新教材人教b版必修第二册 增长速度的比较

增长速度的比较

【学习目标】1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解线性增长、爆炸式

增长、对数增长等增长含义.

知识梳理梳理教材夯实基础

-----------N-----------

知识点一函数的平均变化率

函数y=/(x)从即到及的平均变化率

Av

(1)定义式:

Ax及一即

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.

(3)意义：刻画函数值在区间g,及1上变化的快慢.

(4)平均变化率的几何意义:

设A(xi，/Ui)),8(x2，兀⑵)是曲线y=/(x)上任意不同的两点,

△y凡应)一/1)於1+-)-段1)

函数y=/U)的平均变化率

AxX2~~X\Ax

为割线A8的斜率,如图所示.

提醒Ar是变量及在xi处的改变量，且及是xi附近的任意一点，即Ar=X2—MWO,但Ar

可以为正，也可以为负.

知识点二三种常见函数模型的增长差异

函数y=axy=\ogaXy=kx

性（〃>1）（。>1）（心>0）

在(0,+8)上

增函数增函数增函数

的增减性

随X的增大逐渐随X的增大逐渐趋于

图像的变化随X的增大匀速上升

变“陡”“平缓”

增长速度的增长速度快于y=Ax,y—kx的增长速度快于y=lo&>x

增长后果必存在一个xo，当x>xo时，有，尸,fcr>log/

-思考辨析判断正误-

1.函数yu%**3比y=2*增长的速度更快些.（X）

2.函数y=log】X衰减的速度越来越慢.（V）

2

3.能用指数型函数_/（x）=a"+c（a,b,c为常数，a>0,6>1）表达的函数模型，称为指数型的

函数模型，也常称为“爆炸型”函数.（J）

4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xdR恒有/>2x（a>l）.（X）

题型探究探究重点提升素养

--------------------------N--------

一、平均变化率的比较

例1⑴在x=l附近，取AJC=,在四个函数①尸筋②y=/；©y=x3；④尸;中，平均变

化率最大的是（）

A.©B.③C.②D.①

（2）汽车行驶的路程s和时间r之间的函数图像如图所示，在时间段［而，川，［小目，陆，R

上的平均速率分别为。I，。2,。3,则三者的大小关系为.

答案（1）B（2）V3>V2>Vl

解析（l）Ax=时，①y=x在x=l附近的平均变化率h=l;②y=N在x=l附近的平均变化

率％2=2+Ar=;③丫=3在x=l附近的平均变化率依=3+3Av+（Ax）2=；④y=^在x=l附

近的平均变化率公=一号「=一!|所以依乂2>心>乩

1十Ax13

eXn)—5(r)

(2)V[—0—koA,

力一fo

tl-t\

S（t3）-S（t2）

3-—；；—kuc,

ty-ti

又因为knc>kAH>koA,所以。3>。2沟.

反思感悟求平均变化率的主要步骤

⑴求Ay=/（X2）—X%i）.

（2）求\x=X2~X\.

(3)求平均变化率好叵也.

zX2-X\

跟踪训练1(1)函数次幻=炉在X0到xo+Ax之间的平均变化率为由，在X0—Ar到松之间的

平均变化率为心，则心，心的大小关系是()

A.k\<kiB.k\>ki

C.k[=k?D.无法确定

答案D

4-,X-VO+AA-)~X.ro)

解2析i[k、—z—2xo+Ax,

,./(xo)—.*X0—Ax)1_

k?——2xo-Ax,

又Ax可正可负且不为零，

所以21,42的大小关系不确定.

⑵如图显示物体甲、乙在时间0到h范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是

.(填序号)

①在0到fo范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率;

②在0到犯范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率;

③在力到人范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率;

④在如到。范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率.

答案③

解析由图像知,°〜r。范围：。单=0'=”

S2-SOSi—SO

而〜八迅围：v甲=二~V乙=二~

t\—tot\—to

因为级―$0>Sl—So,力一屈>0,

所以。目>0乙,所以③正确.

二、几类函数模型增长差异的比较

例2於)=/,g(x)=2Lft(x)=log2x,当x£(4,+8)时,对三个函数的增长速度进行比较,

下列选项中正确的是()

A.J(x)>g(x)>h(x)B.g(x)次

c.g(x)>//a)次x)D.yu)>〃(x)>g(x)

答案B

解析由函数性质可知，在区间(4,+8)上，指数函数g(x)=2*增长最快，对数函数力(》)=

lOg2X增长最慢，所以.

反思感悟常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型)，=履+/%>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=a'(d>l)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增

长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=k>g„x(a>D的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，

即增长速度平缓.可称为“对数增长”.

