高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 33(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题(33)

一、单项选择题(本大题共13小题，共65.()分)

1.在三棱锥P-4BC中，点尸在平面A8C的垂足为△ABC的内心，三棱锥P-4BC的高为2g，且

AB=6,AC=8,BC=10,设三棱锥P-ABC外接球的球心为O,直线P。与平面A8C交于

点<2-则.=()

A.-B.2C.3D.4

4

2.如图，将边长为2的正方形ABC。沿PD,PC翻折至4B两点重合，其中P是AB中点,在折成的三

棱锥力⑻-PDC中，点。在平面尸CC内运动，且直线AQ与棱”所成角为60°,则点Q运动

3.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为质的正四棱锥P-4BC0中，大球。1内切于该四棱锥,

小球。2与大球。］及四棱锥的四个侧面相切，则小球Q的体积为()

4.在三棱锥P-4BC中，平面PAB1.平面ABC，2MBe是边长为6的等边三角形，/P4B是以A8

为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()

A.64TTB.487rC.367rD.277r

5.在三棱锥P—/BC中，平面PAB1平面ABC,△ABC是边长为6的等边三角形，ZiPAB是以A8

为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）.

A.647rB.487rC.367rD.27n

三棱锥尸一/BC中，AB1BC,AP4c为等边三角形,二面角P—/C—5的余弦值为—，G，

6.

3

当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8〃.则三棱锥体积的最大值为（）

A.1B.2C.-D.-

-23

7.在空间，到一圆周上各点距离相等的点的集合是（）

A.一个点B.一条直线C.一个平面D.一个球面

8.已知正三棱锥P-ABC中，AB=1,PA=2,则该三棱锥外接球的表面积是（）

A487r「127r

A-7TR四

11c・—D.-

9.在棱长为2的正方体4BCC-4/iCiDi中，点”是对角线AC】上

的点（点M与A、q不重合），设的面积为S,则S的取

值范围（）

A.［券,2遮）

B.苦,2例

C.苦,2次）

D.磬,2何

10.已知边长为2遍的菱形力BCD中，NA=60。,现沿对角线8。折起,使得二面角力-BD-C为120。,

此时点A,B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.20兀B.247rC.28兀D.327r

11.如图，在棱长为2的正方体4BCD中，尸为BC的中点，E

为正方形a4遇8的中心，动点P在线段E尸上，则（PC】+PCJ2的最

小值为

A.14+6V5

B.12+4V7

C.17

D.24

12.在正三棱柱中，AB=AAr=1,D,E,F,G分别为AC,4G，AA^CG的中

点，P是线段QF上的一点.有下列三个结论：

①BP〃平面/EG；②BP10G;③三棱锥P-BiEG的体积是定值.

其中所有正确结论的编号是

A.①②B.①③C.②③D.①②③

13.如图平面多边形中，四边形A8C。是边长为近的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正

方形的4条边将三角形折起，使顶点Si，Sz，S3，S4重合为S点，得到四棱锥S-4BC。，则此四棱

锥的外接球的表面积为

A.71B.27rC.37rD.47r

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

14.已知正方体ABCD—4B1GD1的棱长为鱼，若平面a〃44「且经过该正方体内切球的球心，则

平面a截该正方体所得的截面在内切球以外的部分的面积可能为（）

A.V3-7B.逋-巴C.V6-^D.3&T

22222

三、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

15.已知三棱锥D-ABC的四个顶点均在球。的球面上，△ABC和ADBC所在平面互相垂直，AC=

丹AB=3,BC=CD=BD=2代,则球。的体积为•

16.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=*，BC=V7.AC=2,则此三棱锥外

接球的表面积为.

17.（1）若命题“Vxe[0,2],/一x+1Wa”的否定是假命题，则实数a的取值范围是,

⑵已知定义域为R的函数f(%)满足f(—x)+/(x)=0,且当％<0时,f(x)=—e-2、若f(Q)=4,

则Q=.

