数学人教版七年级上册说课

第五章相交线与平行线

本/章/整/体/说/课

Q教学目标

“知识写技能K

1.理解对顶角的概念，探索并掌握对顶角相等的性质;理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器画

出已知直线的垂线.

2.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离;掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与已知

直线垂直.

3.了解同位角、内错角、同旁内角的概念,并学会识别;理解平行线的概念;过直线外一点有且只有一条

直线与这条直线平行;掌握平行线的性质.

4.掌握基本事实:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等;了解平行线性质定理的证明.

5.能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

6.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等（或同旁内角

互补），那么这两条直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截，内错角、同位

角相等或同旁内角互补.

7.了解命题、定理、证明的一些基本知识，能判断命题的真假，了解反例的作用，利用反例可以判断一个

命题是错误的;掌握平移的概念，理解和掌握平移的性质，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用，能

运用图形的平移进行图案设计.

*过程写方本

1.密切结合现实生活中的实例，创设情境，使学生经过自己的观察与思考，了解相关概念的本质,达到认

识概念、会用概念识别相关问题的目的.

2.通过探究”“试做”“观察与思考”等多种形式，尽可能地让学生经历一个亲身感受、领悟发现的过程.

3.充分引导学生自己动眼、动手、动脑去发现事实、感悟事实、理解事实、推出事实,同时注意培养

学生的逻辑思维，要将几何问题初步展开推理.

4.以基本事实为依据，通过数学说理的方法,推导出平行线的判定方法、平行线的性质以及其他一些有

用的结论.

1.培养学生学习图形与几何知识的兴趣，通过交流活动,初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交

流的意识.

2.让学生通过动手操作，感受知识的形成过程,树立认真的学习态度，激发学生的学习热情.

3.利用小组合作学习的方法，让学生在学习中多与同学进行交流，多种感官参与学习，主动探索,发现规

律，归纳概括,养成学数学、爱数学的情感.

0教材分析

平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所研究的基本问题，本章在学生已有知识和经验的基础上，

继续研究平面内两条直线的位置关系.首先研究了两条直线相交的情形，探究了两条直线相交所成的角的位

置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念捐出了“对顶角相等”的结论.垂直作为两条直线相交的特殊情

形，在生活中有着广泛的应用，与它有关的概念和结论也是学牙'平面直角坐标系”的直接基础.本章对垂直的

情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给

出了点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.其次教科书研究了两条直

线被第三条直线所截的情形，给出了同位角、内错角、同旁内角的概念，为接下来的研究平行作准备.

对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入了一个基本事实（平行公理），以此为出发点探讨

平行线的判定和平行线的性质.对于平行线的判定，教科书首先结合三角尺画平行线的方法给出“同位角相

等，两直线平行”的结论,并由此推理出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.平行线的性

质也是由类似的方法得出.教科书接下来对命题及其组成、真假命题、定理作了简单介绍，使学生初步接触

有关形式逻辑的概念和术语，并以“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直

于另一条”为例，介绍了什么是证明.本章最后一节安排了有关平移的内容,图形的变化是‘图形与几何”领域

中一块重要的内容,通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形运动起来.因此图形变化是研究几何问

题、发现几何结论的有效工具.

a教学重难点

【重点】

1.了解邻补角、对顶角的概念，掌握其相关性质.

2.理解和掌握垂线、垂线段、垂直的概念及性质.

3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念和平行线的判定及性质定理.

【难点】

1.能熟练应用平行线的判定和性质定理解决问题.

2.运用本章的相关知识解决简单的生活问题.

教学建议

相交线和平行线不仅是几何学习的基础，而且还大量地体现在现实世界中.尽管学生对本章内容并不陌

生,但如何使学生把学习过程真正成为自己的数学思考过程,使数学事实的形成过程变为自己的发现过程，

则是本章着重思考的问题.

1.对于相交线的学习，要让学生通过实例认识相交线中的一些有关知识，让学生动手，使用量角器过一点

画一条直线的垂线，并会利用身边的现有工具或材料过一点画一条直线的垂线，不要拘泥于三角尺或量角器.

对于同位角、内错角、同旁内角,教材中没有给出精确的定义，因此要让学生能用一些简单的数学语言叙述

图形的某些位置关系，并注意符号的使用.

