2022-2023学年福建省福州某中学九年级上学期12月份适应性练习数学含详解

2022-2023学年第一学期数学学科

九年级12月阶段性考试卷

（完卷时间：120分钟，总分：150分）

注意事项：请把答案填在答题卡上.

一.选择题（每小题4分，共40分，请把正确选项的代号在答题卡的相应位置涂黑）

1.下列品牌图案中，是中心对称图形的是（)

AOI1B

2.下列事件是必然事件的是（）

A.下个月1号会下雨B.13个人中至少有2人生日在同一个月

C.平分弦的直径垂直于弦D.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃

3.将抛物线y=（x-Ip-4平移得到抛物线y=f,这个平移过程是（)

A.向左平移1个单位,再向上平移4个单位

B.向左平移1个单位,再向下平移4个单位

向右平移1个单位,再向下平移4个单位

D.向右平移1个单位,再向上平移4个单位

4.若关于x的一元二次方程—左=0没有实数根，则％的值可以是（)

A.-2B.-1C.0D.1

5.用一个半径为3,面积为3万的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）,则圆锥的底面半径为（）

A.7CB.2»C.2D.1

6.一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题

意可列方程为（）

A.x+x(x+l)=⑵B.l+x+x(x+l)=121

C.x+x2=121D.1+%+X2=121

7.如图，沿A8方向架桥BD，以桥两端出发，修公路8C和。C,测得NA6c=150°,

BC=1800m,=105°,则公路OC的长为（

A900mB.900\/2mC.9006mD.1800m

8.如图，正比例函数y=4x与反比例函数y=包的图像交于41,，〃）、B两点，当年"石时，x的取值范

XX

-U<0或x±1B.x<-l^cO<x<l

C.x<-]^x>1D.-1<X<OWCO<X<1

9.如图，在maABC中，ZABC=90°,NA=32。，点8、。在。。上，边AB、AC分别交。。于。、E

两点，点8是CO的中点，则N48E的度数是（）

B.16°C.18°D.21°

10.已知抛物线丁=江+儿+。（4、b、C•是常数，。。0）经过点A（l，o）和点8（0,—3）,若该抛物线的

顶点在第三象限，记m=2。一/?+。，则〃z的取值范围是（）

A.0<m<3B.-6<m<3C.—3<m<6D.-3<m<0

二.填空题（每小题4分，共24分）

11.抛物线丁=加+法+。交》轴于（—3,0）,（1,0）,则方程加+fec+c=O根为.12.如图，

线段A8两个端点的坐标分别为A（6,6）,B（9,3）以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩

小为原来的!后得到线段CD,则端点D的坐标为.

B13.己知点A（—3,y）,6（—5,%），C（2,%）在二次函数

X

y=-2x+6的图象上，则,、为、%的大小关系为

14.如图所示，两个同心圆的半径之比为3：6,A6是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切，若

AC=12,则BC=.

A15.如图，在RsABC中，ZACB=90，ZBAC=30°>BC=2,线段BC

绕点B旋转到B。，连A。，E为A。的中点，连接CE,则CE的最大值是.

16.如图，在平行四边形A8CO中，过点B作6E〃y轴，且OE=4CE,D

k

在线段A8上，AD:BD=2:3,连接BEDE、DC.反比例函数y=—的图象经过。、E两点，若

x

△DEC的面积为3,则上的值为

三.解答题（本大题共9小题，满分86分）

17.解方程：X2-8X+1=0

18.如图，在等边△4BC中，D为BC上一点,E为AC边上一点，且NADE=60°，BD=4,CE=3,

A

(1)求证：AABDsADCE

19.如图，在"IBC中，。是边BC上一点，AD=AB.

（1）请用尺规作图法作“RC绕点A旋转后得到的VAD£，使旋转后的AB边

与AD边重合.（保留作图痕迹，不写作法）

(2)连接CE,若NB=60°,求证：CE=AE.

20.如图，。。的直径AD长为6,AB是弦，CD〃AB,/A=30。，且CD=百.

（1）求/C的度数；

（2）求证：BC是OO的切线.

端午节前夕,某超市从厂家分两次购进A、8两种品牌的粽子，两次进

货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，总费用为7000元;

第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元.