(3)已知a>l,b>0,且a+b=2,则史必二+丝匕的最小值为_______.

a-1b

(4)在三棱锥P-4BC中，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，PA与底面ABC所成

角的余弦值为渔，则三棱锥P-48c的外接球的球心到底面ABC的距离为.

3

18.正四面体的内切球与外接球的体积之比

19.(1)已知函数/(x)={log2x,x>0

4-2~x,x<0

⑵已知F1，尸2分别为椭圆C:^+?=1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为(2,0),

若AM为4居4尸2的角平分线，则1461=.

(3)如图(1),在等腰直角回4BC中，斜边AB=4,。为AB的中点，将回ACD沿CQ折叠得到如

图(2)所示的三棱锥C-4'8。，若三棱锥C-的外接球的半径为花，则"I'DB

(4)设定义在。上的函数y=/I(X)在点P(x(),/i(xo))处的切线方程为，：y=9(x)，当xH与时，若

幽*>0在。内恒成立，则称P点为函数y=八(为的"类对称中心点”，则函数八万)=三+

X-XQ2e,

Inx的“类对称中心点”的坐标是

20.在三棱锥ABCD中，4ABe=ZABD=60°,BC=BD=2vLCD=4,AB=壶.则三棱锥4-

BCD的外接球的表面积为

21.用扇形铁皮卷成一个圆锥筒(假设扇形半径可变化)，已知扇形面积为定值S,要使卷成的圆锥筒

体积最大，则该扇形的半径R为.

22.用半径为2c/w的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为<

23.如图，正方体4BCD-A/iGDi的棱长为小线段&D1上有两个动点E,F,且EF=£a，以下

结论正确的有（）

团4c1BE

团点A到4BEF的距离为定值

回三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-48修1。1体积的2

团异面直线4E,B尸所成的角为定值

24.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的禅卯结

构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）啮合，外观看是

严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同

的正四棱柱分成三组，经90。梯卯起来.现有一鲁班锁的正四校柱的底

面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计）,

若球形容器表面积的最小值为30兀，则正四棱柱的高为

25.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都

为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌，PA，底面4BC,PA=AB=L4C=&,三棱锥P-ABC的

四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为.

26.在棱长为1的正方体4BCD-4/GD1中，点尸是正方体棱上的一点，若满足|PB|+|PDil=nt

的点P的个数大于6,则m的取值范围是.

四、多空题（本大题共1小题，共4.0分）

27.已知正三棱锥P-4BC,点P,A,B,C都在半径为旧的球面上，若PA,PB,PC两两垂直，则点尸到

平面ABC的距离为球心到截面ABC的距离为_（2）_.

五、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

28.如图，正方体ABCD-AiBiGDi是一个棱长为2的空心蔬菜大棚，由8个钢结构（地面没有）组合

搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖.已知E为柱44］上一点（不在点A,公处），

EA=t.菜农需要在地面正方形ABC。内画出一条曲线/将菜地分隔为两个不同的区域来种植不

同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P为地面正方形ABC。内的曲线/上任意一点，设a,£分

别为在P点观测E和5的仰角.

4

E

A

（1）若a=0,请说明曲线/是何种曲线，为什么？

（2）若E为柱A4的中点，且a<0时，请求出点尸所在区域的面积.

29.己知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角

为45。，求这个圆台的高、母线长和底面半径.

30.如图，在四棱柱ABCD—ABiGDi中，AB//CD,ABX1BC,RAA1=AB.

(1)求证：48〃平面。1。。的；

(2)求证：ABi，平面

【答案与解析】

1.答案：。

解析:

本题主要考查了三棱锥的结构特征，空间中的距离关系，属于较难题.

根据题意建立空间直角坐标系，先求三角形内心D的坐标，再求外接球的球心。坐标，进而可求券.

解：以点A为原点，4c边为x轴，A8边为y轴，建立空间直角坐标系如图，

可得4(0,0,0),S(0,6,0),C(8,0,0),

①求△4BC的内心：

因为△力BC的内心在直角角平分线上，即在直线y=x上，

故设△4BC的内心D(a,a,0),

又因为。到AB的距离等于。到BC的距离，

根据题目条件，易得直线BCy=-|x+6,

|--a+6|

所以a=解得a=2或a=6(舍去)，

所以。(2,2,0),则P(2,2,2A/5).