2.在平行线的判定及性质的教学中，应继续对学生进行初步的数学语言的训练，使学生能用数学语言叙

述直线的平行关系，并注意平行符号的使用，应注意渗透逻辑推理的思想.

3.在平移的教学中要注意结合图形，让学生体会平移的思想，使学生通过观察测量,掌握平移过程中图形

的变化，并能够利用平移解决简单的实际问题.

«课时划分

5.1相交线

5.1.1相交线（1课时）课才

5.1.2垂线（2课时）

5.1.3同位角、内错角、同旁内角（1课时）

5.2平行线及其判定

5.2.1平行线（1课时）2课时

5.2.2平行线的判定（1课时）

5.3平行线的性质

5.3.1平行线的性质（1课时）2课时

5.3.2命题、定理、证明（1课时）

5.4平移1课时

单元概括整合1课时

课/时/教/学/详/案

5.1相交线

¥教学目标

知识与技能

1.理解对顶角的概念，探索并掌握对顶角的性质;理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器画已知

直线的垂线.

2.理解点到直线的意义，会度量点到直线的距离.

3.能在复杂图形中识别同位角、内错角和同旁内角.

♦过程写方源

1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程,努力学习数学语言.

2.能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系.

1.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心.

2.让学生感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识.

G教学重难点

【重点】垂直的概念、同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置.

【难点】点到直线的距寓，正确识别同位角、内错角、同旁内角.

5.1.1相交线

■整体设计

教学目标

喋口―盲技■能，

理解并掌握对顶角、邻补角的概念.

.过程靠年

1.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念，培养识图能力、推理能力和表达能力.

2.在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角相等，并能

运用它解决一些简单问题.

［情感态度写价值观

引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获

取成功的体验，树立学习的信心.

（t教学重难点

【重点】对顶角的性质.

【难点】理解对顶角相等的性质的探索.

Q教学准备

【教师准备】直尺、量角器、剪刀、硬纸板.

【学生准备】直尺、三角板.

旧教学过程

反新课导入

导入一：

如图所示,要想测量两堵围墙所形成的，力。8的度数（人不能进入围墙内，又不能站在围墙上），甲、乙两

人各有如下的测量方法：

甲:延长力。至G测得NBOC的度数，可知的度数.

乙:延长力。至G延长5。至测得NC。。的度数，可知N/108的度数.

4占E证业占出

你知道他们这样测量的道理吗？

导入二：

教师出示一块硬纸板和一把剪刀,表演剪纸板的过程.

问题:剪刀两个把手之间的角发生了什么变化？剪刀的张口怎么变化？

教师展示剪纸板的过程，学生认真观察.

教师应当注意先提出问题，以免在操作过程中分散学生的注意力，使学生没有注意观察应该观察的内容.

学生观察以后，回答提出的问题.

教师引导:如果将剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.

［设计意图］通过动手操作，激发学生兴趣,同时使学生感受生活中的数学现象，通过教师的引导,使学生

将剪刀张口的变化抽象成两条直线交角的变化，将实际问题转化为数学问题.

导入三：

在我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本节课要研究相交线所成的角和它的特征.

教师多媒体出示相关的图片：

学生欣赏图片，并从中观察相交线、平行线的实例.

［设计意图］直接提出本节课的学习重点，使学生有一个明确的目标，对本节课的学习要点做到心中有

陷新知构建

一、邻补角与对顶角的概念

［过渡语］(针对导入二)通过刚才的观察，我们知道握紧剪刀把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小,

剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开纸板.下面我们就来研究这两条直线相交所形成的角.

问题1邻补角

如教材图5.1-2,教师提出问题：

1.在位置关系上,"和N2有什么特点？

2.量一量，在数量关系上,N1和N2有什么特点？

提示:在位置关系上,/1和有一个公共边OC,另一边互为反向延长线;在"和N2的数量关系上，学

生可能从大小关系上进行比较,此时注意引导学生从两个角的和的关系去探求.

问题总结:有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角,互为邻补角.

追问:(1)在教材图5.1-2中，有几组邻补角？

(2)在教材图5.1-1中，剪刀把手之间角度变化的过程中，这种关系还存在吗？

提示:⑴有四组邻补角，分别是"和N2,N2和/3,/3和4/1和N4;⑵这种关系依旧存在.