跟踪训练2(1)下列函数中函数值随x的增大而增长，且函数值增长速度最快的是()

310V

A.B.yulOlnxC.y=xD.y=10-2

答案A

解析因为e>2,所以东比102增长速度快.

(2)四个变量》，”，券，以随变量x变化的数据如表：

X151015202530

V226101226401626901

72232102432768xio6X107X109

2102030405060

2

关于x呈指数级变化的变量是.

答案”

解析以爆炸式增长的变量呈指数级变化.

从表格中可以看出，四个变量力,”，”，明均是从2开始变化，变量yi,y>2,J3,>4都是越

来越大，但是增长速度不同，其中变量)，2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变

量”关于X呈指数函数变化.

三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较

例3函数1Ax)=2'(x>0)和g(x)=x2(x>0)的图像如图所示.设两函数的图像交于点4(X1，%),

B(X2，)'2)，且加42.

⑴请指出图中曲线G，C2分别对应的函数；

(2)求点A,8的坐标；

(3)结合函数图像,判断火3),g(3),右2021),g(2021)的大小.

解(1)G对应的函数为g(x)=x2(x>0),C2对应的函数为兀0=2也>0).

(2)因为X2)=4,g(2)=4,44)=16,§(4)=16,

所以4(2,4),8(4,16).

(3)由图像和(2)可知，

当0a<2时，危)〉g(x),

当2<r<4时，fix)<g[x),

当x>4时，危)>g(x),

所以42021)>g(2021),©vg⑶,

又因为g(x)在(0,+8)上为增函数,

所以g(2021)>g(3),

故火2021)>g(2021)>g(3)次3).

反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法

⑴根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.

(2)根据图像判断指数函数、对数函数和二次函数的增长速度时，通常是观察函数图像上升的

快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数

函数.

跟踪训练3函数式x)=lgx,g(x)=x—l的图像如图所示.

(1)指出曲线C”C2分别对应题中哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对为0,g(x)的大小进行比较).

解(1)G对应的函数为g(x)=x—1,

C2对应的函数为兀v)=lgx.

(2)当xG(0,xi)时，g(x)次r)；

当XC(X1,松)时，g(X)勺(X)；

当Xd(X2,+8)时，g(X)>J(X).

随堂演练基础巩固学以致用

1.函数），=2x在区间由，xo+Ax］上的平均变化率为（）

A.xo+AxB.1+AJV

C.2+AxD.2

答案D

解析由题意，可得平均变化率

/xo+Ax）一儿孙）2（xo+Ax）-2xo。

Ax=Ax=2,

2.下列函数中，增长速度最快的是（）

A.y=2020，B.>=*202°

C.y=log202ftxD.y=2020x

答案A

解析比较嘉函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.

3.如果函数>=以+6在区间［1,2］上的平均变化率为3,则a的值为（）

A.-3B.2C.3D.-2

答案C

解析根据平均变化率的定义,

△Y(2a+%)—(a+Z?)

可知:=a=3.

zkr-2-1

4.yi=2',yi=xi>>3=log2X,当2a<4时，有（）

A.ji>j2>y3B.y2>yi>y3

C.yi>y?>y2D.yi>y3>y\

答案B

解析在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像（图略），在区间（2,4）内，从上到下图

像依次对应的函数为刃=/，y\—2x,y3=log>,故丫2>巾>”.

5.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在〜8千美元的地区销售该公司4饮料的情况

调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.给出下列

几个模拟函数：

®y=ax2+bx；®y=kx+b；③y=log„x+b；®y=cf+b（x表示人均GDP,单位：千美元，y

表示年人均A饮料的销售量，单位：L）.

用来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系最合适的函数模型是.（填序号）

答案①

解析用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多，然后向

两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟

比较合适.

-课堂小结

1.知识清单：

三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.

2.方法归纳：数学建模.

3.常见误区：不理解三种函数增长的差异.

课时对点练-------注-重-双-基强、-化-落-实

X基础巩固

1.函数y=/+l在［1/+Ax］上的平均变化率是()

A.2B.2x

C.2+△犬D.2+(Ax)2

答案C

(1+Ar)2—I2

解析依题意，所求平均变化率为仁鲁-L=2+AX.

2.已知函数y=/(x)=x2+l,则在x=2,Ax=时，Ay的值为()

A.B.

C.D.

答案B

解析Ay=Xx+Ax)-/x)=/2+0.1)-X2)

=(2.1/+1—(22+1)=0.41.

3.我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x,

则有()

A.(l+x),9=4B.(l+x)20=3

C.(1+X)2°=2D.(1+X)2°=4

答案D

解析本题为增长率模型函数，为指数型函数形式.

设1999年总产值为1,则(1+X)20=4.

