考研数学历年真题(1987-1997)年数学一

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

3sinx+x2cos—

(1)lim--------------.

2。(1+cosx)ln(l+x)

(2)设事级数的收敛半径为3,则基级数1)用的收敛区间为.

71=1〃=1

乃

(3)对数螺线°=e'在点3。)=⑧e)处切线的直角坐标方程为.

12-2

(4)设4=4t3,1?为三阶非零矩阵,且48=0,则/=.

_3-11

(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球,30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取

得黄球的概率是.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字

母填在题后的括号内)

⑴二元函数/(x,y)=1"，在点(0,0)处()

、0(x,y)=(0,0)

(A)连续，偏导数存在(B)连续,偏导数不存在

(C)不连续，偏导数存在(D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间［a,句上/(%)>0,f'(x)<0J"(x)>0.令

f1

S\=\f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=-[f(a)+f(b)](b-a1则()

(A)S,<S2<S3(B)S2<St<S3

(C)S3<S1<s2(D)S2<S3<S]

rx+2%..

⑶设F(x)=[e""sinm,则F(x)()

(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数

qx+仇y+q=0,

(4)设四，则三条直线+4>+=0,(其中片+彳。0,i=1，2,3)交于一点的充要条

aix+b^y+c^-0

件是：()

(A)%,。2,CL,线性相关6)0,€12，&3线性无关

(C)秩r(ct1,a2,。3)=秩,a?)(D)a1,ct2，a3线性相关,a”a2线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量X和y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是()

(A)8(B)16(C)28(D)44

三'(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

C2_Q

(1)计算I=0J(X2+丁)方,其中Q为平面曲线j-v=ZZ绕Z轴旋转一周所成的曲面与平面Z=8所围成的区域.

c[x=0

■»22-1

⑵计算曲线积分f(z-yMx+(x—z)6+(x—y)dz,其中c是曲线十)’=从z轴正向往z轴负向看c的方向

\x-y+z=2

是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在f=0时刻已掌握新技术

的人数为%,在任意时刻t已掌握新技术的人数为xQ)(将x(f)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和

未掌握新技术人数之积成正比，比例常数%>0,求x(r).

四、(本题共2小题，第(1)小题6分，第⑵小题7分，满分13分)

(1)设直线/:<.八在平面乃上，而平面乃与曲面z=Y+y2相切于点(1,_2,5),求。涉之值.

[x+ay-z—3=0

22

dzdz2v

(2)设函数/(〃)具有二阶连续导数，而z=/(e'siny)满足方程宏+歹=ez,求/(«).

五、(本题满分6分)

设/(%)连续,°(x)=1/(")力，且lim"»=A(A为常数)，求“(X)并讨论(p\x)在x=0处的连续性.

JOX->0Y

六、(本题满分8分)

设q=0,4用=:(%+，)("=1,2,)，证明

2a„

⑴lima”存在.⑵级数£(工一1)收敛.

x-x»〃=】an+\

七、（本题共2小题，第⑴小题5分，第⑵小题6分，满分11分）

rr

⑴设B是秩为2的5x4矩阵，%=[l,l,2,3],a2=[5,-l,-8,9]是齐次线性方程组Bx=0的

解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

-1]P2-12'

（2）已知自=1是矩阵A=5a3的一个特征向量.

-1-1b-2

1）试确定。/参数及特征向量1所对应的特征值.

2）问A能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分）

设A是〃阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.

（1）证明8可逆.

⑵求AB」

九'（本题满分7分）

2

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是

设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.

十'（本题满分5分）

设总体X的概率密度为

[的+1力.。<%<1

/⑴一to其它

其中e>-1是未知参数，,X2,,X”是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然

估计法求，的估计量.

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

⑴设lim(小3),=8,则a=.

XXx-a

(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为.

(3)微分方程/-2/+2y=e*的通解为,

(4)函数〃=ln(x+7/+z2)在点A(l,0,1)处沿点A指向点5(3,-2,2)方向的方向导数为.

102

⑸设A是4x3矩阵，且A的秩/•0)=2,而8=020，则r(AB)=.