（1）求A、8两种品牌粽子每袋的进价各是多少元：

（2）当8品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对5品牌粽子进行降

价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当8品牌粽子每袋的销

售价降低多少元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

22.某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时

间3按完成时间长短划分为A、B、C、。（A：f>1.5小时，8：1小时小时，C：0.5小时

<Y1小时，D：Y0.5小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息

解答问题.

名学生，并

补全条形统计图;

(2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人?

(3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生.现从中随机抽取两名学生进行“你是

怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率.

23.如图，在平面直角坐标系中，ZAOB=90°,AB〃x轴，OB=2,双曲线y=—经过点B,将AAOB绕点

x

B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.

(1)求点B的坐标和双曲线的解析式;

(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由.

24.在平行四边形ABCQ中，M,N分别是边A。，A8的点，AB=kAN,AD=

(1)如图1,若连接MMBD,求证：MN//BD；

(2)如图2,把绕点A顺时针旋转角度a(0°<a<90°)得至QAFE,M,N的对应点分别为点

E,F,连接BE,若NABF=NEBC,ZAEB=2ZDAE.

①直接写出上的取值范围；

②当tan/EBC=1时，求k的值.

3

25.已知抛物线丁=一%2+法+。经过4(7%ri),/?),C(l,4)三点，顶点为P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果AQ钻是以AB为底边的等腰直角三角形，求的面积；

(3)若直线(：、=人无一2人与抛物线交于。，E两点，直线£,=与抛物线交尸、G两点,

OE的中点为M,FG的中点为N,勺e=-2,求点P到直线MN距离的最大值.

2022-2023学年第一学期数学学科

九年级12月阶段性考试卷

（完卷时间：120分钟，总分：150分）

注意事项：请把答案填在答题卡上.

一.选择题（每小题4分，共40分，请把正确选项的代号在答题卡的相应位置涂黑）

1.下列品牌图案中，是中心对称图形的是（）

AB.0|jT|

D

【分析】根据中心对称图形的定义即可进行解答.

【详解】解：A、B、C都不是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋

转18（）。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

2.下列事件是必然事件是（）

A.下个月1号会下雨B.13个人中至少有2人生日在同一个月

C.平分弦的直径垂直于弦D.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃

B

【分析】根据必然事件的定义判断即可.

【详解】A：下个月1号会下雨，是随机事件，不符合题意；

B：13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，符合题意；

C：平分弦的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意；

D：从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃，是随机事件，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生

的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件：随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件，解题的关键是理解其定义.3.将抛物线＞=。-1）2-4平移得到抛物线卜=》2,这

个平移过程是（）

A.向左平移1个单位，再向上平移4个单位

B.向左平移1个单位，再向下平移4个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移4个单位

D.向右平移1个单位，再向上平移4个单位

A

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题.

【详解】解：将抛物线y=(x-1)2-4向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，

得至U抛物线y=(x-l+l)2-4+4,即y

故选：A.

【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规

律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

4.若关于x的一元二次方程/一2%—左=0没有实数根，则上的值可以是()

A.-2B.-1C.0D.1

A

【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案.

【详解】解：•••一元二次方程V―2%-左=0没有实数根，

・•・A=(-2『-4xlx(-^)=4+4jt<0,

故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当A<0时，方程无实数根”是解题的关键.

5.用一个半径为3,面积为3万的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为()

A.兀B.2"C.2D.1

D

【分析】根据圆锥侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长和扇形面积公式得到3*2兀丁3=3兀，然后解方程即可.

【详解】解：根据题意得兀丁3=3兀，

解得r=l.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

6.一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题

意可列方程为()

A.x+x(x+l)=121B.l+x+x(x+l)=121

c.x+x2=mD.1+X+X2=121

B

【分析】患流感的人把流感传染给别人，自己仍然患病,包括在总数中.设每轮传染中平均一个人传染了x

个人，则第一轮传染了X个人，第二轮作为传染源的是(X+1)人，则传染了x(x+l)人，根据两轮传染后共

有121人患了流感，即可得出关于X的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是

(x+1)人，则传染了x(x+l)人，

根据题意，可得：l+x+x(x+l)=121.

故选：B

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

7.如图，沿A3方向架桥AD,以桥两端氏。出发，修公路BC和。C，测得NA5C=150。，

3c=1800m,/BCD=105°,则公路OC的长为()

B.900>/2mC.90073mD.1800mB

【分析】过点C作CELBO,垂足为E,根据三角形内角和定理可求出NCBZ),ZBCE的度数，进而求出

/0CE的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案.

