高等数学教程　下册　第4版 课件 9.2 空间平面和直线方程_第1页
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文档简介

如果一非零向量垂直已知的法向量为9.2空间平面和直线方程9.2.1空间平面方程1.平面的点法式方程求该平面的方程.

且平面通过点设为平面上的任一点,于一平面,

这向量就叫做该平面的法向量．必有平面的点法式方程其中法向量过已知点因所以解例1求过三点

的平面方程.设平面的法向量为

n=(A,B,C),则有因此解得所求平面方程为解取所求平面方程为即例1求过三点

的平面方程.平面的点法式方程是关于x,y,z

的一次方程,平面的一般方程因此,称2.平面的一般方程任取该方程的一组解两式相减,得反过来,所有三元一次方程都是一个平面.平面一般方程的几种特殊情况:平面通过坐标原点；平面通过

轴;平面平行于轴;平面平行于

坐标面;类似地可讨论

情形.类似地可讨论

情形.代入后得到所求的平面方程为因为平面通过点(4,-3,-1),解

因为所求平面通过x轴,所以它的法向量垂直例2设平面过点

及

x轴,求其方程.因为平面过原点,所以D=0.于

x

轴.方程为By+Cz=0.可设法向量n=(0,B,C).

因此,所求的平面有-3B-C=0.设平面为将三点坐标代入得设平面与

x,y,z

三轴分别交于3.平面的截距式方程代入可得,注:当平面不与任何坐标面平行,平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距

且不过原点时,才有截距式方程.将此平面写成截距式则该平面在x

轴、y

轴和z

轴解例3

求平面与三个坐标面所围成的四面体的体积.故所求的四面体的体积为上的截距分别为2、-3、6.定义两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.(通常取锐角或直角)4.两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式//两平面垂直、平行的充要条件:取锐角定理9.4设平面的夹角为如果平面的图形的面积为S,则这个图形在平面内的投影面积为外一点,5.

点到平面的距离并作向量的距离公式为例4

两平行平面

与

间距离为(),其中

的方程分别为:(A)1(B)(C)2(D)21A解∥定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程L(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.8.2.2空间直线方程注:如果一非零向量平行于一条已知直线,//这个向量称为这条直线的方向向量.直线L的方向数.已知直线过点求此直线的方程.其方向向量为因为直线的对称式方程令直线的参数方程故//故(点向式、标准式)对称式方程的分母可以有一个或两个为零.如对称式方程为可写成一般方程又如可写成一般方程令直线的参数方程故先求直线上一定点:于是得直线上的一定点取对称式方程例5将化为对称式方程和参数方程.因所求直线与两平面的法向量都垂直.解则参数方程为解所求直线方程为·

M1·

M2例6求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.向量与直线平行取定义两直线的方向向量的夹角

(通常指锐角)叫做两直线的夹角.直线直线^两直线的夹角公式两直线的位置关系://

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