高中数学《向量数乘运算及其几何意义》导学案

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

I课前自主预习飞

1.向量的数乘

结果m向量

定义实数义与向量。的积

记作[2]Xa

长度|Aa|=⑶

当义〉0时.小的方向与。的方向团相同

方向当义〈0时.入。的方向与a的方向⑸相反

当a=0时，/a=—0

总结向量的加、减、数乘运算统称为向量的⑦线性运算

2.实数与向量的积的运算律

设入，"为实数.那么

(1)=⑻(义浦。

运算律

(2)(入+R)ct=⑼/。—[乂。

(3)入(。十0)=①]3—油

(―A)a=—(A«)=A(——t)=Aa—

特别情况

Xb

对于任意向量a,。.任意实数人的，〃2恒有

推广形式

/(凶。土〃2>)=。±/幺2b

J

3.共线向量定理

叵I向量a(aWO)与方共线，当且仅当有唯---个实数2,使)=

Xa,

R自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)2。的方向与G的方向一致.()

(2)共线向量定理中，条件GWO可以去掉.()

(3)对于任意实数相和向量a,b,若ma=mb,贝1Ja=〃.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)下列各式中不表示向量的是()

A.0a

B.a+3b

C.13al

D.y£R,且％Wy)

答案C

解析13al是一个实数，不表示向量.

(2)下列各式计算正确的有()

①(一7)6。=-42田②7(a+8)一88=7a+15b；

(3)a~2b-\-a+2b=2a；@4(2a+ft)=8«+4Z>.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

解析①③④正确.

(3)已知向量。，方不共线，c=^+〃(％£R),d=a-b,如果c〃

d,那么()

A.%=1且c与d同向B.Z=1且c与d反向

C.4=一1且c与d同向D.2=—1且c与d反向

答案D

解析c//d则c—).d,即ka-\-b—Xa—Xb,

（4）（教材改编P90T4）已知向量a=2e,5=-e,贝lja与b.（填

“共线”或“不共线”）

答案共线

解析因为“=一28，所以a与b共线.

卜课堂互动探究

探究1向量的数乘运算

例1化简下列各式：

(l)3(6a+0)-9(a+"d；

(2曲34+25)-[«+，)-2俣+副；

(3)2(5。-4b+c)-3(。-3〃+c)-7a.

解(1)原式=18。+36—9a—3〃=9a.

(2)原式=52a+5“一〃-波=。+9_Q_"=0.

(3)原式=10。-85+2c—3。+9b—3c—7a=b—c.

拓展提升

向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算

中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量

的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实

数看作是向量的系数.

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代

数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算

律，简化运算.

【跟踪训练1】(1)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求国一，一

a)+(28-a)；

(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关

系式3x—2y=a,-4%+3y=)，求向量x,y.

1?

解(1)原式=2a—b—〃+1。+2)一a

=卜1—1%+(—1+|+2)

=-|«+|z>=-j(3z+2/)+|(2z-j)

10_5\

=(-5+等+33/

5.一

=一下一5/

3x-2y=a,①

(2)

—4x+3y=〃,②

①X3+②X2,得

X=3Q+2Z>,再代入①，得

y—4a+3b.

探究2向量的线性运算的应用

—>—►-►-►

例2如图，四边形A8CO是一个梯形,A8〃C。且|A8|=2|CD|,

―►-A

M,N分别是。C,4B的中点，已知AB=ei,AD=ei,试用ei,ez表

示下列向量.

(1)AC=；

-A

(2)MN=.

—►-A

解析(1)因为AB〃CO,

\AB\=2\CD\,

所以AB=2DC,DC=^AB.

—►—►-►

AC=AD-\-DC=e2~\-^e\.

—►—►—►―►

Q)MN=MD+DA+AN

-A-A->

=-^DC-AD+^AB

1

-

-4e2

1

心

11

答案-

-2!\-e2

2/4el

［互动探究］在本例中，若条件改为3C=ei,AZ)=e2,试用ei,

—►

改表示向量MN.