【详解】过点C作CEL8O,垂足为E,

・••ZABC=150°,

ZCBD=180°-150°=30°,

ZBC£=90°-30°=60°,

•••/BCD=105°,

ZDCE=105°—60°=45°,

在RjBCE中，ZCBE=30°,3c=1800m,

CE=-BC=900m,

2

在RJCDE中，ZDCE=45°,

CD=72CE=900V2m,

【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理,熟练掌握直角

三角形边角关系是解题的关键.

正比例函数y=与反比例函数y=4的图像交于A(1,M、B两点，当时，x的取值范

8.如图,

XX

-1<X<0^X>1B.%〈一1或0cx<1

C工<一1或D.-IWXVO或0<x〈lA

【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点8的坐标，然后根据女声4区的解集即为反比例函数在一次

X

函数上方的部分可得答案.

【详解】解析：••,正比例函数y=%x与反比例函数y=勺的图像交于A(l,m)、B两点,

X

1.6(—1,-加),

由图像可知，当时，x的取值范围是一14x<0或,

x

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点8的坐标的坐标是

解本题的关键.

9.如图，在RfAABC中，ZABC=90°,NA=32°,点8、C在。。上，边AB、AC分别交。。于。、E

C.18°D.21°

A

【分析】根据点8是CO的中点，可得/8Z）C=258=45°，再根据圆周角定理可得NBEC=45°,然后

根据三角形外角性质，即可求解.

【详解】：点3是C。的中点，

，BD=BC，

NBDC=NBCD,

；/ABC=90°,AZBDC=ZBCD=45°,

NBEC=NBDC,

：.ZBEC=45°,

♦；NBEC=NA+NABE,N4=32°,

；.NABE=NBEC-NA=13°.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的

关键.

10.已知抛物线丁=以2+法+。（/b、c,是常数，。。0）经过点A（l，0）和点8（0,—3）,若该抛物线的

顶点在第三象限，记相=2。一/?+。，贝ij加的取值范围是（）

A.0<m<3B.-6<m<3C.-3<m<6D.-3<m<0

B

b

【分析】由顶点在第三象限，经过点A（l,0）和点5（（）,—3）,可得出：。>0,即可得出0vav3,

又由于加=2a—b+c=2a—（3—a）+（—3）=3a—6,求出3。—6的范围即可.

【详解】V抛物线y=/+fee+C过点（1,0）和点（0,-3）,

c——3,。+b+c=0,

即力=3—。，

・・•顶点在第三象限，经过点A（l,0）和点8（°，-3），

**•4Z>0>----v0,

2a

：.b>09

，。=3—Q>0,

.二av3,

：.0<a<3

*/m=2cl—b+c=2cl—（3—a）+（—3）=3a—6,

:0vav3,

0<3tz<9

-6<3a-6v3,/.-6<m<3.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数>="2+版+4。/0）的图象为抛物线，

当。〉0,抛物线开口向上；对称轴为直线》=-二；抛物线与y轴的交点坐标为（0,C）.

二.填空题（每小题4分，共24分）

11.抛物线y=a?+bx+c交x轴于（-3,0）,（1,0）,则方程℃2+―+。=（）的根为.

西=-3,々=1【分析】根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的解即可求解.

【详解】解：：抛物线产加+法+。交x轴于（―3,0）,。,0）,

2

ax+bx+c=0的根为玉=-3,x2=\,

故答案为：玉=-3,々=1.

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数+法+c（a,h,C是

常数，a。0）与x轴的交点坐标问题，转化为解关于x的一元二次方程，即可求解.

12.如图，线段两个端点的坐标分别为4（6,6）,B（9,3）以原点。为位似中心，在第一象限内将

线段48缩小为原来的g后得到线段CD,则端点。的坐标为.

(3,1)【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而

【详解】解：.••线段AB端点B的坐标分别为B(9,3),以原点。为位似中心，在第一象限内将线段AB缩

小为原来的，后得到线段CQ,...端点。的横坐标和纵坐标都变为8点的!，

33

端点。的坐标为：(3,1).

故答案是：(3,1).

【点睛】考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键.

13.已知点A(—3,y),8(—5,%)，C(2,%)在二次函数y=—f—2x+〃的图象上，则%、为、

力的大小关系为

%<为<X【分析】根据函数的表达式，求出该函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性进行分析,

即可进行解答.