［知识拓展］(1)邻补角指的是角的特殊位置关系，即这两个角相邻(有一条公共的边)，从数量关系上说

这两个角互补.

(2)邻补角指的是两个角之间的互补关系.

(3)邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.

问题2对顶角

［过渡语］在教材图5.1-2中,/和,3之间有什么关系呢？

学生再观察教材图5.1-2,教师提出问题：

(1)在位置上,3和N3有什么特点？

(2)量一量，在数量关系上,力和,3有什么特点？

提示:(1)在位置关系上,/1和N3有一个公共顶点并且力的两边分别是N3的两边的反向延长线;(2)

通过测量和观察,学生可以发现力和,3是相等的.

概念提出:有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关

系的两个角,互为对顶角.

二、对顶角的性质

思路一

［过渡语］刚才通过测量和观察，我们发现了对顶角和N3是相等的.仅靠发现和观察,还不足以说明

就是科学的结论，这就需要我们证明这个结论,怎样证明呢？

性质证明：

〔解析〕在教材图5.1-2中,力和,2互补,/3和N2互补，由“同角的补角相等”可以得出N1=N3.同理,

我们可以得出/2=/4.这样我们就可以得出对顶角的性质:对顶角相等.

证明:因为"与，2互补,/3与N2互补(邻补角的定义)，所以N1=N3(同角的补角相等).

［设计意图］通过对图形中角的位置关系的探究，经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对

相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳，培养学生的总结概括能力，加深学

生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上，用科学的方法验证或证明自己的发现,这有利于培养学生的

科学思维习惯.

［知识拓展］(1)对顶角是指两个角的位置关系，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.

(2)对顶角是成对的,在数量关系上有特殊的关系一相等.

(3)两条直线相交所形成的四个角中，任意两个角不是对顶角就是邻补角.

思路二

［过渡语］刚才通过观察讨论,同学们了解了对顶角的概念，那么对顶角具有什么性质，下面我们就来一

起学习.

问题思考：

(1)在教材图5.1-2中有哪些角是对顶角？

(2)观察、测量每组对顶角,它们之间有什么数量关系？

(3)根据观察和测量，你的结论是什么？怎样去证明你的结论？

［设计意图］通过学生的动手和动脑实践，不但可以提升学生的学习兴趣,还有助于培养学生动手动脑

的行为习惯.通过发现问题并证明问题的活动，培养学生的科学探索精神.

性质证明：

〔解析〕如图所示,NAOC和互补,“IOC和N8OC互补，由“同角的补角相等”，可以得出n

类似地这样，我们就得到了对顶角的性质:对顶角相等.

证明:因为N/IOC和互补,NAOC和/8OC互补(邻补角的定义)，

所以同角的补角相等).

［设计意图］通过对角的度数的测量，使学生认识到邻补角与对顶角的性质，使学生从对这两类角的感

性认识上升到理性认识,通过对结论得出的说理过程，使学生初步感受推理的过程.

三、例题讲解

［过渡语］通过前面的研究和探讨，我们知道了邻补角互补，对顶角相等的性质.利用这些性质可以进行

角的一些计算.

b

例1如图所示，直线a力相交,』=40°,求N2,N3/4的度数.

［设计意图］先让学生尝试解决,这里学生能够说出角的度数，关键是学生能否做到言之有理，即初步尝

试使用推理的方法去解决问题,之后教师给出规范的答案.

〔解析〕计算角的度数，首先要考虑给定的角与所要求的角的位置关系和数量关系.从位置关系看，

在要求的三个角中,3和"存在着对顶角的关系,N2/4和/存在着邻补角的关系.

解:由邻补角的定义，得：

z2=180°-3=180°-40°=140°.

由对顶角相等，得：

z3=z1=40°,

z4=z2=140°.

例2(补充)如图所示，已知直线48与CZ?相交于点。,。£是的平分线,/"＞户=90°,若,

600=58°,求/C。尸的度数.

1解析)根据角平分线的定义求出/OOE再求出/£?所然后根据邻补角的定义列式计算即可得解.

解:因为OE是/8O。的平分线,/3。合58°,

所以工。。后射。写＞＜58。=29。，

因为N£O490。，

所以户年90°-29°=61°,

所以NCO4180°-N。。片180°-61°=119°.