-103

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)

(1)已知"硬竺乃以为某函数的全微分,a则等于()

(x+y)

(A)-l(B)o(C)l(D)2

f"(x)

(2)设f\x)具有二阶连续导数，且r(0)=0,limT=i,则)

(A)/(0)是/(x)的极大值(B)/(O)是/(x)的极小值

(C)(0,/(0))是曲线y=/(x)的拐点

(D)/(0)不是/(x)的极值,(0,7(0))也不是曲线y=/(x)的拐点

),且收敛，常数2e(0,-),则级数£(-1)"(〃tan-)a

(3)设4>0(〃=1,2,2n

“=i2n=\〃

(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与；I有关

(4)设有/(x)连续的导数，/(0)=0,r(0)声O,F(x)=且当x-0时，F(x)与/是同阶无穷小,

J0

则子等于()

(A)l(B)2(C)3(D)4

a}004

0ab0

(5)四阶行列式22的值等于(

0%40

“0。%

(A)aq2a3%-b1b2b力4(B)%a2a3a4+bQ2b3b4

©(《4-*2)(%“4-4》4)(D)(a2«3-b2b3)(ata4-btb4)

三'(本题共2小题,每小题5分，满分10分)

⑴求心形线r=«(1+cos6>)的全长，其中a>0是常数.

(2)设％,=10,x„+1=j6+x,,5=l,2,)，试证数列｛%｝极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分，满分12分)

⑴计算曲面积分JJ(2x+zMydz+Mx内，其中5为有向曲面2=/+>2(04》4］),其法向量与2轴正向的夹角为

S

锐角.

(2)设变换［"=A2)可把方程6三+，三一卷=0简化为兽=0,求常数a

/=x+4］dxdxdydy^oudv

五、(本题满分7分)

求级数之一一的和.

七(〃2-1)2"

六、(本题满分7分)

设对任意x>0,曲线y=/(x)上点(x,/(x))处的切线在y轴上的截距等于⑺力，求/1)的一般表达式.

七'(本题满分8分)

设f(x)在［0,1］上具有二阶导数，且满足条件|/(x)|<a,/(x)|W其中a力都是非负常数,c是(0,1)内任意一

(1)写出/(%)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;

(2)证明夕(c)归2a+*

八'(本题满分6分)

设4=I-,其中I是〃阶单位矩阵,g是n维非零列向量是自的转置.证明

(1)A?=A的充分条件是，生=1.

(2)当自先=1时，A是不可逆矩阵.

九'(本题满分8分)

已知二次型/(%,工2，X3)=5x；+5%2+CX；-2玉々+6%工3—6X2%3的秩为2,

(1)求参数C及此二次型对应矩阵的特征值.

(2)指出方程/(%,々,％)=1表示何种二次曲面.

十'填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和8的产品分别占60%和40%的一批产品中随

机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是.

⑵设是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(正产)的随机变量，则随机变量看一司的数学期望

碗一止,

十一'(本题满分6分)

设,〃是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知J的分布率为P©=i)=；,/•=1,2,3.

又设X=max(J,77),y=min(J,〃).

(1)写出二维随机变量的分布率:

X

123

Y

1

2

3

(2)求随机变量X的数学期望E(X).

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一'填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）

2

（1）lim（l+3x）sinx=.

x-＞0

⑵工-XCOSr力二.

dx^

（3）设（axb）c=2,则［（a+b）x（b+c）］（c+a）=.

（4）基级数£〃二的收敛半径R=_____________.

n=\2+（—3）

-00

3

⑸设三阶方阵A,B满足关系式4-比4=64+154,且人=0-0，则B=.

4

00-

_7_

二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

x+3y+2z+1=0

⑴设有直线L:4c-….，及平面〃:41一2丁+2-2=0,则直线入（）

［2x-y-10z+3=

（A）平行于乃（B）在左上（C）垂直于乃（D）与左斜交

(2)设在[0,1]±f\x)>0,则r(0)，r(l),/(l)-/(0)或/(0)-/(I)的大小顺序是

（A）r（i）＞r（o）＞/（i）-/（o）（B）r（i）＞/（i）-/（o）＞r（o）

（o/（i）-/（o）＞r（i）＞r（o）（D）ra）＞/（o）-/（i）＞r（o）

⑶设/（x）可导，尸（%）=/（》）（1+向他则/（0）=0是外幻在％=0处可导的（）

（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件

（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件

(4)设““=(-l)"ln(l+则级数（）

（A）》“与都收敛(B)X〃“与2u2都发散

n=l/:=!n=l«=1

（c）z〃“收敛，而Ed发散（D）\＞“收敛，而发散

n=ln=ln=l”=1

aaa'100'

\\\2\3“2a22生3010

。21。22。23'B—

(5)设4=Qua{2《3,P=100,P2=010，则必有（）

_a31a32a33_。31+1。32+。12。33+〃13001101_

(A)APR=B(B)AP2P1=B(C)PjP2A=B(D)P2PjA=B

三、(本题共2小题,每小题5分，满分10分)

⑴设"=/(乂丁"),然/©」)=0,、=5皿匕其中九9都具有一阶连续偏导数，且丝H0.求也.

dzdx

(2)设函数/(x)在区间［0,1］上连续，并设A求办，/(x)/(y)dy.