②求。点坐标：

因为点。到A、B、C的距离相等，易得点。在8c中点的垂线上，

所以可设。(4,3,m),又OA=OP,

所以。炉=OP2,根据坐标可得：42+32+m2=(4-2)2+(3-2)2+(m-

解得巾=一第，所以。,3,-等）.

③求导因为P、0、。三点在一条直线上，

所以长度的比值可转化为z坐标差值的比值，

所以空一旦应一场受1一4

所以OQ-|Z°-ZQ|-司一生

故选。.

2.答案：D

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，考查抛物线的定义，依题意，得。到点P的距离等于。到线OC

的距离，得Q点的轨迹为抛物线，即可求得结果.

解：依题意，取。C中点M,则P4J.4M,PM1DC,且4P=1,PM=2,

所以N4PM=60°,又AQ与棱AP所成角为60。，

所以2MPQ为正三角形，

PQ=1,所以QM=1,

即Q到点P的距离等于Q到线DC的距离，

所以Q点的轨迹为抛物线，

故选。.

3.答案：D

解析：

本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于较难题.

设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M,连接PM,OM,PO,则OM=1,PM=y/PA2-AM2=

二7=3,PO=V9^1=2V2,分别可求得大球为与小球。2半径分别为它和立，进而可得小球

24

的体积.

解：设。为正方形A8CZ）的中心，的中点为M,连接PM,OM,PO,则OM=1,

在截面PMO中，设N为球名与平面PAB的切点,

则N在上，且OiNIPM,设球01的半径为R,则O]N=R,

因为sin4MP。=普=；,所以詈=§贝UP0i=3R,

PO=P01+。。1=4R=2V2,所以R=当，

设球。1与球。2相切与点Q,则PQ=PO-2R=2R,设球0?的半径为r,

同理可得PQ=4r,所以r=9=?,

故小球。2的体积V=[兀73=^|兀，

故选O.

4.答案：B

解析：

本题考查了三棱锥的体积及外接球表面积的求法，属于中档题.

由三棱锥的特征确定外接球球心的位置，求出外接球半径，从而可以得到该三棱锥外接球的表面积.

解：如图所示:

取AB的中点F,连接尸F,则PF14B,

因为平面P4B1平面ABC,平面PABn平面4BC=

所以PFL平面ABC,又4P4B是AB以为斜边的等腰直角三角形，所以PF=3,

所以%-ABC=|x3x|x6x6xy=9V3.

在等边三角形ABC中，设其重心为。，连接OA,OB,OC,OP,OF,则尸，O,C三点共线

由48=6,得4。=B。=C。=|。尸=26，因为PF_L平面ABC,

所以PF1OF,

OP=y/OF2+PF2=2V3.

则。为三棱锥P-ABC的外接球球心，

外接球半径R=0C=2>/3.

所以该三棱锥外接球的表面积为垢x—-WTT.

故选反

5.答案：B

解析：

本题考查面面垂直的性质及球的表面积的求解，属于中档题.

由己知结合面面垂直的性质，确定球心的位置，得出半径，然后利用公式求解即可.

解：如图，

设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,半径为R,AABC的外心为F,

在等边三角形ABC中，取AB中点E,连接CE,由题意知，CELAB,

由48=AC=BC=6,可得CE=3B，EF=V3，AF=BF=3,

•・•△PAB是直角三角形，.•.点E是其外心，

又CE1AB,平面PZ81平面ABC,

^PAB=AB,CEu平面ABC,

所以CE，平面PAB,

•••三棱锥P-ABC的球心O在直线CE上，

又由04=0B=0C,易知。与尸重合，

所以外接球半径衣=。4=凡4=心+（野J=2V3

.•.该三棱锥外接球的表面积为47rx（273）2=487r.

故选B.

6.答案：D

解析：

本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面枳的求法，涉及二面角的运用，基本不等式

的应用，以及球的几何性质的应用，属于较难题.

