北师版九上数学2.4用因式分解法求解一元二次方程教学课件

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习1.因式分解法的定义.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个

⁠

的乘积时，可把一元二次方程转化为两个一元一次方程，

这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，这种解一

元二次方程的方法称为因式分解法.一次因

式

2.用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤.一般步骤示例（3

x2＝8

x

＋3）一整

理首先将原方程化为一般形式

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）3

x2－8

x

－3＝0二化

积将

ax2＋

bx

＋

c

因式分解（

x

－3）（3

x

＋1）＝0一般步骤示例（3

x2＝8

x

＋3）三转化令每一个因式为0，转化为两

个一元一次方程

x

－3＝0，或3

x

＋1＝0四求解解每一个一元一次方程，它

们的解就是原一元二次方程

的解.数学九年级上册BS版02典例讲练

用因式分解法解下列方程：（1）3

x2＝2

x

；（2）5

x

（

x

＋1）＝6（

x

＋1）；（3）2

x

（

x

－3）＝3

x

－9；（4）（

x

－3）2＝（2

x

＋1）2.【思路导航】先因式分解，再解方程：（1）变形后，提取公因

式

x

；（2）变形后，提取公因式（

x

＋1）；（3）变形后，提

取公因式（

x

－3）；（4）运用平方差公式进行因式分解.

【点拨】因式分解法解一元二次方程的依据：若两个因式的积

为0，则这两个因式至少有一个因式等于0.因式分解的常用方法

有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十

字相乘法.这几种方法需要灵活并熟练运用.

用因式分解法解下列方程：（1）（

x

＋8）（7

x

－5）＝0；

（2）（6

x

－1）2＝6

x

－1；

（3）

x

（4

x

＋11）＝8

x

＋22；

（4）2（

x

－3）＝

x2－9.解：

x1＝3，

x2＝－1.

【思路导航】（1）用公式法；（2）移项后，用平方差公式进

行因式分解；（3）用“十字相乘法”进行因式分解；（4）把

（

x

＋4）看作一个整体，用“十字相乘法”进行因式分解，再

解方程.

（3）原方程可变形为（

x

－1）（

x

－5）＝0.∴

x1＝1，

x2＝5.（4）原方程可变形为[（

x

＋4）－1][（

x

＋4）－3]＝0.∴（

x

＋4）－1＝0，或（

x

＋4）－3＝0.∴

x1＝－3，

x2＝－1.【点拨】通过对比此题中的各种解法，我们可以知道：①解一

元二次方程，优先选择因式分解法；②若无法进行因式分解，

再考虑公式法.其中，“十字相乘法”需要熟练掌握.同时需要注

意的是，公式法能处理所有一元二次方程，但是计算量较大，

可作为最后的解题手段.

用适当的方法解下列方程：

（2）（3

x

－4）2＝（4

x

－3）2；解：

x1＝－1，

x2＝1.（3）3

x2＋2

x

－5＝0；

（4）（

x

－3）（

x

＋1）＝5.解：

x1＝－2，

x2＝4.

已知一元二次方程

x2－（2

k

＋1）

x

＋

k2＋

k

＝0.（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.（2）已知△

ABC

的两边

AB

，

AC

的长是这个方程的两个实数

根，且第三边

BC

的长为5.当△

ABC

是等腰三角形时，求

k

的值.【思路导航】（1）先计算出Δ的值，然后根据判别式的大小即

可得到结论；（2）先用因式分解法求出方程的解，再进行分类

讨论，最后求出

k

的值.（1）证明：∵Δ＝[－（2

k

＋1）]2－4（

k2＋

k

）＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根.（2）解：∵

x2－（2

k

＋1）

x

＋

k2＋

k

＝0，∴

x2－[

k

＋（

k

＋1）]

x

＋

k

（

k

＋1）＝0.∴（

x

－

k

）[

x

－（

k

＋1）]＝0.∴

x1＝

k

，

x2＝

k

＋1.∵

k

＜

k

＋1，∴

AB

≠

AC

.

①当

AB

＝

k

，

AC

＝

k

＋1，且

AB

＝

BC

时，

k

＝5，三边长5，

5，6能组成三角形，符合题意.②当

AB

＝

k

，

AC

＝

k

＋1，且

AC

＝

BC

时，

k

＋1＝5.解得

k

＝4.

三边长4，5，5能组成三角形，符合题意.综上所述，

k

的值为4或5.【点拨】对于含参数的一元二次方程，若题目中的条件涉及根

的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出

的根含有参数.对于一元二次方程与实际结合的问题，最后一定

要检查解是否符合题意.

已知关于

x

的方程

kx2－（4

k

－3）

x

＋3

k

－3＝0.（1）求证：无论

k

取何值，该方程都有实数根；（1）证明：当

k

≠0时，Δ＝[－（4

k

－3）]2－4

k

（3

k

－3）＝4

k2－12

k

＋9＝（2

k

－3）2≥0.∴无论

k

取何值（

k

≠0），原方程都有两个实数根.当

k

＝0时，方程变为3

x

－