高中数学人教B版（2019）选择性必修第二册第四章《概率与统计》知识点清单

新教材人教B版2019版数学选择性必修第二册

第四章知识点清单

目录

第四章概率与统计

4.1条件概率与事件的独立性

4.1.1条件概率

4.1.2乘法公式与全概率公式

4.1.3独立性与条件概率的关系.

4.2随机变量

4.2.1随机变量及其与事件的联系

4.2.2离散型随机变量的分布列

4.2.3二项分布与超几何分布

4.2.4随机变量的数字特征

4.2.5正态分布

4.3统计模型

4.3.1-元线性回归模型

4.3.2独立性检验

4.4数学探究活动：了解高考选考科目的确定是否与性别有关

第四章概率与统计

4.1条件概率与事件的独立性

4.1.1条件概率

一、条件概率

1.条件概率的概念：设A,B为两个事件，一般地，当事件B发生的概率大于。时

(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作

P(A|B),而且P(A|B)=端，.

注意：P(A|B)与P(B|A)的意义不一样，一般情况下，它们也不相等.

二、条件概率的性质

假设A,B,C都是事件，且P(A)>0,则条件概率满足如下性质：

(1)P(B|A)G[O,1]；

(2)P(A|A)=1；

(3)如果B与C互斥，则P((BUC)|A)=P(B|A)+P(C|A).

三、条件概率的求解

1.利用定义，分别求P(A)和P(AAB),得P(B|A)二噜黑，这是通用的求条件概率的

方法.

2.借助古典概型的概率公式，先求事件A包含的样本点个数n(A),再求在事件A发

生的条件下事件B包含的样本点个数，即n(AB),得P(B|A)=喘.

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4.1.2乘法公式与全概率公式

一、乘法公式

1.由条件概率的计算公式P(B|A尸霭可知，P(BA)=P(A)P(B|A).一般地，这个结论

称为乘法公式.

2.乘法公式的推广

假设A表示事件，匚1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,则

P(A1A2A3)=P(A1)-P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3AA2)表示已知Al与A2都发生时A3发生

的概率，而P(AiA2A3)表示Ai,A2,A3同时发生的概率.

二、全概率公式

L一般地，如果样本空间为Q,而A,B为事件，则P(B):P(A)P(B|A)+P(1)P(B|彳).这

称为全概率公式.

2,全概率公式的推广

若样本空间Q中的事件A］，A2,4满足：

⑴任意两个事件均互斥，即AA尸i,j=l,2,…，n,iXj；

(2)Ai+A2T—4An二Q；

(3)P(A)〉0,i=l,2,n.

则对Q中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+-+BAn,

且P(B)二毙iP(BA尸毙iP(ADP(B|Ai).

三、贝叶斯公式*

P(A)P(B|A)_P(A)P(B|A)

1.一般地,当1〉P(A)〉O且P(B)〉O时,有P(A|B)=

P(B)-P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

这称为贝叶斯公式.

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2.贝叶斯公式的推广

若样本空间Q中的事件A］，A2,A,、满足：

⑴任意两个事件均互斥，即AAi,i,j=l,2,…，n,iXj；

(2)Ai+A2T—卜An=Q,

(3)l>P(Ai)>0,i=l,2,…，n.

则对Q中的任意概率非零的事件B,有P(AJB)二等给=JR黑窑A)

四、乘法公式及其应用

1.乘法公式实质上是条件概率公式的变形，当P(A)>0时，已知P(A),P(B|A),P(AB)

中的两个就可以求得第三个.

2.在利用公式P(AiA2-An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|AiA2)--P(An|A1A2-An-i)(P(A1)>0,P(AA…

AQ>0)计算概率时，注意根据题意正确表示出相关事件并求出其中涉及的概率.

五、全概率公式的应用

全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率，解题步骤如下:

⑴求划分后的每个小事件的概率，即P(A,),i=1,2,n；

⑵求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|A)；

⑶利用全概率公式计算P(B),即P(B)=通P(A,)P(B|A,).

六、贝叶斯公式的应用*

贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和

未知条件如下：

(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(A)已知；

⑵事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|A)已

知；

⑶P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；

⑷求解的目标是用A的某种情况A的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(A,|B).

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4.1.3独立性与条件概率的关系.

一、事件的相互独立性

当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).

二、相互独立事件的概率的求解

求相互独立事件同时发生的概率的方法

⑴利用相互独立事件的定义直接求解.