由已知作出图象，找出二面角P—AC—B的平面角，设出AB,BC,4c的长，即可求出三棱锥P-ABC

的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC长度的字母表示），再设出球心

O,由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC

的长度，则三棱锥体积的最大值可求.

解:如图所示,

过点尸作PE1面ABC,垂足为E,过点E作EOJ.4C交AC于点。，连接PD,

则"DE为二面角P-AC-8的平面角的补角，即有cosNPDE=—,

3

易知AC1面POE,则AC1PD,而△PAC为等边三角形，

•••。为AC中点，

设4B=a,BC=b,AC=Va2+b2=c>

则PE=PDsinZ.PDE=—xcx—=-.

232

故三棱锥P—ABC的体积为：V=-x-abx-=—abc<—cxa+b=—,

3221212224

当且仅当Q=b=立c时，体积最大，此时5、。、£共线.

2

设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，半径为上

2

由已知，4nR=8TT,得R=

过点。作。FJ.PE于凡则四边形ODEb为矩形，

则on=EF=J2_(|)2,ED=OF=PDcos乙PDE=务x曰=jc,PE=］，

在RtAPFO中，(V2)2=(yc)2+(|-j2-(f)2)2,解得c=2.

二三棱锥P-ABC的体积的最大值为：-=-=i.

24243

故选D

7.答案：B

解析：解析：

本题考查圆锥的几何特征及学生的空间想象能力，属于基础题.

解：因为圆锥轴线上的所有点到底面圆周上的各点距离都相等,

所以在空间，到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.

故选B.

8.答案：A

解析：

本题考查正三棱锥的几何性质和球的表面积公式，关键是确定球心的位置，计算出求半径可得结果.

解：在正三棱锥P-ABC中，取8c的中点。，连接A。，PD,三角形A8C的中心为0「连P。I，

根据正三棱锥的几何性质可知，球心。在POi上，且。1到A,B,C三点的距离相等；

设。0i=x,求半径为R,由题意AO】=|x1xsin6（T=圣又P4=2,

所以在班协抻，有POL卜一（穿=詈R2=（等一。2=/+（犷，

解得x=言〃号，

所以5球=47rxu=u•

故选4

9.答案：A

解析：

本题考查了空间直线与直线，平面与平面的位置关系，主要考查空间想象能力与计算能力.属于难

题.

连接4名交占0于点。，过。作。M14G，证明OM为异面直线&D与4cl的公垂线，计算此时4aDM

的面积，然后计算M位于G处时，△&OM的面积即可.

解：连接交于点O,过0作。M1AG，

在正方体ABCD-4避1的。1中，A2D1平面4BGD1，OMu平面力BGD「

•••ADt1OM,

•••。”为异面直线公。与4cl的公垂线，

根据△AC［。］,则若■=黑，

即0M=处皿=竿=虫.

4cl2V33

所以A/llDM的面积的最小值为Smin=9X与、2旧=当，

当M位于G处时，△&DM的面积为f.（2a2=2后

故S的取值范围呼,2场.

故选A.

10.答案:c

解析：

本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关

键.正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接

球的表面积.

解：如图分别取8。、AC的中点M、N,连接

则容易算得A"CM=3,MN*,MD=ACN=j

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，

设球心为。，半径为R,HN=x,

22

R=x+—1

则由题设可得,3%，解得刀=之

R2=(|+乃2+32

则/?2=工+4=7,所以球面面积S=4兀炉=28兀.

44

故选c.

11.答案：B

解析：

本题主要考查空间几何体的结构特征，考查空间的距离，是中档题.

通过化曲为直，把平面GFE绕EF旋转直到与平面重合，使得点名与Q位于EF的两侧，再求

最值问题即可得解.

如图(1)，

Dx

c,

图⑵

连接。亚,EQ,DrF,C/,A.E,EB,

把平面C】FE绕E尸旋转直到与平面/重合，如图(2),使得点劣与G位于EF的两侧.

在正方体力BCD-&B1C1D1中，因为△D/iE为直角三角形且&D1=2,&E=方，故=述.

