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第十二章曲线积分与曲面积分12.1

第一型曲线积分12.1.1第一型曲线积分的概念与性质问题1:曲线形构件的质量密度均匀分布曲线形构件的质量现求线密度是变化的曲线形构件的质量分割求和取极限精确值近似值近似线L,设曲线形构件占有平面曲它在点(x,y)处的线密度是定义1L曲线形构件的质量被积函数

弧元素积分弧段推广注：第一型曲线积分又称对弧长的曲线积分(1)线性性质：(2)可加性：

对弧长的曲线积分具有下列性质:

(3)保序性：特别地，有定理1则曲线上具有一阶连续导数,注意:1.对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限!12.1.2第一型曲线积分的计算L的参数方程为积分存在，且曲线方程的其他情形(3)

曲线的方程为极坐标方程

推广则的参数方程为解解例1计算其中L为上自原点到的一段弧.例2计算其中的一段弧.例3计算圆周曲线的质量.解曲线L的质量为其中线密度圆的极坐标方程为圆的参数方程为所求质量对弧长的曲线积分的几何意义:表示以

xOy面上曲线L为准线、母线平行于z轴,的柱面面积.高为例4设椭圆柱面被z=y与z=0所截,求位解于第一、二卦限内所截下部分的柱面的侧面积A.xOy面上椭圆所求的柱面的侧面为的参数方程为所求的柱面的侧面为思考题

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