［解题策略］本题考查了角平分线的定义，互为邻补角的两个角的和等于180。,熟记概念并准确识图，

理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

［设计意图］通过学生的尝试，一是让学生养成主动学习的习惯，二是让学生养成说理的习惯，做到步步

有据.

叵课堂小结

1.邻补角、对顶角的概念：

(1)有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角,互为邻补角.

(2)有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两

个角,互为对顶角.

(3)邻补角、对顶角是成对出现的，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.

2.邻补角、对顶角的性质：

(1)邻补角互补.但两个角的和等于180。,这两个角不一定是邻补角.

(2)对顶角相等.但反过来，相等的两个角不一定是对顶角.

区检测反馈

1.如图所示，下列判断正确的是()

A.图(1)中/和N2是一组对顶角

B.图(2)中山和N2是一组对顶角

C.图(3)中/和N2是一组邻补角

D.图(4)中"和,2是一组邻补角

解析:对顶角的定义:有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这

种位置关系的两个角，互为对顶角，邻补角的定义:有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关

系的两个角，互为邻补角，根据这两个定义进行分析.故选D.

2.如图所示，直线43,8相交于点。,“10070°,,2=40°,则的度数为()

A.300

B.35°

C.40°

D.70°

解析:因为"00=70°,所以/8。口=70°(对顶角相等)，因为/2=40°,所以/1=70°-40°=30°.故选A.

3.如图所示，直线49和CZ?相交于点。若"1。。与/8OC的和为236°,则N/IOC的度数为

()

A.62°

B.1180

C.72°

D.59°

解析:因为直线48和相交于点。上4。。与,8。。的和为236°,又因为与/8OC是对顶角,

所以“00180°等=62°.故选A.

4.如图所示，直线48与8相交于点。，射线。£平分/8OF

(1)N/I。。的对顶角是,N8OC的邻补角是;

(2)若以。。=20°/。。尸:/尸6比1:7,求NEOC的度数.

解析:⑴根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案;⑵根据以。820°和尸:“OSM:7,求出,

80尸等于140°,所以NEOS等于70°,所以NEOC等于90°.

解:(1)N8OCZAOC,ZBOD

(2)因为0E平分/8。打

所以/BOE=/EOF,

因为/DOF.NFO氏1:7,zAOg20°,

所以NOO胃/8。片*(180。-20。)=20。，

所以,804140°,

因为,8。尺射。/140。=70。,

PfT&.^EOC=zBOC+^EOB=200+70°=90°.

叵板书设计

5.1.1相交线

1.邻补角与对顶角的概念

2.对顶角的性质

3.例题讲解

例1

例2

度布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第3页练习.

【选做题】

教材第7页习题5.1第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知和47是对顶角，若，o=30°,则的度数为

A.30°B,60°C.70°D.1500

2.如图所示的四个图形中,/1与N2是邻补角的是

AB

3.下列说法正确的是（）

A.若两个角相等，则这两个角是对顶角

B.若两个角是对顶角，则这两个角相等

C.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等

D.所有的对顶角相等

4.如图所示，直线48,CZ?交于点射线。例平分N/IOC,若/8。。=76°,则等于

A.38°B,10400.142°D.144°

【能力提升】

5.如图所示，直线48,8相交于。,。£平分7。2/尸。。=90°,/1=40°,求/2和N3的度数.

6.如图所示，直线43,8相交于点O,OE是NCO8的平分线.

(1)图中有几对对顶角，请分别写出来；

⑵当,800=130°时，求NOQE的度数.

7.如图所示，直线48,CZ7,E尸相交于点O.

(1)写出NCOE的邻补角；

(2)分别写出/COE和/5QE的对顶角；

⑶如果,80。=60°,，8。e90°,求//1。尸和/尸0。的度数.

【拓展探究】

8.如图所示的各图形，寻找对顶角(不含平角).

(1)如图(1)所示，图中共有多少对对顶角？

(2)如图(2)所示，图中共有多少对对顶角？

(3)如图(3)所示，图中共有多少对对顶角？

(4)研究(1)~<3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有〃条直线相交于一点，则可形成多少对对

顶角？

(5)若有2016条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？

【答案与解析】

1.A(解析:因为za和4?是对顶角,/a=30°,所以根据对顶角相等可得/后NO=30°.故选A.)

