第14讲 统计高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第14讲统计(核心考点讲与练)

Q著点考向

1.总体、样本、样本容量

要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体,从总体中被抽取的考察对象的集

体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.

2.获取数据的基本途径

获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.

⑴统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自

上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.

(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具

书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.

3.简单随机抽样

(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体

中的各个个体有±1®的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

(3)应用范围：总体中的个体数较少.

4.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部

分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样,这种抽样方法叫

做分层抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

5.频率分布直方图

(1)频率分布表的画法：

第一步：求极差,决定组数和组距，组距=振极差；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间;

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表璃靠，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.

6.频率分布折线图和总体密度曲线

（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的史虎，就得到频率分布折线

图.

（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率

分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

7.样本的数字特征

数字特征定义

众数在一组数据中，出现次数量多的数据叫做这组数据的众数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据

中位数

的王均数）叫做这组数据的中位数

样本数据的算术平均数，即"十尤：+从

平均数X—2

1二

2

方差$2=才⑴一%)2±3-X)2T--------\-(Xn—X)]f其中S为标准差

8.百分位数

如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就

称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置

的值称第p百分位数.

Q方法技巧

1.统计图表人类辨识影像的能力要优於辨识文字与数字的能力，因此我们采用图形的方式来展

现数据时，常常不我们直接观察数据要来的快.

2.平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大

小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散

程度越小，越稳定.

J能力拓展

类型一：总体和样本

1.（2021•上海高二专题练习）某样本平均数为总体平均数为加，那么（）

A.a=mB.a>mC.a<mD.。是，”的估计值

【答案】D

【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.

【详解】解：样本平均数为。，总体平均数为加，

统计学中，利用样本数据估计总体数据，

样本平均数a是总体平均数m的估计值.

故选：D.

【点睛】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.

类型二：抽样方法

1.（2021•上海高二专题练习）从2018名学生志愿者中选择50名学生参加活动，若采用

下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的200°人再按系统抽样

的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（）

A.不全相等B.均不相等

125

C.都相等，且为一D.都相等，且为——

401009

【答案】D

【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入

选的概率.

【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，

然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，

所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的,

因此，每个人入选的概率为3-=25

20181009

故选D.

【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.

2.（2021•上海高二专题练习）某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身

体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为九的样本，其中高中生有24人，

那么〃等于

A.12B.18C.24D.36

【答案】D

【详解】：有高中生960人，初中生480人

二总人数为960+480=1440人

...其高中生占比为%=2,初中生占比为工

144033

22

由分层抽样原理可知，抽取高中生的比例应为高中生与总人数的比值一，即〃x—=24,则

33

〃=36.

故选D.

3.（2021•长宁区•上海市延安中学高二期末）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，

为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知高

一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取名学生.

【答案】40

【分析】首先算出高三的学生人数，然后可得答案.

【详解】高三的学生有2400-820-780=800名

所以在该学校的高三应抽取800x卫二=40名学生

2400

故答案为：40

4.（2021・上海高二专题练习）某校共有师生1800人，现用分层抽样的方法，从所有师生

中抽取一个容量为150的样本，已知从学生中抽取的人数为140,则该学校的教师人数是

【答案】120；

【分析】设该学校的教师人数是x,根据分层抽样的比例，由I,。=12求解.

1800—xx

【详解】设该学校的教师人数是X,

解得％=120,

故答案为：120

【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，属于基础题.

类型三：统计图表

1.（2021•上海浦东新区•华师大二附中高二开学考试）惠州市某工厂10名工人某天生产

同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17,记

这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（）

A.a>b>cB.t）>c>aC.c>a>bD.c>U>a

【答案】D

【分析】根据平均数的求法，所有数据的和除以总个数即可，中位数求法是从大到小排列后，

最中间一个或两数的平均数，众数是在一组数据中出现次数最多的即是众数，根据以上方法

可以确定出众数与中位数.

,_十业心人

,JSAUi，10+12+14x2+15x2+16+17x3

【详斛】平均数--------------------------------=114.7,中位数Z7=15,众数

10

c-Yl,则

故选：D.