-A—►—►—►—►-A—>-A

解因为〃N=MO+OA+AN,MN=MC+CB+BN,

—►—►—►―►—►―►―►

所以2MN=(MD+MC)+ZM+CB+(AN+3M.

又因为M,N分别是。C,A3的中点，

—>—►—>—►

所以MO+MC=0,AN+BN=6

―►—►-►

所以2MN=DA+CB,

—►—►-►

所以MN=g(_AD—'BC)=_/—/.

拓展提升

用已知向量表ZF其他向量的两种方法

(1)直接法

结合图形的特征，把待求向量放在

(画囹)

三角形或平行四边形中

JL结合向量的三角形法则或平行四边

G一形法则及向量共线定理用已知向量

［表示未知向量.

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形

法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量

的方程.

【跟踪训练2】如图所示，已知QABCO的边8C,CD上的中

-A―►—►—►

点分别为K,L,且AK=ei,AL=e2,试用ei,及表示3C,CD.

解解法一：设BC=x,则3K=5,

—►—►—►―►

AB=AK+KB=ei—^x,DL=^e\—^c.

—►—►>►­]

又AD=x,由A£>+QL=4"得x+]ei—肝=02.

42f42

解方程得1=于2—gei,即3。=下2一铲1.

—►―►-►

由CZ)=—AB,AB=e\—^x9

f42

得CZ)=—gei+下2.

解法二：设3C=x,CD=y,

—►―►

11

则BK=]x,DL——^y.

-►—>—►—►—►-►

由A8+8K=AK,AD+DL=AL,

—y+^x=e\,①

得，1

x~^y=ei.②

—2X②+①，得/—2x=e\-2&,x=*2e2—ei).

2f42

同理得y=g(-2ei+e2),即3C=产一孑，

’42

CQ=-gei+Qe2.

解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线交于点石，则△ZUA

^△CLE.

从而AE=2AL,CE=AD,KE=3BC,

-A-A-A-A

3

由KE=A£—AK,得]8C=2e2—ei,

f242

即3。=五2出一《。=产一/

242

同理可得C£>=］(-2ei+e2)=—于1+于2.

探究3共线定理的应用

例3已知非零向量⑨，及不共线.

―►—►-►

(1)如果A8=ei+e2,BC=2e,+8e2,CD=3(ei~e2),求证：A,B,

。三点共线；

(2)欲使Ze】+e2和4+山2共线，试确定实数Z的值.

—"►

解(1)证明：•.•A3=ei+e2,

—►—►—►-►

3Z)=3C+C£)=2ei+8e2+3ei—3e2=5(ei+ei)=5AB.

­►-►

：.AB,8D共线，且有公共点3.

AA,B,。三点共线.

(2),;Oi+e2和ei+履2共线,

.•.存在实数2,使她+e2="ei+既2),

即(k-X)e\=(Xk—1)C2.

7：—2=0,

Tei与e2不共线，,八解得2=±1.

AA：—1=0,

［变式探究］将例3条件不变，(2)改为：欲使於1+262和2g+

题2共线，试确定k的值.

解..,氏1+2。2和2幻+既2共线，

.•.存在实数2使履1+2e2=2(2e1+kei),

即(k—2%)ei=(2左一2)^2,

Z—240,

,.Zi,02不共线，.二’“_解得％=±2.

A,/c2,

拓展提升

用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若5=〃370),且b与。所在的直线无公共点，则这两条直

线平行.

(2)若方=2a(aW0),且b与。所在的直线有公共点，则这两条直

—►—►―►―►—►-►

线重合.例如，若向量A3=2AC,则AB,AC共线，又A3与AC1有公共

点A,从而A,B,C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.

―►

【跟踪训练3](1)已知劭，C2是两个不共线的向量，若A3=2e]

~►-►

—8e2，CB=e\+3e2,CD=2e\—ei，求证：A,B,。三点共线；

—►-►

(2)已知A,B,P三点共线，0为直线外任意一点，若OP=xOA

―►

+yOB,求x+y的值.

―►-►

解(1)证明：•.•CB=ei+3e2,CD=2e}~ei,

—►―►—►

BD=CD—CB—e\—4%.