同理EF=M，D1F=3,CtE=在,CrF=V5.

222

故DrE+EF=DrF,故4。透F为直角三角形且4。F尸=90°.

又PDi+PG的最小值就是图(2)中4G的长，

在图(2)中，由余弦定理可得coszlFECi=4\=与故sin/FEG="，

2V3Xv633

所以COSND1EG=cos(T+4FEG)=

。1仃=6+6+2xV6xV6Xy=12+4夕，

所以(PDi+PC】)2的最小值为12+4位.

故选8.

12.答案：D

解析：

本题考查命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档

题.

由题意画出图形，证明平面BDF〃平面/EG判断①;证明DG1平面8。尸判断②；由DF〃平面&EG,

得P到平面/EG的距离为定值，可得三棱锥P-BiEG的体积是定值判断③.

解：如图，

对于①，在正三棱柱4BC-&B1C1中，

•：D,E,F,G分别为AC,4G，CC1的中点，

EG//DF,BD〃B、E,EGn&E=E,DFCBD=D,

由面面平行的推论可得平面BDF〃平面&EG,

由BPu平面BCF,得BP〃平面B】EG,故①正确；

对于②，•••正三棱柱ABC-&81G，.,.平面ACCMi_L平面ABC,C平面48c=AC,BDc

平面ABC,BD±AC,BD_L平面ACG2,

vDGu平面ACGAi，得BD1DG,又四边形ACGA1是正方形，[DG1DF,DFC\BD=D,BD,DFu

平面BDF,得DG_L平面BDF,

vBPc5]2®BDF,则。G_LBP,故②正确；

对于③，由平面BDF〃平面JEG,得DF〃平面/EG,P到平面B[EG的距离为定值，而三角形与EG

面积为定值，可得三棱锥P-&EG的体积是定值，故③正确.

・•.所有正确结论的编号是①②③.

故选。.

13.答案：D

解析：

本题主要考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，球的表面积和体积，属于中档题.

连接AC,BD,设ACnBD=H,连接SH,由题意可得SH_L平面4BCD设。为四棱锥S-ABCD的

外接球的球心，则。在S4上，连接。C,设此四棱锥的外接球的半径为R,贝|OS=OC=R,由正

方形ABCQ的边长为鱼，得CH=1,SC=42,SH=1,求出半径R,即可求出外接球的表面积.

解：连接AC,BD,设4CCB0=H,连接SH,

根据题意可得SH1平面ABCD

设。为四棱锥S—4BCC的外接球的球心，

则。在S"上，

连接0C,设此四棱锥的外接球的半径为R,

则OS=0C=R,如图所示：

因为正方形ABC。的边长为鱼，所以CH=1,SC=V2,SH=1,

所以“，。重合，即四棱锥的外接球的半径为R=l,

所以四棱锥的外接球的表面积为S=4兀/?2=47r.

故选。.

14.答案：BC

解析:

本题考查平面截正方体、截球所得截面的面积的求法，考查空间中线面的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

分析截面的特点，得出截面面积的范围，然后减去球的大圆的面积求解即可，属于中档题.

解：设该正方体内切球的球心为0,

由已知过。作直线EF〃44「则过E尸的平面a（与平面441GC不重合）符合题意，

由正方体的性质知a截该正方体所得的截面为矩形，高为遮，

a与上底面的交线所得线段的长度1e[夜,2]，

所以平面a截该正方体所得的截面面积*G[2,272].

又正方体的内球的半径为立，

2

所以球的大圆的面积为S2=7TX（容）=三,

所以面a截该正方体所得的截面在内切球以外的部分的面积s=S|_$2€[2-看26-弓],

因为茅，遍e[2,2V2].

所以BC符合题意.

故选BC.

15.答案：等

解析：

本题考查三棱锥的外接球体积，考查空间构造能力及计算能力，属于中档题.

证明AC_L48,可得△ABC的外接圆的半径为旧，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在

△DBC中BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为从则层+3=/?2,求出球的半径，即可求出

球。的体积.

