人教新版九年级上学期《24.1.4圆周角》同步练习卷

人教新版九年级上学期《24.1.4圆周角》

同步练习卷

一.选择题（共3小题）

1.如图，已知：点A、B、C、。在。。上，AB=CD,下列结论：®ZAOC=ZBOD；②

NB0D=2NBAD；③AC=BD；④NCAB=NBDC；⑤ZC40+NCr>0=180°.其中

正确的个数为（）

D

A.2B.3C.4D.5

2.若在。。上4、8两处各安装一台同样的摄像装置恰好可观察圆上A、B之间的优弧部分

（其中摄像装置在A处所观察范围如图所示），为观察同样范围，改在劣弧A8的任意一

点M或圆心。处安装同样的摄像装置，则在M、。处各需要摄像装置至少（）

A.2台，4台8.2台，1台C.I台，2台D.1台，4台

3.如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，其中AB=4,ZAOC=120°,P为。。上

的动点，连AP,取AP中点。，连CQ,则线段C。的最大值为（）

C.1+3&D.1+Vr

二.填空题（共10小题）

4.如图，。。的直径AB的长12,长度为4的弦。F在半圆上滑动，DELA8于点E,OC

，。尸于点C,连接CE,AF,则sin/AEC的值是,当CE的长取得最大值时AF

的长是_______

5.如图，已知点8(5,2),0P经过原点0,交y轴正半轴于点A,点B在。P上，ZBA0

=45°,圆心P的坐标为

6.如图，AB是00的直径，C,。是。。上的点，且0C〃8。，与BC,0C分别相交

于点E,F,则下列结论：①②/AOC=/AEC；③CB平分/ABD；④

DF；⑤ACE修ABED.其中一定成立的结论是.(填序号)

7.如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边48重合，其中量角器0刻度线的端点N

与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，C尸与量角器

的半圆弧交于点E,则第20秒点E在量角器上对应的读数是

8.如图，。0的直径AB=12,点C,。在。0上，连接3C,CD,且8c=8,若直线CZ)

与直线48相交于点E,AE=2,则弦8。的长为

9.己知点P(x,y)在第一象限，且x+y=12,点A(10,0)在x轴上，当△。以为直角

三角形时，点P的坐标为.

10.如图，。。是△4BC的外接圆，已知NA8O=40°,则NACB的大小为

11.平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(4,0)、(0,4),点力为上任意一点,

连接AD,以OD为直径的圆交AD于点E,则当线段BE的长最短时E的坐标为.

12.如图，ZVIBC中，/8AC=60°,NA8C=45°,AB=4,£>是线段BC上的一个动点,

以AD为直径作。。分别交AB、AC于E、F,连结EF,则线段EF长度的最小值为.

13.如图，OO的直径A8为10。*,弦AC为6a〃，NACB的平分线交A8于E,交。。于

14.如图，点A、B、C在。。上，用无刻度的直尺画图.

(1)在图①中，画一个与NB互补的圆周角；

(2)在图②中，画一个与互余的圆周角.

*0*0

yc

图①图②

15.如图，已知A。是。。的直径,8c切。。于点E,交A。延长线于点8,过点A作4C

JLBC交。0于点G,交OE于点F.

(1)求证：AD—AF；

(2)若。E=2CF,试说明四边形OEFG为菱形.

b

Fc

16.如图，AB是。。的直径，C。是。。的一条弦，且CCJ_AB于点E.

(1)求证：NBCO=ND；

(2)若C£)=4&,AE=2,求。0的半径.

D

17.如图，。0中，弦CD与直径AB交于点、H.

(1)当N8+/Q=90°时，求证：”是8的中点；

(2)若”为CC的中点，且CQ=2五,BD=M，求/\B的长.

18.如图，A8是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点,OD//BC,0力与AC交于点

E.

(1)若NB=70°,求弧CO的度数；

(2)若A8=26,DE=S,求AC的长.

19.如图，AB是。。的直径，且AB=10,弦CQLAB于点E,G是弧AC上任意一点，延

长AG,与0c的延长线交于点F,连接AC,BC,DG.

(1)求证：NACG=NF；

(2)若tan/BAC=L,AG=BG>求OG的长.

2

20.已知：如图，AB是。。的直径,弦CDJ_AB于点E,G是前上一点，AG,DC的延长

线角于点凡求证：ZFGC^ZAGD.