2.D(解析:A,B选项,力与n2没有公共顶点且不相邻,不是邻补角;C选项,"与,2不互补，不是邻补角;D选

项，互补且相邻，是邻补角.故选D.)

3.B(解析:根据对顶角的定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具

有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以选项A.C错误;根据对顶角的性质:对顶角相等,知选项D错误.

故选B.)

4.C(解析:因为N8OZ>76°,所以(对顶角相等).又因为NSOC和,80。互为邻补角，所以/

BOO\800-76°=104°.因为射线平分所以‘"0038°,所以

例OC=104°+38°=142°.故选C.)

5.解:因为/月。。=90°,/=40。,48为直线,所以/3+/尸。。+/1=180°,所以/3=180°-90°-40°=50°.因为/3与/

AOD互补，所以180°-z3=130°,因为OE平分所以‘2弓"。9=65°.

6.解:（1）图中有两对对顶角,分别为NAOC与与N8OC（2）由。£是/CQ8的平分线，得，

CO£^N8OC=65°,由邻补角的性质彳导NZ?OE=180°-NCO6=180°-65°=115°.

7.解:（1）NCQE的邻补角为/CO尸和（2）NCOE和N8O£的对顶角分别为n。。尸和”!。£（3）因为

/或为=90°,所以4a_&；所以“10490°,又因为〃。0/3。比60°,所以,尸。OFg/

4。（＞90°+60°=150°.

8.解:（1）有2对对顶角.（2）有6对对顶角.（3）有12对对顶角.（4）有"条直线时，有对对顶角.

⑸当方2016时,可形成2016x2015=4062240对对顶角.

——教学反思

「九成功之处

相交线是第五章第一小节的内容,在第一学期学生已经学习并掌握了直线、角等概念，在此基础上继续

学习两条直线相交的情况以及在这种情况下所形成的角的关系——邻补角、对顶角.平面内两条直线的位

置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题，是初中阶段学习的重点内容之一，同时也是平面几何图形由简

单到复杂的最基本图形之一——由两条直线相交构成的角.因此本课时的教学重点是对顶角的性质与应用,

教学难点是对顶角性质的几何语言的表达.在教学中教师能够结合图形让学生通过观察、猜测、分类等方

法找到两条直线相交所形成的角的位置关系和数量关系，很好地掌握了邻补角和对顶角的特征，另外加强对

比和反例的说明，对于学生对知识的理解和掌握起到了强化、深入的作用.

（斗不足之处

从教学的过程看，学生掌握知识的难度要小于对顶角性质推理的难度.在本课时的教学过程中,虽然注

重强化了学生对对顶角性质推理的认识，但对个别学生的指导和关注不够，导致部分学习有困难的学生对推

理说明的题目掌握不好.在解题过程中出现乱、繁等现象（个别学生甚至无法下手），课后要根据实际情况及

时进行补差补缺，争取不让一个学生掉队.

Q］再教设计

（1）加强练习，强化解题的步骤和说理，让学生在解题的过程中做到有理有据,真正掌握知识.在学生做题

的过程中,教师要加强巡视指导，对于学生出现的共性问题，一定要加以指出.

（2）教学过程中要面向全体学生，能让全体学生完成的，绝不止个别学生完成,能让学生集体讨论的问题，

不能让某个掌握较快的学生包办代替，要充分发挥每个学生的主动性.

旧教材习题解答

练习（教材第4页）

解:把该模型看成是两条相交的直线并标上角，如图所示.邻补角有:"与N2.N1与与N3/3与za对顶

角有:』与N3,N2与za若NO=35°,贝I］N1=N3=180°-NO=145°,N2=NO=35°.若NO=90°,贝UN1=N3=90°,N2=N

0=90°.若N<7=115°厕"=N3=65°,N2=NO=115°.若NO="厕,1=N3=180°-m°,N2=NO=/7A

一备课资源

—>教学建议

(1)邻补角是既互补又相邻的两个角，既考虑两个角的大小关系，又考虑两个角的位置关系.如果两个角

互为邻补角，那么这两个角一定互补，反之，两个角互补，这两个角不一定互为邻补角.一个角的补角有很多个,

但一个角的邻补角只能有两个.

(2)关于对顶角的定义应注意，只有当两条直线相交时，才能产生对顶角;对顶角是成对出现的，对顶角是

对特殊位置关系的两个角而言的.