⑵正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

4.2随机变量

4.2.1随机变量及其与事件的联系

4.2.2离散型随机变量的分布列

一、随机变量

1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间为0,而且对于Q中的每一个样本点，

变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.随机变量所有可能的

取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围.

2.表示：随机变量一般用大写英文字母x,Y,z,…或小写希腊字母［n，4…表示

3.分类

⑴离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值是可以一一列举出来的，则

称X为离散型随机变量.

⑵连续型随机变量：如果随机变量X的取值范围包含一个区间，则称X为连续型随

机变量.

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二、随机变量之间的关系

一般地，如果X是一个随机变量，a,b都是实数且aWO,则丫=aX+b也是一个

随机变量.由于X=t的充要条件是丫=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b).

三、离散型随机变量的分布列

1.⑴定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{Xl,X2,X.时，如果对任

意k£{l,2,n),概率P(X二Xk尸Pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离

散型随机变量X的概率分布可以用表格表示为

这个表格称为X的概率分布或分布列.

⑵离散型随机变量X的概率分布还可以用图1或图2来直观表示，其中，图1中，

Xk上的矩形宽为1、高为po因此每个矩形的面积也恰为p二图2中，Xk上的线段长

为Pk.P，

Pk

Pn

/-I

x\芍…X匹既...

X,...xnx

2.性质

(l)Pk、O,k=l,2,n；

(2)Sk=iPk=pi+p2+-+pn=l.

四、两点分布

1.两点分布的定义

一般地，如果离散型随机变量X的分布列为

X10

PP1-P

其中0<p<l,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(或0-1分布).

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2.伯努利试验

一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.因此两点分

布也常称为伯努利分布，两点分布中的P也常被称为成功概率.

五、离散型随机变量的分布列

1.求离散型随机变量X的分布列的步骤

⑴理解随机变量X的意义，写出随机变量X可能取的全部值；

⑵求随机变量X取每个值的概率；

⑶写出随机变量X的分布列.

2.两个相关的随机变量的分布列

一般地，若X是随机变量，则Y=f(X)也是随机变量.已知随机变量X的分布列，

求随机变量Y=f(X)的分布列，其关键是弄清X取每个值时相对应的Y的值，若f(X)的

取值出现重复，则需要把它们的相应概率相加，所求即为Y的取值概率.

4.2.3二项分布与超几何分布

一、二项分布

1.n次独立重复试验

在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此

时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为P，记q=l-p,且n次独

立重

复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是｛0,1,k,n),而且

P(X=k)=Cjpkqn-k,k=0,1,n,因此X的分布列如下表所示.

X01kn

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p喘p°qn禺pd"C轲qn”CJJP'V

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由于表中的第二行恰好是二项展开式(q+p)三C：p°q"+禺pd、…+C&pkqn"+…+

喘p"q°中对应项的值，因此称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).

注意：两点分布是一种特殊的二项分布，即n=l时的二项分布.

二、超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N),从所有

物品中随机取出n件(nWN),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变

量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n

不大于乙类物品件数(即门忘1\1-171)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-

(N-M)),而且P(X=k)=CM泮M,k=t,t+1,…，s,则称X服从参数为N,n,M的

超几何分布，记作X~H(N,n,M).

特别地，如果X〜H(N,n,M)且n+M-NWO,则X能取所有不大于s的自然数，此

时X的分布列如下表所示.

X01kS

「0「nplpn—1「kpn-k「Sr-n-s

PCMCN-M

rnrnrn4

CNCN

三、二项分布

1.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤

⑴根据题意设出随机变量；

⑵分析随机变量是否服从二项分布；

⑶若服从二项分布，则求出参数n和p的值；

⑷根据需要列出相关式子并解决问题.

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四、超几何分布

1.利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤

⑴辨模型：结合实际情境分析是不是不放回抽样，且所求概率分布问题是由差异明

显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”等，或可转化为具有明显差异的

两部分，只有具有该特征的概率模型才可能为超几何分布模型.

⑵算概率：可以直接借助公式P(X二k)二破沪求解，也可以利用排列组合及概率

知识求解，借助公式求解时应明确参数M,N,n,k的含义.

⑶写分布列：把求得的概率通过表格表示出来.

4.2.4随机变量的数字特征

一、离散型随机变量的均值

1.定义：一般地，如果离散型随机变量x的分布列如表所示.