【详解】解：根据题意得：

该函数的对称轴为直线尤=-—二一=-1,

-1x2

.•.点A到对称轴的距离为：一1—(—3)=2,

点8到对称轴的距离为：-1-(-5)=4,

点C到对称轴的距离为：2—(—1)=3,

■:a——1<0».

...该函数开口向下，

,Z2<3<4,

故答案为：y2<y3<yY.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴，增减性和对

称性的相关内容.

14.如图所示，两个同心圆的半径之比为3:6,A8是大圆的直径，大圆的弦8C与小圆相切，若

AC=12,则=

12百【分析】设弦与小圆相切于点。，连接。。，OD±BC,A8为大圆的直径，AC1BC,故

0。为乙钻。的中位线；AC=12,0。即可知，两个同心圆的半径之比为3:6,可求得大圆半径，再由勾

股定理可求得的长.

【详解】解：设点。是BC与小圆相切的切点，

,/A3为大圆的直径，

0D1BC,

•••OD±BC,过圆心，

O为BC的中点，

,/。为A8的中点，

OD//AC,

为A4BC的中位线，

AC=12,

OD=6,

•..两个同心圆的半径之比为3:6,

大圆的半径为12，A3=24,

•*-BC=y]AB2-AC2=7242-122=12丘

故答案为：126.

【点睛】本题主要考查了切线的性质及垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握切线的性质.

15.如图，在RSABC中，NAC5=9(r,N8AC=30°，8c=2,线段BC绕点B旋转到B。，连A。，E

为A。的中点，连接CE,则CE的最大值是一.

【分析】通过已知求得。在以B为圆心，8。长为半径的圆上运动，为A。的中点，

在以BA中点为圆心，!劭长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点

2

与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：：BC=2,线段BC绕点8旋转到

D

:.BD=2,

：.-BD=\.

2

由题意可知，。在以8为圆心，8。长为半径的圆上运动，

YE为AD的中点，

.•.E在以BA中点为圆心，-劭长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上！M长.

22

VZACB=903>ZBAC=30‘，BC=2,

.•.C到BA中点的距离即,AB=2,

2

又

2

•••CE的最大值即，A8+LBO=2+1=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

16.如图，在平行四边形4BCO中，过点8作轴，且O£=4C£,。在线段AB上，

k

AD:BD=2:3,连接BEDE、DC.反比例函数y=—的图象经过。、E两点，若的面积为

x

3,则/的值为.

y【分析】过点。作。尸〃x轴，交BE于点F,交丫轴于点G,延长BE交

x轴于点H,连接。。，根据ADEC的面积为3,求出AODE的面积，设。点坐标为则E点坐标

为（4a,二］,根据面积列方程即可求出z的值.

I

：-SVDEO=4SVDEC=12,CE^OC,

,/BE//y轴,

•••四边形3MOE是平行四边形,

BM=OE,

AM=CE=-OC=-AB,

55

,/AD:BD=2:3,

23

AAD^-AB,

55

DMAD-AM^-AB--AB=-AB,

555

DM=CE,

由平行四边形得，/OEH=NEBM=/DMG,NOHE=/DGM=90,，

•••NOHE^NDGM，

DGDMCE\

设。点坐标为(则E点坐标为(4a,k

4a

c4k1k1k1、/kk、

Svnnr=4Qx----cix----x4Qx------(4Q—u)x(------),

V°DEa2a24a2a4a

11932

=4k--k一一k--k=\2,解得：k=—,

2285

32

故答案为：y.

【点睛】本题考查了反比例函数左的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的

性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程.

三.解答题(本大题共9小题，满分86分)

17.解方程：龙2一8工+1=0

x,=4+5/15,^=4-V15【分析】根据配方法解一元二次方程即可.

【详解】解：£—8X+1=0

X2-8x=-lx2—8x+16=—1+16(x-4)'=15x-4=±Vl5解得：x,=4+V15,=4->/15.

【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解决此题的关键.