解：•••AB=3,AC=y[3,BC=2\[3,

AB2+AC2=BC2,•••ACLAB,

ABC的外接圆的半径为百，

1•,△48。和4DBC所在平面相互垂直，

球心在△0BC中8c边的高上，

设球心到平面ABC的距离为h,球0的半径为R,

则h2+3=R2=（苧X2遮一八）2,

・■・/i=1,R=2,

・,•球0体积为g-7T-23=子.

故答案为等.

16.答案：8兀

解析:

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求法，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题.

以PA,PB,PC为棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，由此能

求出三棱锥的外接球的表面积.

解：如图，PA,PB,尸C两两垂直，设PC-八，

PA=y/AC2-PC2=v4-/t2，

•••PA2+PB2=AB2,

/.4-h2+7-/i2=5,解得九=我，

三棱锥P-ABC,PA,PB,尸C两两垂直，且PAl，PB2，PC'=4，

.•.以PA,PB,PC为棱构造一个长方体，

则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，

・•・由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，

三棱锥的外接球的半径为R=四手=V2,

所以外接球的表面积为S=4nR2=4兀x(V2)2=87r.

故答案为87r.

17.答案：(1)[3,+8)；

(2)Zn2；

(3)14；

(4)7

解析：

(1)本题主要考查了命题真假的判定与运用，涉及不等式恒成立问题，属于基础题.

根据命题"Vxe[0,2],x2-x+iwa”的否定是假命题，得到命题“vxe[0,2],/一支+1wa”为

真命题，然后求出产-％+1在[0,2]上的最大值即可求解.

解：「命题FG[0,2],x2一x+14a”的否定是假命题，

；•命题"VxG[0,2],x2-%+1Wa”为真命题，

(%2-X+l)max4a在[0,2]上恒成立,

设g(x)=/一%+1=(x—J+[,xG[0,2],

由二次函数性质可得g(x)max=9(2)=22—2+1=3,

•••a2gMmax=3,

故答案为[3,+8).

(2)本题主要考查了函数奇偶性的运用，函数中的参数求值，属于基础题.

根据定义域为R的函数/(X)满足/(-x)+f(x)=o,得到/Q)为R上的奇函数，根据当久<0时，

f(x)=-e~2x<0,由/(a)=4可得a>0,进而根据/(-a)=-e2a=-4,即可得到a的取值.

解：由题意，根据定义域为R的函数f(x)满足/(—%)+/(乃=0,即/(—%)=-/(%),

•••/(X)为R上的奇函数，

•••x<。时，f[x}=—e~2x<0,

由f(a)=4可得a>0,即—a<0,

/(—a)=-e2a=-4,

解得a：ln2,

故答案为ln2.

(3)本题主要考查了基本不等式的运用，运用基本不等式求最值，属于中档题.

根据a+b=2,得到a-1+b=1,再根据贮±刈+4=处以2史3±1+%+：=(a-i)+^+

a-1ba-1ba-1

b+：+4=10+3+用，然后结合基本不等式即可求解.

b1-bb

解：由题意，根据a+b=2,得到a—1+b=1,

(a—l)2+4(tz-1)+14

-------------;-----------Fb+丁

/、14

=(a-1)H------+6+£+4

a—1b

a—1+b4(a—1+/?)

=(a-1)H-----------Fb+

=(i+3+*9,

va—1=1—b>0,

b4(a-1)

(a-1)H------+b+

当且仅当上=用，即b=5时取等号成立，

1-bb3

故吐心+胃的最小值为14

a-1b

故答案为14.

(4)本题给出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况下求外接球的半径,

着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体的结构特征等知识的综合运用，属于中档题.

过点P作PH1平面ABC于“，可得NP4H是直线PA与底面ABC所成的角，得C0SNP4H在，求出P4=

3

PB=PC=2,将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为遥，可得

三棱锥外接球的半径，然后结合勾股定理求解即可.

解：过点尸作PH1平面ABC于，，

p

__________B

是PA在平面ABC内的射影，

NP4H是直线PA与底面ABC所成的角，得C0SNP4”=—，

3

•••△ABC是边长为2等边三角形，

AH=-x2x—=—,

323

・・・Rt△P4H中，AH=PACOS/-PAH,

,AH3^

•''-"NPA"我7-，

V

PA=PB=PC=V2.

