)解：先解齐次方程其特征方程为，解得则通解为设为方程的特解，代入方程得为方程的一个特解则通解为。（B）组1.设方程的一个特解为,试确定的值,并求该方程的解。解：代入方程得即解得方程为齐次方程的特征方程为，解得通解为令代入原方程得即解得因此为原方程的一个特解，则为方程的通解。2设函数连续,且满足方程，求。解：方程两边同时求导可得：即得，令则：，解得，故3设连续函数满足方程，求。解：对方程两边求导得再求导有，可知齐次方程为，解得设则，为方程的一个解则为原方程的一个特解。又，则，即4设对任意,曲线上的点处的切线在轴上的截距等于,试求的一般表达式。解：在点处的切线方程为得轴上的截距为由题知对x求导得即，故（为任意常数）。已知函数的图像在原点与曲线相切，并满足方程求函数。解：对方称求导得齐次方程的特征方程为，解得通解为设则得为一个特解则为原方程的一个特解因此为原方程的通解将代入得则设是微分方程的一个解，求该方程满足条件的特解。解：将代入方程有解得，则方程为，即解齐次方程，即得解得则为原方程的通解。由知，解得则某车间体积为12000，开始时空气中含有0.1%的CO2，为了降低车间内空气中CO2的含量，用一台风量为2000的鼓风机通入含0.03%CO2的新鲜空气，同时以同样的风量将混合均匀的空气排出，问鼓风机开动6min后，车间内的CO