四、(本题共2小题,每小题6分，满分12分)

(1)计算曲面积分“MS其中E为锥面z=y/x2+y2在柱体d+>242x内的部分.

(2)将函数/(x)=x—1(0<xV2)展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A已知。而卜|阿，且

L过点(？3,？3),求L的方程.

22

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分\lxydx+Q{x,y)dy与路径无关，并且对任意f恒

有：2型Zx+Q(x,y)dy=12孙<Zx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、(本题满分8分)

假设函数/(x)和g(x)在［a,h］上存在二阶导数，并且g〃(x)*0J3)=/(b)=g(a)=gg)=0,试证:

⑴在开区间(a,b)内g(x)#0.

(2)在开区间(“力)内至少存在一点以使/也=上单.

ge)g©

八'(本题满分7分)

设三阶实对称矩阵A的特征值为4=-1，4=4=1,对应于4的特征向量为&

九'(本题满分6分)

设A为〃阶矩阵，满足AA'=1(1是〃阶单位矩阵,A'是A的转置矩阵),|A|<0,求|A+1|.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则Xz的数学期望

E(X2)=.

(2)设x和丫为两个随机变量，且

34

p{x>o,y>o}=-,P{x>o}=P{y>o}=-,

77

则P{max(X,y)>0}=.

十一、(本题满分6分)

设随机变量X的概率密度为

x>0

fx(x)=J

[ox<0

求随机变量y=e*的概率密度/-(y).

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

11

(l)limcot4(z-------)=_____________.

xf°sinxx

⑵曲面Z-e、+2孙=3在点(1,2,0)处的切平面方程为.

xc^u

⑶设〃=e-xsin上，则”在点(2,1上)处的值为_____________.

ydxdyTC

(4)设区域。为Y+VWN,则"(I+/公力=-------------

Da"

(5)已知a=[1,2,3],。=[1,；,3,设A=a邛其中ar是a的转置，则A"=.

二'选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字

母填在题后的括号内)

,军sin无4c~34c~34

⑴设〃=-----cosxdx,N=J：(sinx+cosx)dxyP=sinx-cosx)dx,则有

21+X22

(A)N<尸<M(B)A/<P<N

(C)N<M<P(D)P<M<N

(2)二元函数/(x,y)在点(Xo，y0)处两个偏导数/；(%,为)、4(/，乂))存在是/(x,y)在该点连续的()

(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件

⑶设常数九>0,且级数收敛,则级数£(—1)"三二()

n=ln=l,ytl+A,

(A)发散(B)条件收敛

(C)绝对收敛(D)收敛性与A有关

八、九,.atanx+8(1-cosx)_,c皿、，*/、

(4)设hm-------------------=2,其中a-2+c2/0,则必有()

2°cln(l-2x)+d(l-eH)

(A)b=4d(B)b=^d(C)a=4c(D)a=-4c

⑸已知向量组aigqq线性无关，则向量组(

(A)a,+a2,a2+a,,a3+a4,a4+a,线性无关(B)a,-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a,线性无关

(C)%+a2,a?+a?,a,+a4,-叫线性无关(D)a,+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a,线性无关

三'(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

X=CO皿)

_p,dyd2y.斤.任

⑴设＜，求--、2在＜=J一的直

y=tco7击cicdndxaxV2

(2)将函数/(%)=LlnH^+,arctan%-x展开成1的累级数.

41x2

⑶求Jdx

sin2x+2sinx

四、(本题满分6分)

计算曲面积分U型丝士尹竽，其中5是由曲面x2+y2=R2&z=R,z=—R(R>0)两平面所围成立体表

s.IIz

面的外侧.

五'(本题满分9分)

2

设f(x)具有二阶连续函数，/(0)=0,f(0)=1,且⑶(x+y)-f(x)y]dx+"'(x)+xy]dy=0为一全微分方

程，求/5)及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim/鱼=0,证明级数y/(-)绝对收敛.

-1。xZi«

七'(本题满分6分)

己知点A与点8的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段A8绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及

两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

八'(本题满分8分)

X+X,=0

设四元线性齐次方程组(I)为J1一，

y2一%=0

又已知某线性齐次方程组(n)的通解为K(0,1,1,0)+总(—1,2,2,1).