18.如图，在等边△ABC中，。为BC上一点，E为月C边上一点，且NAOE=60°,BD=4,CE=3,

A

//\(1)求证：△ABDS^DCE

BC

D

(2)求A8的边长

(1)证明见解析

(2)16

【分析】(1)由NAZ)E=60°,结合等边三角形的性质证明ND48=/E£>C,可证得△A8OsZ^)cE：

(2)利用(1)中相似三角形的对应边成比例列出比例式，求解OC,即可表示等边三角形的边长.【小问

1详解】

证明：；△ABC是等边三角形，

ZB=ZC=60°.

：.ZBAD+ZADB=nQ°,

'：ZADE^GO0,

：.ZADB+ZEDC=[2Q°,

：.NDAB=NEDC,

又•.•NB=NC=60°,

^ABDs^DCE；

【小问2详解】

解：•：/XABDs^DCE,

.ABBD

"~CD^~CE

,；BD=4,CE=3,AB=BC=BD+CD,

.4+CD_4

••=)

CD3

解得C£>=12.

AB=12+4=16.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△A3。SA£)CE是解

答此题的关键.

19.如图，在"IBC中，。是边BC上一点，AD=AB.

(1)请用尺规作图法作A4BC绕点A旋转后得到的VADE，使旋转后的AB边

与4。边重合.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接CE,若NB=60°,求证：CE=AE.

（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）根据旋转的性质即可作aABC绕点A旋转后得到的△AOE,使旋转后的AB边与AD边重

合.（2）由题意，先证明丝VADE，然后"CE是等边三角形，即可得到结论成立.

【小问1详解】

解：如图所示，VADE即为所求.

【小问2详解】

证明：连CE,

VAB^AD，/3=60°,

/.△A3。是等边三角形,

ZBAT>=60.

•/"RC旋转至VAD£，

屈BC^YADE,

：.AC=AE,NDAE=ZBAC,

：.NC4E=N8M>=60。，

AACE是等边三角形，

CE=AE.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟

练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题.

20.如图，。。的直径AD长为6,AB是弦，CD〃AB,ZA=30°,且CD=«.

（1）求/C的度数;

D

(2)求证：BC是。O的切线.

(1)60。；(2)见解析

【分析】(1)连接BD,由AD为圆的直径，得到NABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半

求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出NCDB为直角，在直角三角形BCD中，利

用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出NC的度数：

(2)连接0B,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互

补，求出NABC度数，由NABC-NAB0度数确定出N0BC度数为90,即可得证；

【详解】(1)如图，连接BD,

AD为圆0的直径,

.*.BD=-AD=3,

2

：CD〃AB,NABD=90。，

NCDB=NABD=90。，

^BD

在RtzkCDB中，tanC=——

CD

：.ZC=60°；

(2)连接OB,

VZA=30°,OA=OB,

•,.ZOBA=ZA=30°,

：CD〃AB,ZC=60°,

NABC=180°-NC=120°,

AZOBC=ZABC-ZABO=120°-30°=90°,AOB1BC,

；.BC为圆0的切线.

【点睛】此题考查了切线的判定，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

21.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、8两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不

变.第一次购进A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋

和B品牌粽子120袋，总费用为8100兀.

(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

(2)当8品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降

价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当8品牌粽子每袋的销

售价降低多少元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，8种品牌粽子每袋的进价是30元

(2)当8品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元

【分析】(1)根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；

(2)设8品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为卬元，列出卬关于。的函数关系式，求出函数的最值即

可.

【小问1详解】

解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是V元，

100^+150y=7000

根据题意得，<

180x+120y=8100

x=25

解得《

y=30

故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；

【小问2详解】

解：设B品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为卬元，

根据题意得，

卬=(54—a-30)(20+5a)--5a~+100a+480=-5(a-10)一+980»

•••一5<0,

.•.当B品牌粽子每袋销售价降低10元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元.

【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方

程组是解题的关键.

22.某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时

间按完成时间长短划分为A、B、C、D(A：f>1.5小时，8：1小时<Y1.5小时，C：0.5小时

小时，D：/W0.5小时)四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息

名学生，并

补全条形统计图;

（2）若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？

（3）完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生.现从中随机抽取两名学生进行“你是

怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率.

(1)200,条形统计图见解析

(2)19200人

2

(3)

3

【分析】（1）根据时段B人数以及百分比，即可求得调查的学生人数，求得时段C的人数，补全统计图

即可;

（2）根据样本中“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比以及全县初中学生人数求解即可;

（3）利用树状图求解概率即可.