2.（2021・上海高二专题练习）已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现

在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记

录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为无，方差为则（）

A.元=70,$2<75B.元=70,1〉75

C.x>70,?<75D.x<70,?>75

【答案】A

【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两

组数据的方差，并比较大小.

70x50+80-60+70-90

【详解】由题意,可得了==70,

50

设收集的48个准确数据分别记为石,々，…，》48，

2222

则75=焉[(芭-70)+(x2-70)+…+(%_70)2+(60-70)+(90-70)]

=点[(王一70)2+(%-70)2+…+(%-70)2+500],

『=点[(%]-70)2+(W-70>+…+(%-70f+(80_70)2+(70-70)2]

=\仙-70)2+(%-70)2+…+(%-70)2+100]<75，所以d<75.

故选:4

【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平

均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题.

3.(2021•宝山区•上海交大附中高二期末)已知某社区的家庭年收入(单位：万元)的频

率分布直方图如图所示，同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则该社区内家庭的平

均年收入的估计值是万元.

【答案】6.5

【分析】根据频率分布直方图的平均的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得该社区内年收入的平均值为:

1=4.5x0.20+5.5x0.20+6.5x0.20+7.5x0.26+8.5x0.07+9.5x0.07=6.5•

即该社区内家庭的平均年收入的估计值是6.5万元.

故答案为：6.5.

4.（2021・上海高二专题练习）从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9,则总体方差的估

计值是.

【答案】2.5

【分析】先求出样本平均数，由此能求出总体方差的估计值.

【详解】解：从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9,

-1

样本平均数为x=,（5+6+7+8+9）=7,

,总体方差的估计值S?=’]（5-7『+（6-7『+（7-7『+（8-7『+（9-7月=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算

求解能力，属于基础题.

5.（2021•上海高二专题练习）已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40

个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个

车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为（精

确到0.001）.

【答案】0.007

【分析】根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.

【详解】由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：

亍=-----1------x（10x0.97+20x0.98+10x0.99）=0.98.

10+20+10

所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：

s=^x[10x（-0.01）2+20x02+10x0.012]=^x0.01=0.00707x0.007

故答案为：0.007

【点睛】本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.

6.（2021・上海高二专题练习）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间

（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）.

组号分组频数

1[0,2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4[6,8)22

5[8,10)25

6[10,12)12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18)2

合计100

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的。，Z?的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该

周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)

【答案】(1)0.9；(2)a=0.085,6=0.125；(3)第4组.

【分析】(1)根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再用频率和为1

求出所求的频率；

_频率

(2)根据小矩形的高=与三，即可求。、b的值；

组距

(3)利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案.

【详解】解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6

+2+2=10（名），所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1------=0.9

100

故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

频率017

（2）课外阅读时间落在组［4,6）内的有17人,频率为0.17,所以。=弁3=^—=0.085.

组距2

课外阅读时间落在组［8,10）内的有25人，频率为0.25,所以6=彳频3率==0=205.125.

组距2

（3）同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，

则数据的平均数为：

1x0.06+3x0.08+5x0.17+7x0.22+9x0.25+11x0.12+13x0.06+15x0.02+17x0.02=7.68

（小时），

二样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.

7.（2021•上海高二专题练习）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随

机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间

的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于L5小时的观众称为“足球迷”，并

将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”.

（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；

（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众.根据调查，如果票

价定为100元/张，贝U非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看.如

果票价提高10%元/张（xeN）,则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会

减少10%%,“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少更竺％.问票价至少定为多少元

x+11

/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？

【答案】⑴16万“足球迷”，3万“铁杆足球迷”，（2）140元/张

【详解】（1）样本中“足球迷”出现的频率=（0.16+0.10+0.06）x0.5=16%

“足球迷”的人数=100x16%=16（万）

“铁杆足球迷”=100x（0.06x0.5）=3（万）

所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人.

(2)设票价为100+lOx元,则一般“足球迷”中约有13(1-10x%)万人，“铁杆足球迷”

约有3(1—当L%)万人去现场看球.

X+11

100x13x3x

令13(1—10x%)+3(1-%)=16-—―一<10

x+1110x+11

化简得：13X2+113X-660>0

解得：x<------,或x>4,由xeN,x>4

13

即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10

万人.