XX1x2XkXn

PPlP2PkPn

则称E(X)=XR+X2P2+-+XnPn=IXiXR为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称

为

期望).离散型随机变量的均值刻画了随机变量的平均取值.

2.几个常见均值的计算公式

⑴若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)=p；

⑵若随机变量X服从参数为np的二项分布，即X〜B(n,p),则E(X)二np；

⑶若随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布，即X~H(N,n,M),则E(X)=詈；

⑷若X与丫都是随机变量，且丫=aX+b(a卢0),则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

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二、离散型随机变量的方差

1,定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.

XX1X2XkXn

PPlP2PkPn

则称D(X)=[XLE(X)]2p]+[x2-E(X)]2P2+-+[Xn-E(X)]2Pk£匕[Xi-E(X)]2p为离散型随

机变量x的方差，而为离散型随机变量x的标准差.

离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的离散程度(或波动大小).

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2.D(X)二%1[xt-E(X)]pFSilix?p,-[E(X)]=E(X)-[E(X)].简记为“方差等于平方的

均值减去均值的平方”.

3.几个常见方差的计算公式

⑴若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)=p(l-p).

⑵若随机变量X服从参数为n,p的二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(l-p).

⑶若X与丫都是离散型随机变量，且丫=aX+b(a尹0),则D(Y)=D(aX+b)=a?D(X).

三、求离散型随机变量X的数学期望、方差(标准差)

1.求离散型随机变量X的数学期望、方差(标准差)的一般步骤

(1)理解X的意义，并写出X的全部取值.

⑵求出X取每个值的概率.

(3)写出X的分布列(有时也可省略).

⑷利用定义求E(X),D(X)(VD(X)).

在随机变量X?的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)F不失为

一种比较实用的方法.

2.求离散型随机变量的均值与方差(标准差)时，一般先分析随机变量的分布特征，

看其是不是常见的特殊分布，若是，直接用公式求解；若不是，按求均值与方差(标准差)的一般步

骤进行求解.

3.已知随机变量£的均值、方差，求W的一次函数n=aW+b(afO)的均值、方差，可直接用W的均

值、方差的性质求解.

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4.2,5正态分布

一、正态曲线

1.正态曲线的概念

一般地，称Cp(x)=^4^e-(202(其中产E(x),即X的均值；o=JD(X),即X的

标准差)对应的图象为正态曲线(或钟形曲线)，(p(x)也常常记为(pM.o(x).

2.正态曲线的性质

⑴正态曲线关于x=n对称(即以决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低

的特点；

⑵正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

(3)。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所

以

曲线越"胖1•。越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

二、正态分布

1.正态分布的概念

一般地，如果随机变量X落在区间［a,b］内的概率，总是等于仇,0(x)对应的正态曲线

与x轴在区间［a,b］内围成的面积，则称X服从参数为口与。的正态分布，记作

X〜Nga2),此时仇,°(x)称为X的概率密度函数.

2.若X〜Ngo2),贝IJ

P(|j-o^X^|j+a)~68.3%,

P(H-2QWXW1+2CJ)=95.4%,

P(H-3oWXW|j+3o户99.7%.

3.“3o原则”

由P(n-3oWXW|j+3o尸99.7%知，随机变量X约有99.7%的可能会落在距均值3个

标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可

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看成小概率事件），这一结论通常称为正态分布的“3。原则”

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三、标准正态分布

1.以=0且0=1的正态分布称为标准正态分布，记作X〜N(0,1).

2.任意正态分布丫〜N(|j,4)都可以通过X二丫转化为标准正态分布X〜N(0,1).

3.如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记①⑻二P(X<a),且有如下性质：

(1)0(-a)—1-0(a),

(2)P(|X|<a)=2ch(a)-l；

(3)P(|X|>a)=2[l-0)(a)].

四、正态分布的概率问题

在正态分布下求概率的关键在于恰当地利用正态曲线的对称性，把待求概率的

区间转化为已知概率的区间.当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区

间：[上0,|d+o],[|J-2o,|j+2o],[|J-3a,n+3o],利用随机变量X在这三个特殊区

间取值的概率进行计算.

一般地，若随机变量X服从正态分布N(u，o2),则

(l)P(X^a)=l-P(X<a)；

⑵对任意的实数a,有P(XWn-a);P(X2n+a)；

(3)P(aWXWb)=P(XWb)-P(X<a).

