2025高考数学一轮复习-8.8-抛物线【课件】

第八章平面解析几何第8节抛物线ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).1.抛物线的定义相等准线2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离××××解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.AA.(0，－1)

B.(0，1)C.(1，0) D.(－1，0)故焦点为(0，－1).解析设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(

)BC解析由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，5.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.解析设B(x0，y0).由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(

) A.x＝－4

B.x＝－3 C.x＝－2

D.x＝－1A解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.y2＝4x解析如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.y2＝3x由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，∴抛物线方程为y2＝3x.∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，24解析∵焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①B角度1焦半径和焦点弦化简得3t2－10t＋3＝0，解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义：可得：y1＋y2＝p，解析如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，例2(1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.角度2与抛物线有关的最值问题焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，解析由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.2因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.训练1(1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(

)A解析由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.2其中Δ＝144(1－2t)>0，其中Δ＝4－8t>0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.解

设直线AP的斜率为k，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).(2)求|PA|·|PQ|的最大值.所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，抛物线的几个“二级结论”的应用解析[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).例1

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(

)B得xA·xB＝1，①因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②[优解]法一由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，法二因为|AF|＝2|BF|，例2

设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(

)D原点到直线AB的距离FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3故选D.DD3.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(

)B解析不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.4.(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(

) A.C的准线方程为x＝－4 B.F点的坐标为(0，4) C.|FN|＝12ACD由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，CA.|BF|＝3 B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2＝6x解析因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；BCD解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.解析∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，∴圆心到准线的距离等于3，8.已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.y2＝8x所以抛物线方程为y2＝4x.当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，21整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，与y2＝2px联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.解

由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.又x1＜x2，∴抛物线C的方程为y2＝x，即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.(2)求证：A为线段BM的中点.证明

∵BM⊥x轴，∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根据题意显然有x1≠0.若要证A为BM的中点，只需证2yA＝yB＋y1即可，即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，∴2yA＝yB＋y1恒成立，∴A为BM的中点，得证.解析∵以MF为直径的圆过点(0，2)，∴点M在第一象限.12.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(

) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16xC∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y轴切于点(0，2)，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.解析由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，(1)若直线l斜率不存在，则A(1，2)，B(1，－2)，13.(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则