4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间f(单位：s)之间的函数关系为

且这一物体在2W/W3这段时间内的平均速度为26m/s,则实数，"的值为()

A.2B.1C.-1D.6

答案B

解析由已知，得誓乎=26,

3—2

即(5X32+3m)—(5X22+2,*)=26,解得机=1.

5.(多选)4,B两公司开展节能活动，活动开始后两公司的用电量必⑺，WB")与时间f(天)

的关系如图所示，则一定有()

A.两公司节能效果一样好

B.A公司比8公司节能效果好

C.4公司的用电量在［0,⑹上的平均变化率比8公司的用电量在［0,⑹上的平均变化率大

D.A公司与B公司自节能以来平均变化率都小于0

答案BD

解析由题图可知，4公司所对应的图像比较陡峭，B公司所对应的图像比较平缓，且用电

量在［0,⑹上的平均变化率都小于0,故一定有月公司比B公司节能效果好.

6.若函数段)在任意区间内的平均变化率均为且函数的图像过点(2,2),则於)=.

答案5+1

解析因为函数1x)在任意区间内的平均变化率均为今则_/u)为一次函数，设

又函数图像过点(2,2),所以2=^X2+6所以6=1,所以兀v)=&+l.

7.如图所示，函数丫=於)在次”X2］，以2,对，［X3,阂这几个区间上，平均变化率最大的一

个区间是.

X。x2x3X4X

答案［X3，X4］

解析由平均变化率的定义可知，函数y=/U)在区间［汨，X2］,［X2,屈］,次3,工4］上的平均变

化率分别为酗二空",於立二叁W四二&立，结合图像可以发现函数),=/)的平均变化率

X2~X\X3—X2X4—X3

最大的一个区间是由，X4］.

8.已知函数式x)=3*,g(x)=2x,当xER时，风门与g(x)的大小关系为.

答案人x)>g(x)

解析方法一在同一直角坐标系中画出函数1》)=3。g(x)=2r的图像，如图所示，由于函

数_/U)=3'的图像在函数g(x)=2x图像的上方，则兀r)>g(x).

A3°-34Ap

方法二分别计算7U),g(x)在区间［4,8］上的平均变化率得，*=、H=34X20=1620,笔

ZAAo4LJJC

2xQ-7X4

=~­=2,因此在区间［4,8］上，7U)的平均变化率最大，故必有段)>g(x).

o-4

9.已知函数凡《)=2%2+3,g(x)=2x2+x,h(x)=2x2—x,分别计算这三个函数在区间［2,3］上的

平均变化率，并比较它们的大小.

物闺名母人一«

解因为意=一3)2)

2X32+3-(2X22+3)18—8

=5=1=10)

△gg(3)—以2)2X32+3-(2X22+2)

Ax-3-2-1-11)

△h/?(3)—/?(2)2X32—3—(2X22—2)

Ax=3-2=1=%

11>10>9,因此在区间［2,3］上，g(x)的平均变化率最大,〃(x)的平均变化率最小.

10.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示.

比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较

快？

解当时间x从。min变到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为

-39一.

20-0=20=-(C/m，n):

当时间x从20min变到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为

38——

30—20=而=_(C/mm).

这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降得越快，又因为|-0.025|<|-0.05|,故体温

从20min到30min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快.

力综合运用

11.已知四个函数：①尸》；②y=2*；③尸禹(4)y=p其中在区间［2,4］上的平均变化率最

大的是()

A.@B.③C.②D.①

答案B

4—2

解析对于函数①y=x,其在区间［2,4］上的平均变化率为==1；对于函数②y=2',其在

24—22

区间［2,4］上的平均变化率为工"=6；对于函数③y=^,其在区间［2,4］上的平均变化率为

43—2314-21

二二7=28；对于函数④产巳其在区间［2,4］上的平均变化率为一=—/

12.函数丫=/在x=l,2,3附近的平均变化率中，在彳=附近的平均变化率最大.

答案3

解析在x=l附近的平均变化率为

MXl+Ax)-/1)(1+AX)2-1

Ax=以一=—以—=2+心；

在x=2附近的平均变化率为

Af7(2+Ax)—/(2)(2+Ax)2—22

A=-----7------=-----7-----=4+Ax；

AxAxAx

在x=3附近的平均变化率为

AfX3+Ax)-X3)(3+Ax)2—32

Ar=晨—=—&—=6+AX

对任意Ax有，ki<k2<k3,

...在x=3附近的平均变化率最大.

13.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如

图所示.现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温

度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变.

其中正确的说法是.(填序号)

y/X：

05//min

答案②④

解析因为温度y关于时间f的图像是先凸后平，即5min前每当［增加一个单位，则y相应

的增量越来越小，而5min后y关