PA2+PB2=AB2,即乙4PB=90°,

：.AP1BP,

同理可得CPIBP,CP1AP,

PA,PB,PC两两互相垂直，

将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，

易知正方体的对角线长为J3X（匈2=返，

••・三棱锥外接球的半径R=再，

2

•••球心O到平面ABC的距离OH=VOA2—AH2=J囹—（甯?=善

故答案为渔.

6

18.答案:1：27

解析:

本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解

题的关键，考查空间想象能力，计算能力.

画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a

的正四面体的内切球和外接球的体积之比.

解：设正四面体为PABC,两球球心重合，设为0.

设P0的延长线与底面ABC的交点为。，则为正四面体PA2C的高，

PD1底面ABC,且PO=R,OD=r,。。=正四面体PA8C内切球的

高.

设正四面体PA8C底面面积为S.

将球心。与四面体的4个顶点PABC全部连接，

可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面.

每个正三棱锥体积匕=，S-r而正四面体PABC体积匕=『S-（R+r）

根据前面的分析，4,匕=匕,

所以，4---S-r=--S-（/?+r）,

所以，R=3r,

所以棱长为。的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27.

故答案为1：27.

19.答案：（1）-4；

⑶多

(4)(e,|).

解析：

（1）本题主要考查了分段函数求值问题，属于基础题.

根据分段函数解析式，先求出/&）值，再求fQ）即可求解.

解：••・函数/")={%2煞>:

(4-2X,x<0

••■/(J)==一3,

•••/(/([))=汽-3)=4-2«3)=-4,

故答案为-4.

(2)本题主要考查了椭圆性质及其运用，属于基础题.

由题意可知，，A在y轴左侧，根据正弦定理可得需=黯=3,根据椭圆的性质可知：|力0|+

\AF2\=2a=10,即可求得MF2I的值.

解：由题意可知：a=5,b=3,c=4,/.F^AM=£.MAF2,

•••Fi(—4,0),F2(4,0),

设A在)，轴左侧，

1网IFM

.•.在△力中由正弦定理得，①

sinZAA/FisuiZ.FiAAf

倜1局川|

在小AF2M中由正弦定理得MEdI

siuZAA/6siu(7r—Z.4A/F1)siuN6AA/

1.47^RM

,②

ZAMFisinZFi'A/

由“I+\AF2\=2a=10,

结合图形可知当A在y轴右侧时不符合题意，

故答案为|.

(3)本题主要考查了多面体的结构特征，球的结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题.

根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是近，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可

解决.

解：由题意，球是三棱锥C-4BD的外接球，所以球心。到各顶点的距离相等，

如图:

c

根据题意，CD_L平面4BD,

取C。的中点E,48的中点G,连接CG,DG,

因为AD=BD,CD，平面4BD,

所以4和B关于平面C£>G对称，在平面COG内，作线段C。的垂直平分线，

则球心。在线段CQ的垂直平分线上，

设为图中的。点位置，过O作直线CO的平行线，交平面ABD于点F,

则OFJ_平面ABD,且OF=CE=1,

因为4F在平面ABD内，所以0FL4F,即三角形AOF为直角三角形，且斜边04=R=后，

A'F='JR2—OF2=A/5—1=2，

所以，BF=2,

所以四边形A'DBF为菱形，

又知0D=R,三角形ODE为直角三角形，

0E=y/R2-DE2=V5^I=2.

三角形为等边三角形，

^A'DF=

3

故乙4，DB=y,

故答案为空.

(4)本题主要考查了导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性和最值，新定义概念的理解及运用，

属于较难题.

由求导公式求出函数/(x)的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y=g(x),设

F(x)=/(x)-5(x),求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F(x)的单调

性和最值，从而可判断出但^义的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的

X-XQ

坐标.

