1.3空间向量及其运算的坐标表示练习高二上学期数学人教A版选择性

1.3空间向量及其运算的坐标表示一、必备知识基础练1.[探究点二]已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),则向量2a3b的坐标为()A.(0,4,11) B.(12,16,7)C.(0,16,7) D.(12,16,7)2.[探究点一、二](多选题)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,1,2),B(1,2,1),C(1,1,3),D(3,5,3),那么以下说法中正确的是()A.AB=(2,3,3)B.CD=(4,6,6)C.线段AC的中点坐标为(2,0,1)D.四边形ABCD是一个梯形3.[探究点四]已知点A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点三][2024浙江台州期末]若向量a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,则|b|=()A.2 B.22 C.6 D.265.[探究点三][2024四川威远校级期末]已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a2b互相垂直,则k=()A.114 B.18 C.356.[探究点三]如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行7.[探究点一][2024安徽高二课时练习]已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,向量b=5i+2k用坐标形式可表示为.

8.[探究点二]已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=2,则实数x=.9.[探究点三][2024黑龙江建华校级期末]已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka2b互相垂直,求实数k.10.[探究点四]已知空间向量a=(2,4,2),b=(1,0,2),c=(x,2,1).(1)若a∥c,求|c|;(2)若b⊥c,求cos<a,c>的值.二、关键能力提升练11.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,则实数z的值为(A.5 B.5C.5或5 D.10或1012.[2024北京丰台高二期末]在空间直角坐标系中,已知三点O(0,0,0),A(1,2,1),B(1,1,0),若点C在平面OAB内,则点C的坐标可能是()A.(1,1,3) B.(3,0,1)C.(1,1,2) D.(1,1,2)13.[2024江苏高二校联考]若向量a=(1,λ,1),b=(2,1,2),且向量a与b夹角的余弦值为26,则λ=(A.2 B.2C.2或2 D14.已知动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1(不含端点)上.设D1PD∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为()A.(0,13) B.(0,12) C.(13,1) D.(15.[2024江苏徐州高二统考期末]已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),则向量AB在AC上的投影向量的坐标是16.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,|OQ|=17.已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a18.[北师大版教材习题]已知A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a=AB,b=AC.(1)设|c|=3,c∥BC,求c的坐标;(2)求a与b的夹角;(3)若ka+b与ka2b互相垂直,求实数k的值.三、学科素养创新练19.在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型PABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥PAEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若PEPB=35,PF答案1.A∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),∴2a3b=(6,10,2)(6,6,9)=(0,4,11).故选A.2.AD∵A(3,1,2),B(1,2,1),C(1,1,3),D(3,5,3),∴AB=(2,3,3),CD=(4,6,6),故A正确,B错误;线段AC的中点坐标为(1,0,12)CD=2AB,故AB和CD共线,即AB∥AD=(0,4,1),BC=(2,1,2),AD与BC不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形.3.C由已知得AB=(0,3,3),AC=(1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB与AC4.D因为a=(1,1,2),b=(2,x,y),且a∥b,则21=x1=y2,解得所以|b|=22+22+45.D由题可得,ka+b=(k+1,k,2),a2b=(3,1,4).∵ka+b与a2b垂直,∴(ka+b)·(a2b)=3(k+1)+k8=0,解得k=114.故选D6.D设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M(12,1,12),N(0,1∴MN=(12,12,0),CAC=(1,1,0),BD=(1,1,0),A1B1=(0,1,0).∴MN⊥CC1,故A正确;MN·AC=12-1易知BD=2MN,且M,N∉BD,∴MN∥BD,故C正确;设MN=λA1B1,得-12=0×λ,-故选D.7.(5,0,2)因为{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则b=5i+2k=5i+0j+2k=(5,0,2).8.8由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=2,解得x=8.9.解(1)由题可得,BC=(2,1,2).∵|c|=3,且c∥BC,则c=(2x,x,2x),∴|c|2=4x2+x2+4x2=9x2=9,解得x=±1,∴c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)由题可得,a=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),若ka+b与ka2b互相垂直,则(ka+b)·(ka2b)=0,∴k2a2ka·b2b2=0,即k2·(12+12+02)k·(1+0+0)2·[(1)2+02+22]=0,化简得2k2+k10=0,解得k=52或k=210.解(1)空间向量a=(2,4,2),b=(1,0,2),c=(x,2,1),因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka,所以x=2k,2=4k,-1=(2)因为b⊥c,则b·c=x+02=0,解得x=2,所以c=(2,2,1),故cos<a,c>=a·11.C因为OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(zx则x解得x=10,12.B由题可得,OA=(1,2,1),OB=(1,1,0),则向量OA,OB不根据向量基本定理,可得OC=λOA+μOB=(λ+μ,2λμ,λ),故C点坐标为(λ+μ,2λμ,λ),经验证,B选项符合条件,此时λ=1,μ=2.故选B.13.A因为a=(1,λ,1),b=(2,1,2),所以a·b=2λ2=λ,|a|=2+λ2,|b|=4+1+4=又a与b夹角的余弦值为26,a·b=|a||b|cos<a,b>所以λ=2+λ2×3×26,解得λ2因为λ>0,即λ<0,所以λ=2.故选A.14.C由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),∴D1B=(1,1,1),则D1P=(λ,∴PA=PD1+D1A=(λ,λ,λ)+(1,0,1)PC=PD1+D1C=(λ,λ,λ)+(0,1,1)=∵∠APC为钝角,则cos∠APC<0,∴PA·PC∴(1λ)(λ)+(λ)(1λ)+(λ1)2=(λ1)(3λ1)<0,解得13<λ<1,∴λ的取值范围是(13,1).15.16,16,13所以AB=(1,2,0),AC=(1,1,2),所以|AB|=(-1|AC|=12+12+22=6,AB·AC=(所以向量AB在AC上的投影向量是|AB|·所以向量AB在AC上的投影向量的坐标是16.463因为点Q在直线OP上运动,OP=(1,1,2),所以设Q(t,t,2则QA·QB=(1t,2t,32t)·(2t,1t,22t)=(1t)(2t)+(2t)(1t)+(32t)(22t)=6t216所以当t=162×6=43时,QA·QB取得最小值,此时Q417.解(1)由题中条件可知,AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC>=故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(1,1,1).18.解(1)BC=(3,0,4)(1,1,2)=(2,1,2),c=λ(2,1,2)=(2λ,λ,2λ).所以|c|=4λ2+λ2+4λ2=所以c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)a=AB=(1,1,2)(2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(3,0,4)(2,0,2)=(1,0,2),a·b=1×(1)+1×0+0×2=1,|a|=12+12+02=2,|b|=(-1)因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=πarccos1010(3)由(ka+b)⊥(ka2b)得(ka+b)·(ka2b)=0,所以k2a22ka·b+ka·b2b2=0,所以2k2k·(1)2×5=0,所以2k2+k10=0,所以k=2或k=5219.34建立如图所示空间直角坐标系设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0)