考点：频率分布直方图

一、单选题

1.(2022•上海市崇明中学高二期中)为比较甲、乙两地某月14时的气温，随机选取该月中

的5天，将这5天中午14时的气温数据(单位：°C)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结

论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的平均气温的标准差;

④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的平均气温的标准差;

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()

甲乙

986289

113012

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【分析】根据给定的茎叶图，求出甲乙两地某月14时的平均气温及其标准差即可比较作答.

—1

【详解】由茎叶图知，甲地该月14时的平均气温石=^(26+28+29+31+31)=29,

甲地该月14时的平均气温的标准差心=J1[(-3)2+(-1)2+02+22+22]=7l6,

——1

乙地该月14时的平均气温％2=5(28+29+30+31+32)=30,

乙地该月14时的平均气温的标准差心=J1[(-2)2+(-l)2+02+l2+22]=尬,

即甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，

甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的平均气温的标准差，

所以根据茎叶图能得到的统计结论的编号为①③.

故选：A

2.(2022.上海市延安中学高二期末)下列命题中假命题是()

A.一组数据的极差可以表示这组数据的波动范围大小；

B.任意给定统计数据，都可以绘制散点图；

C.茎叶图既可以用于呈现单组数据，也可以用于对两组同类数据的比较分析；

D.一组数据中的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.

【答案】B

【分析】根据极差、散点图、茎叶图和百分位数的定义即可判断答案.

【详解】极差表示最大值与最小值的差距，它在一定程度上能表示这组数据的波动大小范

围.A正确；

散点图应该是表示两个变量组成的数对.B错误；

根据茎叶图的作法可知，C正确；

一组n个观测值按数值大小排列，处于p%位置的值称第p百分位数，例如中位数是第50

百分位数，显然中位数可以在数据中，也可以不在数据中.D正确.

故选：B.

3.(2022・上海•格致中学高二期末)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测

后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],

样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净

重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A.90B.75C.60D.45

【答案】A

【详解】样本中产品净重小于100克的频率为（0.050+0.100）x2=0.3,频数为36,

.♦•样本总数为二=120.

03

•.•样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100+0.150+0.125）x2=

0.75,

.•.样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120x0.75=90.

考点：频率分布直方图.

二、填空题

4.（2022.上海交大附中高二期中）某校有学生1200人，其中高三学生400人，为了解学生

的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取一个120人的样本，

则样本中高三学生的人数为.

【答案】40

【分析】根据分层抽样的抽样比相等即可求解.

【详解】某校有学生12。。人从该校学生中抽取一个12。人的样本，抽样比为血=方

所以样本中高三学生的人数为400x^=40人，

故答案为：40.

5.（2022・上海市实验学校高二期中）现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数

法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h）结果如下表

所示：

寿命（h）100120140160180200220240

个数1032443424261218

试估计这批电子元件的第60百分位数尸60=

【答案】170

【分析】根据条件及百分位数的含义即得.

10+32+44+34_60

【详解】•；

200~100

故这批电子元件的第60百分位数P60=16°^18°=170160.

故答案为：170.

6.（2022.上海市延安中学高二期末）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有

北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北

乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有人.

【答案】8100

【解析】先设出北乡人，再根据分层抽样的方法列出式子，即可求解.

【详解】解：设北乡有x人，

108300-108

根据题意得:

T-7488+6912

解得：x=8100,

故北乡共有8100人.

故答案为：8100.

7.（2022•上海浦东新•高二期末）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高

铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正

点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

【答案】0.98.

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.

【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,

392

其中高铁个数为1。+2。+1。=4。，所以该站所有高铁平均正点率约为行38.

【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算,

难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点

列车数量与列车总数的比值.

三、解答题

8.（2022•上海市崇明中学高二期中）某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数）,

考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右

依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1：3:6:4:2,第五组的频数为12.

（1）该样本的容量是多少？

（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率;

（3）该样本的第75百分位数在第几组中？

4

【答案】（1）96；⑵第三组，f；（3）第四组.

O

【分析】（1）根据给定条件，求出第五小组的频率即可计算作答.

(2)确定频率分布直方图中面积最大的小矩形，再求出频率作