(1)求线性方程组(I)的基础解析.

(2)问线性方程组(1)和(II)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

九'(本题满分6分)

设A为〃阶非零方阵，A"是A的伴随矩阵川是A的转置矩阵，当A*=N时，证明|A|H0.

十'填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、6两个事件满足条件P(AB)=尸(而)，且P(A)=p,则P(B)=.

(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率，且X的分布率为

X01

11

P——

22

则随机变量Z=max{X,Y}的分布率为.

十一、(本题满分6分)

已知随机变量(x,y)服从二维正态分布，并且x和y分别服从正态分布N(I,32)和w(o,42),x与y的相关系

1Vy

数夕=_上,设Z=2+L,

232

(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.

⑵求X与Z的相关系数0厂

⑶问X与丫是否相互独立?为什么?

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

fX1

(1)函数/(X)=[(2—/)力(X>0)的单调减少区间为.

3x2+2y212绕y轴旋转一周得到的旋转面在点2处的指向外侧的单位法向量为

⑵由曲线

z=0

⑶设函数/(工)=乃工+/(—乃的傅里叶级数展开式为&+£(qcosAU+asin/tv),则其中系数4的值为

2n=l

(4)设数量场u=Inyjx2+y2+z2,则div(gradw)=

⑸设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为〃-1,则线性方程组AX=0的通解为

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)

⑴设/(x)='sin(产)力,g(x)=d+x一则当X->0时,f(x)是8⑴的()

(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小

(C)高阶无穷小(D)低价无穷小

(2)双纽线(/+；/)2=》2一>;2所围成的区域面积可用定积分表示为()

(A)2£4cos20d0⑻4/4cos20d0

几_______________1£

(C)2,；Vcos20dO(D)—/(cos26)2时

2Jo

(3)设有直线4：3=二z+8

则4与4的夹角为()

1-21

71~兀

(A)-(D)-

0呜2

(4)设曲线积分L"")-e']sinMc—/(x)cosWy与路径无关，其中具有一阶连续导数，且/(0)=0,则f(x)

等于()

e-X-e~e-ee+e,.e'+e-v

(A)—⑻一(C)--——1(D)l———

123

(5)已知Q241为三阶非零矩阵,且满足「(2=0,则()

369

(A"=6时P的秩必为1(B)r=6时P的秩必为2

(0/二6时「的秩必为1(口"。6时「的秩必为2

三'(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

⑴求lim(sin—+cos—)A.

asxx

(3)求微分方程fy，+巧,=J,满足初始条件y=1的特解.

四、(本题满分6分)

计算f2xzd、dz+yzdzdx-z2dxdy,其中E是由曲面2=y]x2+y2与z=^2-x2-y2所围立体的表面外侧.

五'(本题满分7分)

求级数£(T)"(〃2〃+1)的和

〃=0乙

六、(本题共2小题,每小题5分，满分10分)

(1)设在[0,+Q0)上函数/(x)有连续导数，且/'(%)2左>0,/(0)<0,证明/(x)在(0,+8)内有且仅有一个零点.

(2)设b>a>e,证明a">

七'(本题满分8分)

已知二次型/(xpx2,x3)=2x：+3xf+3x；+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形f=yf+2y1+5y；,求参

数a及所用的正交变换矩阵.

八、(本题满分6分)

设A是〃x加矩阵,B是/nx〃矩阵，其中〃(机,1是〃阶单位矩阵，若AB=I,证明B的列向量组线性无关.

九'(本题满分6分)

设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数y沿y轴正向运动.物体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为

2v,方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率

为.

(2)设随机变量X服从(0J上的均匀分布，则随机变量y=x2在(0,4)内的概率分布密度

A(y)=-

十一、(本题满分6分)

设随机变量X的概率分布密度为/(x)=ge一叫-8<X<+8.

(1)求X的数学期望EX和方差DX.

⑵求X与的协方差，并问X与是否不相关?

(3)问X与是否相互独立?为什么?

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

z/v

(1)设函数y=y(x)由方程e+cos(孙)=0确定，则—=.

dx

22

(2)函数"=ln(x+/+z)在点"(1,2,-2)处的梯度gradw|M=.

⑶设f(x)=J，则其以2万为周期的傅里叶级数在点工="处收敛于■

14-X20<X<7T

(4)微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=.