【小问1详解】

解：由题意可得，时段8的人数为72,所占百分比为36%,

总人数为：72+36%=2（X）（人）,

时段C的人数为200—8—72—40=80（人）,

则条形统计图如图所示:

解：“完成作业不超过

200

全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为2（XXX）x96%=19200（人）,

答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有19200人;

【小问3详解】

解：用树状图表示选取的情况，如图：

开始

F一选取的总可能数为12,一男一女的可能数为

第一次男1男2女1女2

小小小/K

第二次男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

8,

则刚好选到1名男生与1名女生的概率为

123

【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握列表法或树状图求概率是解

题的关键.

k

23.如图，在平面直角坐标系中，ZAOB=90°,AB〃x轴，OB=2,双曲线广一经过点B,将△AOB绕点

x

B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.

(1)求点B的坐标和双曲线的解析式;

(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由.(1)B(1,6)，双曲线解析式为(2)点C在双曲

x

线上；理由见解析.

【详解】解：(1),・'AB〃x轴，

/.ZABO=ZBOD,

VZABO=ZCBD,

.\ZBOD=ZOBD,

VOB=BD,

Z.ZBOD=ZBDO,

•二△BOD是等边三角形，

.\ZBOD=60°,

AB(1,乖,)；

k

・・•双曲线y二一经过点B,・,・k=lx6=

x

•••双曲线的解析式为y=3

X

(2)VZABO=60°,ZAOB=90°,

・•・ZA=30°,

.*.AB=20B,

VAB=BC,

.,.BC=2OB,

AOC=OB,

C(-1,-6),V-lx(-^/3)

・••点C在双曲线上.

【点睛】本题考查①反比例函数图象上点的坐标特征；②坐标与图形变化-旋转.

24.在平行四边形A5C。中，M,N分别是边AZ),A3的点，AB=kAN,AD=

(1)如图1,若连接MN,BD,求证：MN〃BD；

(2)如图2,把△AMN绕点A顺时针旋转角度a(0°<a<90°)得到M,N的对应点分别为点

E,F,连接8E,若NABF=NEBC,ZAEB=2ZDAE.

①直接写出《的取值范围；

②当tan/EBC=1时，求k的值.

3

(1)见解析⑵①14/<2；②之叵

5

【分析】(1)根据题意，证明，可得Nl=/2,根据平行线的判定即可得证；

(2)①证明可得NAFB=NAED，结合已知条件可得NAED+NAEB=18()°,可

得B,E,。三点共线，根据题意，当A6=AN=A/，此时％=1,由N3=N4=a,可得AE=EZ),根据

旋转的性质可得a>0°,即可求得左范围；

②根据题意，tanZ3=tanZ2=-,过4作AG_L8D于G.用"GO中，tanZ3=—=-,设

3GD3

AG=a,GD=3a,则AO=Ji6a，中勾股定理列出方程，解方程求得x,根据

=即可求解.

【小问1详解】

证明：如图，

AMD

//VAB=kAN,AD=kAM

BC

图1

AB,AD,ABAD

♦・—k，—k,f♦・—

ANAMANAM

又•••/A=NA，

/\AMN^ZXABD

•••N1=N2，

：.MN//BD.

【小问2详解】

①连接DE.

1/•••AAMN绕点A顺时针转角a得到

RC

/\AFE.

四△AEF,AF=AN,

AE=AM，ZFAB=ZEAD=a,

ABADABAD

由Q)——=——，则nl——=——

ANAMAFAE

即空="

ADAE

/\ABFs/\ADE，

，ZAFB=ZAED.

西边形ABC。是平行四边形，

，AD//BC

•：ABAD+ZABC=\^°,N2=N3

/.ZJ^4D+N4+ZAB£+N2=180。

，ZBAE+Z5+ZABE+Z1=180°

/.ZAFB+ZAEB=18Q0,

/.ZAED+ZAEB=18Q°

；.B,E,。三点共线.当N点与8点重合时，AB=ANAF,此时）=1,

­,•N3=N4=aAE=ED当a=0°时，AE--AD

2

此时攵=2

a>0°：.Ic<2\<k<2,

②•••ZAEB=N4+N3,ZAEB=2/4,

N4=N3,

：.AE=ED

•.22=/3,

/.tanZ3=tanZ2=-

3

过4作4G_LBO于G.

AG1

*'•Rt/\AGD中，tan/3==—