(3)关于对顶角的性质，要注意不要与对顶角的定义混淆.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，反之,

如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角.

取回如图所示，直线48。。,£尸相交于点指出“IOGZEOS的对顶角及N49C的邻补角.图中一

共有几对对顶角(不含平角)？几对邻补角？

〔解析)本题考查判断一对角是不是对顶角或邻补角.找一个角的对顶角时，可分别反向延长这

个角的两边，以两边的反向延长线为边的角即是原角的对顶角.找一个角的邻补角时，可先固定一边,反向延

长另一边,则由固定边和延长线组成的角即是原角的邻补角.N/IOC的邻补角应有两个，因为固定。4,反向

延长。。得到,4。。,或固定OG反向延长04得到它们都是的邻补角.三条直线相交于一点,

共有三组不同的两条直线相交，即48与CD,AB与EFCD与比每两条直线相交,都得到2对对顶角、4

对邻补角，故有3x2对对顶角,3x4对邻补角.

解的对顶角是的对顶角是NAOAN/OC的邻补角是图中共有6对

对顶角、12对邻补角.

［解题策略］解决这类问题要抓住对顶角、邻补角的特征，前提条件是两条直线相交，对顶角无公共边,

邻补角有公共边.

5.1.2垂线

c教学目标

“钳识号附能M

1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义，并能用符号表示.

2.掌握垂线的性质，会过一点作已知直线的垂线.

噎程荀弼"

经历垂线的画法，垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程，尝试从不同角度寻求垂线的画法，用不

同方法得到垂线的性质.

「阍彝鳄侨i研

通过与生活相联系，让学生对数学产生兴趣，认识到数学的实用价值.

①教学重难点

【重点】垂线、垂线段、点到直线的距离的概念.

【难点】垂线的性质和点到直线的距离.

第①课时

——整体设.

G教学目标

‘知识'号转1能一

1.知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念.

2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

・过程,前审

通过操作、探究等活动，培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性

认识.

广靛态度与价面贮

通过生动、有趣的活动，使学生积极参与到数学活动中，并在活动中感受成功的快乐.

①教学重难点

【重点】垂线的定义，用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

【难点】过一点画已知直线的垂线.

♦,教学准备

【教师准备】相交线模型、三角尺、量角器.

【学生准备】三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.

S教学过程

E新课导入

导入一：

出示意大利比萨斜塔图片.

师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗？对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢？如

图所示，直线48可以看成地平面，射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题，就涉及我们要学习

的垂线问题.

［设计意图］从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题，更能唤起学生探求新知的欲望.

导入二：

（学生事先准备宽约为1cm,长约为20cm的两张硬纸条，图钉一个）

课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起，提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两

条直线相交有几个交点？

如图所示，可以看到，直线48与8相交，只有一个交点,可以说明直线AS,CO相交于点。

【思考】两条直线相交所构成的四个角能否相等？

［设计意图］用现实生活中的例子，引入相交线所成的角，为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发

学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.

导入三：

____/

c____________p

H

如图所示，直线相交于点。，若"=90°,求其他三个角.

教师出示问题，学生独立解决问题，并在练习本上书写解答过程.

在这一过程中，教师应当关注学生是否能够独立完成问题，并且能否较规范地写出解答过程.然后学生

口述过程并说明理由.

［设计意图］通过练习，一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论

证能力.

国新知构建

一、探究垂线的概念

思路一

1.垂直的概念.

［过渡语］相交线所形成的四个角中有邻补角、对顶角，都会形成怎样的角呢？请同学们观察老师手中

的相交线模型.

利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.

教师出示相交线模型，如图⑴所示，固定其中一个木条a,转动另一个木条。在这一过程中，它们的交角

NO在不停地变化，这一过程中，一定会出现它们的交角等于90°的情况，这时我们说a与。互相垂直,这时其

中一条直线叫另一条直线的垂线，记作ai。,它们的交点叫做垂足，如图（2）所示,可记作4818,垂足为O.

推理过程如下：

因为/4。。=90°（已知），

所以431田垂直定义）.

［设计意图］通过模型的展示让学生认识到，垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感

性的认识，进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述，使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.

【知识拓展］⑴垂直是相交线中一种特殊形式，当垂直时，这个公共点即为垂足.