―►

又AB=2ei—8。2=2®-4e2),

-►—►―►―►

:.AB=2BD,J.AB//BD.

•「AB与8D有公共点B,

：.A,B,。三点共线.

―►—>

(2)由于A,B,P三点共线，所以向量49,A尸在同一直线上，由

—►-►

向量共线定理可知，必定存在实数丸使AP=2A&

—>—>—►-►

即0尸一OA=X(OB-OA),

所以。尸=(1—2)OA+2OB,

故％=1—九y=X,即％+y=l.

1

f-------------------------------------1那跳升-------------------

1.对2a的理解

(1)可以将。的长度扩大(|以>1时)，也可以缩小(|川<1时)；同时

可以不改变a的方向(2>0时)，也可以改变a的方向(2<0时)，与a

的方向相反.

(2)当2=0时，2a=0,而当仁W0时,若a=0,也有②=0.

(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数

与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：4+a,2—a

无意义.

2.对两向量共线的条件的理解

(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量

的积等于另一个向量.可以用来证明几何中的三点共线及两直线平

行的问题.

(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a=0,b/O时，不存

在实数％使得分=痴；若a=0,b=0,则存在不唯一的实数满足等

式.

(3)若a,〃不共线，且存在实数九〃，使〃a=2仇或〃a+劝=

0),则必有〃=4=0.因为a,〜不共线，则a,b必为非零向量，若

AWO,则方=%若〃W0,贝!J无论哪种情况都有a,b共线

与已知矛盾，故必有2=//=0.

(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数A,〃使

pa+入6=0,则a与6共线.

卜课堂达标自测

1.已知m,n是实数，a,b是向量，则下列命题中正确的为()

®m(a-b)=ma—mb；(2)(m—/?)a=ma—na；(3)^ma=mb,贝lja

=b\④若贝lj

A.①④B.①②C.①③D.③④

答案B

解析①②显然正确.③中当m=0时，对于任意两向量a,b,

分都成立，但不一定有。=方，故③错误.④中当a=0时，不

成立.故选B.

2.对于向量a,b有下列表示：

①a=2e,b=~2e；

②a=ei-02，b——2ei+2e2；

“2,1

(3)a=4ei—7e2,b=e\—~^e2；

®a=e\+ei,b=2e\—2ei.

其中，向量a,方一定共线的有()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

答案A

解析①中方=一”，贝la,方共线；

②中力=-2a,则a,力共线；

③中a=4b,则a,b共线.故选A.

3.已知％,y是实数，向量a,b不共线，若(%+y—

=0,贝I%=,y=.

答案22

%+y-1=0,1

解析由已知得八解得尸产今

[x-y=0,2

4.如图所示，在口A3CQ中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为

3c的中点，则MN=.（用a,b表示）

答案a)

―►-►

解析•:AN=3NC,M为3c的中点，贝!|

―►—►—►—►-►

MN=MC+CN=；BC—；AC

―►—►-►

=；A£)—1(A8+AO)

―►-►

=^AD-^AB=^b-a).

5.如图，在四边形A3CD中，E,F,G,H分别为BD,AB,AC

和CD的中点，求证：四边形石9G”为平行四边形.

证明VF,G分别是AB,4C的中点.

—>—>

:.FG=；BC.

—►—►

同理，EH=；BC.

/G=EH..•.四边形EFGH为平行四边形.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列各式计算正确的个数是()

①(一7>5。=—35a；②a—2A+2(a+b)=3a；③a+办一(a+〃)=0.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向

量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数.

—►

2.如图所示，。是△A8C的边A8上的中点，则向量8=()

A.BC—^BA

-A-►

B.-BC+^BA

—►—►

C.—BC—^BA

―►-►

D.BC+^JBA

答案B

-A-A

解析解法一：•.•。是的中点，...3。=；区4,

—►―►—►—►-►

:.CD=CB+BD=-BC+：BA.

解法二：由CQ=；(C8+CA)=g[CB+(C3+8A)]=C8+；8A=—

­►—>

BC+^BA.