岫4b2地

ababa2bn

(5)设A=2i2},其中%H0,4H0,(i=1,2,,〃).则矩阵A的秩r(A)=

a“b“

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)

X—

(1)当Xf1时，函数-----e-的极限()

x-\

(A)等于2(B)等于0(C)为8(D)不存在但不为8

(2)级数V(-ir(l-cos-)(常数。>0)()

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与。有关

(3)在曲线x=t,y=T2,z=「的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()

(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在

(4)设/(%)=3/+/国，则使存在的最高阶数〃为()

(A)0(B)l(C)2(D)3

(°、

⑸要使0,12=1都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵庆为()

01-1

(A)[-212]

01-1

■-102~

(C)(D)4-2-2

_01-1

011

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

ev-sinx-l

⑴求lim

x->01—一。

⑵设z=/(e'siny,%2+/),其中f具有二阶连续偏导数，求上二

dxdy

(3)设/(x)=W求］"(x-2)人

|「x>0

四'(本题满分6分)

求微分方程/+2y'-3y=e-3,的通解.

五、(本题满分8分)

计算曲面积分/=jj(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy,其中2为上半球面z=｛，_%2_卜2的上

侧.

六'(本题满分7分)

设f\x)<0,/(0)=0,证明对任何再>0,/>0,有/a+A)</(不)+f(x2).

七'(本题满分8分)

222

在变力F=yzi+»的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面三+/+亍二1上第一卦限的点

“(4月,？),问当<、〃、，取何值时,力尸所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、(本题满分7分)

设向量组四,％,a?线性相关，向量组％,0i3,a&线性无关，问：

⑴火能否由a?,a,线性表出?证明你的结论.

⑵(I4能否由a,&2，€13线性表出?证明你的结论.

九、(本题满分7分)

设3阶矩阵A的特征值为4=1,4=2,4=3,对应的特征向量依次为

⑴将B用4,自2,&3线性表出-

⑵求A"B(〃为自然数).

十'填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

⑴已知P(A)=P(B)=P(C)=LP(A8)=O,P(AC)=P(BC)=-,则事件A、B、C全不发生的概率为

46

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E{X+e-2x}=.

十一'(本题满分6分)

设随机变量x与y独立，x服从正态分布N(〃d),Y服从［-万，万］上的均匀分布，试求z=x+丫的概率分布

密度(计算结果用标准正态分布函数中表示,其中①。)=一=「e-5dt).

后J-8

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

E+,则”

⑴设一

y=coSdx~

⑵由方程xyz+yjx24-+z2=V2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=.

⑶已知两条直线的方程是4：0=2二2==H：匕2=上月=2则过4且平行于乙的平面方程是

110-12211-

(4)已知当x->0时，(1+以2>一1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=.

5200

2100…

⑸设4阶方阵A=0，则A的逆阵A-=

01-2

0011

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字

母填在题后的括号内)

1+厂

(1)曲线y()

l-e*

(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线

(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

⑵若连续函数/(x)满足关系式/(无)=1‘/(£)%+In2,则/(x)等于()

J。2

(A)evIn2(B)e2vln2(C)eA+ln2(D)e2A+ln2

⑶己知级数£(—1严%=2,£为1=5,则级数£>“等于()

n=ln=]M=1

(A)3(B)7(C)8(D)9

(4)设D是平面xOy上以(1,1).(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,A是。在第一象限的部分，则

(肛+cosxsinyMr办等于()

D

(A)2||cosxsinydxdy(B)2jjxydxdy

A

(C)(xy+cosxsiny)dxdy(D)0

5

⑸设〃阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是〃阶单位阵，则必有()

(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

汽

⑴求lim(cos

A->0+

(2)设〃是曲面2/+3丁+z2=6在点P(l,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数〃=―-+如在点尸处沿方向

z

〃的方向导数.

(3)JJJ(%2+/+z)d匕其中。是由曲线f,12z绕％轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点0(0,0)和A(肛0)的曲线族y=«sinx(«>0)中，求一条曲线L,使沿该曲线。从到A的积分

工(1+_/)公+(2x+y)办的值最小.

五、(本题满分8分)

81

将函数/(%)=2+凶(一1<X<1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数£3的和.

M=1〃

六、(本题满分7分)

设函数/(x)在［0,1］上连续,(0,1)内可导，且3j；/(x)公=/(0),证明在(0,1)内存在一点c,使/"(c)=0.

3

七、(本题满分8分)

已知a1=(1,0,2,3),a?=(1,1,3,5),a?=(1,-1,a+2,1),a&=(1,2,4,a+8)及0=(1,11+3,5).

(l)a、。为何值时，0不能表示成的线性组合？

(2)a、b为何值时，。有四,。2,%,a」的唯一的线性表示式?写出该表示式