（2）线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相

垂直.

（3）根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之，若两条直

线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.

2.感受生活中互相垂直的实例.

【思考】生活中有许多垂直的例子，你能举出一些例子吗？

教师出示图片:（提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系）

学生从中观察相互垂直的直线，然后举出一些互相垂直的例子.

［设计意图］通过对实物的感知，使学生认识到生活中处处有数学图形，在感受生活中的数学的同时加

深对垂线的理解与掌握.

3.例题讲解（自设）.

例1如图所示，三条直线相交于点。.若。。“8/1=56。,则/2等于（)

A.300B.34°

C.45°D.56°

A

〔解析〕z1和N2既不是对顶角也不是邻补角，这就需要根据给出的N1的度数和相关位置进行思考.

根据已知条件，把CCLA8转化为NAOO=NCQ9=90°是关键.发现以。。上。。8分别是/2的邻补角和对顶

角后,问题即可解决.方法1:因为CQL/13,所以NCO6=90°,所以/。。6=90°-/=90°-56°=34°.所以N2=N

0g34°(对顶角相等).方法2:因为所以NCO6=90°,所以“1。。=90°+/1=90°+56°=146°.所以n

2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.

［设计意图］角度计算题，目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.

思路二

1.实验探究.

教师自制教具，将两根木条钉在一起(如图所示)，固定其中一根木条a,转动木条。请学生观察：

问题:在木条。的转动过程中，哪个量也随之发生改变？

师生活动:学生发言，相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和

性质.

教师追问(1):当a与。所成角a为90°时，其余各角分别为多少度？

师生活动:教师引导学生发现，当a与。所成角a为90。时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的

一种情况.

教师追问(2):这时木条a与。有何位置关系呢？

师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道，此时木条a与。互相垂直.

［设计意图］让学生借助已有的知识发现数学问题，并解决问题，进一步提高对垂直概念的认识.

2.变换角度，认识垂直.

仔细观察下图，当两条直线相交时所形成的4个角中，有一个角为90。,可以得出这两条直线有何位置关

系呢？

师生活动:学生回答，并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念，并给出垂直的符号表

教师追问(1):如图所示，如何用符号语言表示垂直的定义呢？

师生活动:学生观察图形，独立完成用符号语言表示垂直的定义，教师点拔，规范学生的书写过程.

如图所示，若48和8相交，且"=90°,则直线43和C。互相垂直,记作“8LC〃'(或血4”读作

28垂直于C。'.如果垂足是记作“491C2垂足为O.一般地，垂直在图中用表示，在推理计算的过程

中用表示.

教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直？两条线段呢？

师生活动:学生积极踊跃发言，教师做总结，提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线

垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直.

根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直，则相交所成的四个角为直角;反之，若两条直

线的交角为直角，则这两条直线互相垂直.如图所示，这个推理过程可以写成:因为AflLCq已知)，所以n

4。。=/£?。5=/8。。=〃。。=90°(垂直的定义);反之,因为〃。。=90°(已知),所以ABLCD.

［设计意图］教师弓I导学生用几何语言描述图形的位置关系，并学会用符号语言表示，培养学生表达几

何图形的能力.

教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？

［设计意图］学生列举身边的实物，能由实物的形状想象出直线的垂直关系，将新知识应用到对周围环

境的直接感知中，有利于学生建立直观、形象的数学模型.

二、垂线的画法和性质

［过渡语］在一条直线上可以画无数条这条直线的垂线，那么经过直线外一点可以画几条这样的直线

呢？

利用三角尺或量角器，可以过一点画出已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法.

问题：

1.用三角尺或量角器画已知直线/的垂线，这样的垂线能画出几条？

2.经过直线/上一点A画/的垂线，这样的垂线能画出几条？

3.经过直线/外一点8画/的垂线，这样的垂线能画出几条？

画法点拨:过一点画已知直线的垂线，可以用直角三角板来画,具体步骤为：

(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上；

(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点；

(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示，图⑴是点在直线/上，图⑵是点在直线/外.

两直线垂直的概念中的核心内容是直角，所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了，画错了位

置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即

过此点画已知直线的垂线)，在画垂线时要注意只有满足上述条件时，这两条直线才是垂直的.另外要画的已

知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.

提示:(1)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括

两种情况:。点在直线外;②点在直线上.