―►-►-A

3.已知向量a,方，且AB=a+2"BC=-5a-\-6b,CD=7a—2b,

则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

答案A

—►—►—►—►—■►—►

解析AD=AC-\-CD=AB+BC+CD

=(a+2ft)+(-5«+6ft)+(7a-2Z>)

-A

=3a-\-6b—3AB,

：.A,B,。三点共线.故选A.

—►—►—►―►

4.若4B=3ei,CD=~5e\,且|AQ|=|3C|,则四边形ABCD是

()

A.平行四边形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

答案C

—►—►—►—►-►

3

解析因为所以AB〃C。，且|AB|W|CZ)|.而|AZ)|=

-►

\BC\,所以四边形ABC。为等腰梯形.

5.在平行四边形A8CQ中，AC与8D交于点O,E是线段0。

—►—►-►

的中点，AE的延长线与CQ交于点E若AC=a,BD=b,则A尸等于

112

-1-

A-力

4a+-23

D.|a

答案B

解析如图所示,

丁E是OO的中点，/.OE=：BD=，.

又△ABE<^r>△FDE,；.FE=DE=T

—►―►—►-►

3

：.AE=3EF,：.AE=^AF,

―►-►-A

在△AOE中，AE=AO+OE=^a-\-^b,

421

.,.A/uwAfMwa+w。.故选B.

二、填空题

6.设g,02是两个不共线的向量，若向量履1+2及与8ei+Ae2方

向相反，贝Ik=.

答案一4

解析..•2ei+2e2与8ei+Ze2共线，

二.ke\+2ei=4(8ei+kei)—82ei+Xkei.

k=8I,1=4，U=­I，

「♦2="解得"或”

口=4〔2=一4.

,.Zei+2e2与8ei+&2反向,/.A=—k=—4.

7.若4=—ei+3e2,方=4ei+2e2,c=-3ei+12e2,则向量a写

为2i8+22c的形式是.

I7

答案―Ti0十力c

解析若a=A仍+%2。，则一ei+3。2=九(4的+2。2)+22(—3ei+

12。2),**•-e1+3e2=(42i—322)«1+(2九+1222)62.

421—322=-1,~18'

解之，得j7

221+1222=3

22=药

8.如图，在△ABC中，点0是8C的中点，过点0的直线分别

—►—►—►-►

交直线AB,AC于不同的两点M,N,^AB=mAM,AC=nAN,则加

+〃的值为.

答案2

—►―►—►—►—►―►―►

解析解法一：因为AB=7%AM,AC=nAN,所以AM=」」Ai5,AN

m

-►—A—►—►—►-►

AC则MNANAAACAA

=~n9=—/=n—m-

―►―►―►—►

因为点。为BC的中点，连接4。，所以则M0

---►—►—►ZV-►-►

=AO—AM=^AB+^AC—^-AB=[j—~\ABJt-^AC,因为M,O,N三

乙乙ffI-!!VJ乙

点共线，所以可设MO=2MN,

消去义得已1一15+/7言;=0,变形整理可得机+〃=2.

，，I乙III

解法二：在△ABC中，连接AO.由于。是3c的中点，因此AO

—►—►—►-►

=^(AB+AC)=)3+/C.

-A-A-A-A

由于A3=/xAM,AC=nAN,

―►―►-►

则AO=-jmAM+^nAN.

由于Af,O,N三点共线，贝电+；"=1,

从而m-\-n=2.

三'解答题

9.如图，在△ABC中，D,厂分别是BC,AC的中点，AE=^AD,

AB=a,AC=b.

(1)用a,b分别表示向量AE,BF；

(2)求证：B,E,尸三点共线.

—►—►-►

解(1)VAD=1(A5+AQ=^(«+Z,),

-A-►

21

'.AE=^AD=^a-\~bY

~~►~~►

AF=^AC=^b,

—►—►-►

/.BF=AF—AB=-a-\-^b.

—>

(2)证明：由(1)知8尸=—

"''1212(11f2f

BE=AE—AB—^(a-\-b)—a——^a-\-^b=^\—a+^b\,.,.BE=^BF,

―►—>

与8尸共线.

又BE,3尸有公共点3,所以B,E,/三点共线.