解：由题意得，((%)=2十二

eLx

9

〃珀=1+h"o(N>°)，

易知函数y=/(x)的定义域。=(0,+8),

T2TI

所以函数y=/(%)在点P(&,f(&))处的切线方程/方程为：y—(泻+In%)=(T+-)(工-人),

2e£ez%

则9(上)-(]+7—x0)+(7^2+1”』)，

、X2

设尸⑺=〃工)一g")=丁+h"

一"消+7")(工一如)+(£+hur())]»

则/(%。)=°，

所以FG)=r%)—“(%)=1++.)

X—x11

=--0----1-------

2

exx0

=黄*_沏)+窜=(一孙)6.),

当0<x0<e时,尸'(%)<0,则尸(%)在(&,£-)上单调递减,

XO

・・・xG(%0，幺)时,尸(%)<F(%o)=0,

此时/⑶-或为<o,

X-X0

当％o>e时，尸'(%)<0,F(%)在(幺,工。)上递单调减;

xo

x£(9，Xo)时，F(x)>F(x0)=o,此时”:野)<0,

•••y=F(x)在(0,e)U(e,+8)上不存在“类对称点”，

若x0=e,=0,

则F(x)在(0,+8)上是增函数，当x>打时，F(x)>F(x0)=0,

当口<%()时,F(x)<F(x0)=0,

故f(：)-：(X)>0,即此时点p是y=f(x)的，，类对称中心点”，

X-XQ

综上可得，y=F(x)存在“类对称中心点”，e是一个“类对称中心点”的横坐标,

e23

又/(e)=*+h此'=g，

所以函数的“类对称中心点”的坐标是(e,|),

故答案为®|).

20.答案：207r

解析：

本题主要考三棱锥外接球的表面积的求法，解题的关键主要是确定球心的位置，计算球的半径，属

于中档题.

先结合余弦定理求出A。，AC,结合已知及勾股定理可判断出ABAD,ABAC为直角三角形，从而确

定球心位置，然后结合外接球的性质可求半径，进而可求.

解：由条件得

AD=y/BA2+BD2-2BA-DD-cosZABD=/(遇尸+(2i/2)2—2xgx2^2-«)«60°=\/6

AC=y/BA2+BC2-2BA-BC-co«ZABC=一2x0xZv^cos眇=瓜

所以4c2+AB2=BC2,AD2+AB2=BD2,故^BAD,△BAC为直角三角形，即48LAD,AB1AC,

ACHAD=A,AC,力Du平面ACT),

所以481平面4C£),

由对称性可得三棱锥4-BCD的外接球的球心在过△ACD的外心E且与平面ACD垂直的垂线上，设

为点。，则0E=；AB.

D

AC2+AD2-CD2(v/6)2+(v/6)2

因为(1AD=

2AC-AD

所以sinZCAD=\/l—cos2ZCAD={I_=~~~,

…1CD143V2

故4ACD外接圆的半径r=AE=--—EXB=2X^=—

3

22222

则外接球的半径辟=OA=OE+AE=6AB/+AE=(y)+(怜2=5.

故外接球的表面积为.HR，ITTx520TT.

故答案为：207r.

21.答案：V3-日

解析：

本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算和导数的应用，解题的关键是建立起体积的函数模

型，理解函数的单调性与最值的关系是解本题的重点，属于中档题.

圆锥的底面半径为「，高为h,体积为匕求出r2+/=R2,R=n表示出体积表达式，利用导数

nr

求出函数的最大值，得到结果.

解：由题意知，圆锥母线长为R,设圆锥底面的半径为r,高为/?,

则八+h2=R2,且工,2nr-R=SR=―,

2nrf

圆锥筒的体积U=等=?R2_T2=9J($2_r2=扣s2r2一兀2r6,

令N=te(°,；)，u(t)=S2r2—7T2r6=S2t—TT2t3,

令a'(t)=S2—3n2t2=0,得t=高€(0,；),

当0<t<卷时，M(t)>0,当看<t<制，M©<0,

所以当且仅当t=亳，即八=岛时，a(t)取得最大值，

即这个圆锥筒的体积最大，此时扇形的半径/?=£=也•良

nrY7T