活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试，然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.

师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即在同一平面内,过一点

有且只有一条直线与已知直线垂直.

［设计意图］通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法，使学生手脑并用，加深印象.通过师生

的共同总结，培养学生的归纳总结能力，同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.

例2(补充)如图(1)所示，在三角形48C中,n3c4为钝角.

(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;

(2)画出过点A且与线段5c垂直的直线.

〔解析〕利用三角尺的直角正确画出图形，注意垂足的位置.(1)过点C作48的垂线，垂足在线段

上.(2)因为/8C4是钝角，过点4画8c的垂线时,垂足在8C的延长线上.

解:(1)过点C画48的垂线，交A3于8就是所求，如图(2)所示.

(2)过点4画8c的垂线，交8c的延长线于E点就是要求的垂线，如图(2)所示.

［知识拓展］(1)在同一平面内，经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条.

(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段

的延长线上(如图所示).

(3)画垂线时是实线，此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.

巨课堂小结

1.垂线的概念：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另

一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2.垂线的性质：

(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(2)“有且只有"中，“有'指"存在性”,“只有'指"唯一性”.

(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.

肛检测反馈

1.下列说法中，正确的个数是()

①相等的角是对顶角；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；

③两条直线相交有且只有一个交点；

④两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直.

A.1B.2C.3D.4

解析:两角相等指的是数量关系上的相等，对顶角是特殊位置关系的相等的角，故①错误;在同一平面内,

过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故②正确;两条直线相交有且只有一个交点，故③正确;两条直线

相交成直角，则这两条直线互相垂直，故④正确.即正确的个数是3.故选C.

2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有()

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角；

②两条直线相交所成的四个角相等；

③两条直线相交所成的四个角中，有一组相邻的角相等；

④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.

A.4个B.3个C.2个D.1个

解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断;②两条直线相交所成的四个角

相等，则四个角都是直角，能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义

能求出这两个角都是直角，能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角

相等求出这两个角都是直角，能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.

3.如图所示，过户点，画出射线04,08的垂线.

解析:图(1)的尸点在射线04。3之外，图(2)的9点在射线OA之外,在射线之上.图(2)过点尸作

射线的垂线时，要注意垂足在射线的反向延长线上，需要用虚线表示延长线.

解:如图所示.

4.如图所示，直线43,8相交于点OQELC2Q£M5,/8QO=25°,求“1OE和尸的度数.

解:因为OE，CDQF\ABuBOD=W。,

所以N/4O6=90°-25°=65°,

N〃Oe90°+25°=115°.

区板书设计

第1课时

1.探究垂线的概念

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另

一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

例1

2.垂线的画法和性质

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

例2

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第5页练习第1,2题.

【选做题】

教材第8页习题5.1第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,已知点。在直线48上。QL。。于点。，若则/3的度数为（）

十

A.35°B.45°C.55°D.65°

2.两条直线相交所构成的四个角中：

①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.

其中能判定这两条直线垂直的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图所示,在正方体中和48同在一个平面，且和48垂直的边有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

AB

3

4.如图所示，已知相交于OQELC。于则NSOE等于（）

A.30°B.60°C.120°D.1300

【能力提升】

5.如图所示，已知直线49和8相交于。点,CQLOEQ尸平分434。,求的度数.

6.如图所示，已知0cL48于O、zAOD：zCOD=1,2.

（1）若OE平分n80G求的度数；

（2）若N/IOE的度数比NCOE的度数的3倍多30°,试判断。。与QE的位置关系,并说明理由.

7.如图所示，直线48,8相交于点2/8。。=40°,按下列要求画图并回答问题.

.4/ItH

(1)在直线45上方画射线。£使0E\A8,

(2)分别在射线。4,。£上截取线段OMON,使。例=。夕连接MN,

(3)画的平分线OF,交MN于息F;

(4)直接写出/CO厂和nEOF的度数:nCOF=度,nEOF=度.

【拓展探究】

8.(1)在图(1)中以尸为顶点画/只使，尸的两边分别和"的两边垂直；

(2)量一量图(1)中/户和"的度数，它们之间的数量关系是；

(3)同样在图(2)和图(3)中以尸为顶点作，户,使n户的两边分别和脑的两边垂直，分别写出图(2)和图(3)中/9

和力之间的数量关系(不要求写出