2021高考数学一轮复习课后限时集训53椭圆及其性质理

PAGE课后限时集训53椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4bC．a＝2b D．3a＝4B[由题意，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，则eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b22．已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k＞0，,2k－1＞0，,2k－1＞2－k，))解得1＜k＜2.故选C.]3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，则椭圆C的标准方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(y2,3)＋eq\f(x2,2)＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1D[由题意可设椭圆C的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋1－12)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋1＋12)＝4.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的标准方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.故选D.]4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A．eq\r(3)－eq\r(2) B．eq\r(3)－1C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)B[设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DF1))＝c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DF2))＝eq\r(3)c.由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝eq\r(3)c＋c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1，故选B.]5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12C[由椭圆的方程得a＝eq\r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).]二、填空题6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5,0)[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，eq\r(15))[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq\r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋42＋y2＝64，,x＞0，,y＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15)，))又因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，eq\r(15))．]8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF,\s\up8(→))1·eq\o(MF,\s\up8(→))2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[满足eq\o(MF,\s\up8(→))1·eq\o(MF,\s\up8(→))2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜eq\f(1,2)，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜eq\f(\r(2),2).]三、解答题9．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．[解]由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为eq\r(3)，所以点M的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解](1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16， ①x2＋y2＝c2， ②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(16,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．1．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4 B．8C．12 D．16B[设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝eq\f(1,2)|AN|，同理|DF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.]2.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2)；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④D[观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，eq\f(a1－c1,c1)<eq\f(a2－c2,c2)，即eq\f(a1,c1)<eq\f(a2,c2)，从而c1a2>a1c2，eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)，即④式正确，③式不正确．故选D.]3．(2019·三明模拟)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，则eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝________.3[由椭圆方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，得长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，由正弦正理可得，eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝eq\f(5|AB|,|BC|＋|AC|)＝eq\f(5×6,10)＝3.]4．(2109·山西太原一模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为eq\r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．[解](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2c＝6，,\f(1,2)×2bc＝\r(3)，,a2＝b2＋c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,b＝\r(3)，,a＝2，))∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(6m,4＋3m2)，y1y2＝－eq\f(9,4＋3m2)，∴my1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，∵直线AM的方程为y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线BN的方程为y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，∴eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，∴eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(my1y2＋3y2,my1y2－y1)＝3，∴x＝4，∴直线AM与BN的交点在直线x＝4上．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1

B[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a又∵|AF1|＋|AF2|＝2a∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up8(→))＝2eq\o(F2B,\s\up8(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B.]2．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面