五、正态分布的实际应用

利用服从正态分布N(露V)的随机变量x在三个特殊区间上取值的概率，可以

解决两类实际问题：

一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的

概率，再乘样本容量.

另一类是利用“3。原则”作决策.决策步骤如下：①确定一次试验中取值a是否落

入范围63o,口+3o]内；②作出判断，若a£[|a-3o,n+3o],则接受统计假设，

若a用口-3o,pi+3o],则拒绝统计假设.

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4.3统计模型

4.3.1一元线性回归模型

一、相关关系

1.相关关系：两个变量之间有关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的

关系带有一定的随机性，这种关系称为相关关系.

2.散点图：将成对样本数据用平面直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统

计图称为散点图.

3.线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之

间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关.如果一个变量增大，

另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变

量大体上减少，则称这两个变量负相关.

二、回归直线方程

1.回归直线方程

一般地，已知变量x与y的n对成对数据(x,y,),i=l,2,3,…，n.任意给定一个

一次函数y=bx+a,对每一个已知的x,由直线方程可以得到一个估计值，^bx+a,

AAAAAAA

如果一次函数y=bx+a能使残差平方和即EL】(yi-yj取得最小值，则y=bx+a称为y

关于x的回归直线方程，对应的直线称为回归直线.因为是使得平方和最小，所以其

中涉及的方法称为最小二乘法.

在回归直线方程〉£+3中，/前¥建(安空.”「吵,；.y.bx,其中，赢

乙i=i2ui=ixj—nx

为回归系数，实际上也就是回归直线方程的斜率.

2.回归直线方程的性质

⑴回归直线一定过点区y).

AA

(2)y与x正相关的充要条件是b>0,v与x负相关的充要条件是b<0.

(3)证勺实际意义：当x增大一个单位时，•增大1个单位.

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三、相关系数

1.对于变量X与y的n对成对数据(X,y,),i=l,2,3,n,一般用

「I'匕(%-初力一刃'随修力一网来衡量丫与*的线性相关性强

J次](Xi-X)2Zn=i(yi-y)2J(%]X2-nx2)(2n=iy2_ny2)

弱，这里的r称为线性相关系数，简称为相关系数.

2.相关系数的性质

(l)|r|^l,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.

(2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没

有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越

强，也就是得出的回归直线方程越有价值.

(3)|r|-l的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.

四、非线性回归

如果具有相关关系的两个变量x,y不是线性相关关系，那么称为非线性相关关

系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程).

一般地，非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测，而回归方

程有时可以通过变量替换后，借助求回归直线的过程确定.

五、两个变量相关性的判断

1.判断两个变量相关性的方法

⑴利用散点图判断：通过散点图观察点的分布是否存在一定的规律，若点大致在一

条直线附近摆动，则对应变量线性相关，否则不具有线性相关关系.当线性相关时，

若点自左向右呈上升趋势，则变量间具有正相关关系；若点自左向右呈下降趋势，

则变量间具有负相关关系.

⑵利用样本相关系数判断：样本相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程

度，是定量分析法.川刻画了样本点集中于某条直线的程度.川越接近L散点图中的

样本点分布越接近一条直线，两个变量的线性相关程度越强.

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六、回归直线方程的求解与应用

1.求回归直线方程中系数的方法

⑴公式法：利用公式，求出b,a.

（2）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心（见。求系数.

2.回归直线方程的应用

⑴利用回归直线方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值.

⑵利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数

七、非线性回归

1.建立非线性回归模型的基本步骤

⑴确定研究对象，明确涉及的变量；

⑵画出确定好的变量间的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；

⑶由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数模

型、指数函数模型、对数函数模型等）；

⑷通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

⑸按照公式计算回归直线方程中的参数，得到回归直线方程；

⑹消去新元，得到非线性回归方程.

2.常见的非线性回归方程的转换

曲线方程曲线（曲线的一部分）变换公式变换后的线性函数

y=axbF6>16=1c=lna,u=c+bv

丁「()</«:

0\ix0\iX

(a>0,6>0)(a>0,6<0)

y=aebxyc=lna,u=c+bx

aa

0X()X

(al>0,6>0)(a：>0,6<0)

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Jl

byc=lna,u=c+bv

y=aexa

a

0x()\X

a>0,6>0)(a>0,6<0)

y=a+blnxv=lnx