21.如图，在以A8为直径的半圆中，将弧8c沿弦8C折叠交AB于点。，若AD=5,DB

=7.

(1)求BC的长；

(2)求圆心到BC的距离.

22.已知圆。的直径AB=12,点C是圆上一点，且NABC=30°,点尸是弦BC上一动点,

过点P作PD10P交圆0于点D.

题图2

(1)如图1,当PO〃AB时，求的长；

(2)如图2,当8P平分NOP。时，求PC的长.

23.如图，AB是半圆。的直径，E是弧BC的中点，0E交弦BC于点、D,已知8c=8cw7,

DE=2cm,求0£)与4。的长.

AOB

24.如图，在。。中，直径A8与弦CD相交于点P,NCAB=40°,/AP£>=65°

(1)求的大小；

(2)已知AQ=6,求圆心。到8。的距离.

25.如图，在△ABC中，ZC=90°,。是BC边上一点，以。8为直径的。。经过AB的

中点E,交的延长线于点F,连结E?

(1)求证：DA=DB,Z1=ZF.

26.如图，已知AABC中，AB=AC,/BAC=90°,。。经过点A和点B,与斜边BC交

于点P(不与B、C重合)，PE是。。的直径，连接AE,BE.

(1)求证：AP=AE；

(2)若PE=4,求尸d+PB?的值.

27.如图，A8为半圆。的直径，弦与A8的延长线相交于点E.

(I)求证：NC0E=2NBDE；

(II)当0B=BE=2,且NBDE=60°时,求tanE.

28.已知：如图，A3为。。的直径，CE_LA8于E,BF//0C,连接8C,CF.

求证：NOCF=NECB.

29.如图，点A、B、C是圆0上的三点，AB//OC

(1)求证：AC平分N0A8；

(2)过点。作0E_L48于E,交AC于点P,若48=2,NAOE=30°,求圆。的半径

0C及PE的长.

c

o-------5

30.如图，已知AB为OO的直径，AC为弦，0O〃BC,交AC于O,BC=4cm.

(1)求证：AC_L。。；

(2)求0。的长；

(3)若sinA=L,求OO的直径.

31.如图，点C在。。上，连接C。并延长交弦AB于点O,AC=BC，连接AC、OB,若

CD-8,AC=4依.

(1)求弦A8的长；

32.如图，已知AB为的直径，4c为弦，OD"BC,交AC于。，BC=4cm.

(1)求证：AC±OD；

(2)求0。的长；

(3)若2siM-l=0,求。。的直径.

33.如图，A8是。。的直径，C、。两点在。。上，若/C=45°,

(1)求NABO的度数;

,BC=3,求。。的半径.

34.如图，48是。。的直径，点C在圆上，NBA。是△ABC的一个外角，它的平分线交

于点E.不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出NBAC的平分线.并说明理由.

35.已知：如图，AB为半圆。的直径，C是半圆。上一点，过点C作AB的平行线交。。

于点E,连接AC、BC、AE,EB.过点C作CGJ_AB于点G,交EB于点、H.

(1)求证：NBCG=NEBG；

(2)若sin/CAB=返，求力的值.

GB

36.如图，已知△ABC中，AB=AC,NA=45°,AB为。。的直径，AC交。。于点E,连

接BE

(1)求NEBC的度数;

(2)求证：BD=CD.

37.已知。。的直径为10,点A、点8、点C在。。上，NCAB的平分线交。。于点D

(1)如图①，若BC为OO的直径，AB=6,求AC、BD、8的长;

38.如图，A8为。。的直径，48=AC,8C交。。于点。，AC交。。于点E,NBAC=45°.

(1)求/EBC的度数；

(2)求证：BD=CD.

A

39.如图，在。。中，AB是直径，CO是弦(不过圆心)，ABLCD.

(1)E是优弧CA。上一点(不与C、。重合)，求证：NCED=NCOB；

(2)点£在劣弧C£＞上(不与C、£＞重合)时，NCE'D与NCOB有什么数量关系？请

证明你的结论.

40.如图，A8是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，KOD//BC,。。与AC交于点

E.

(1)若/8=70°,求的度数；

(2)若48=10,AC=8,求DE的长.

D

41.如图，已知在00中，AB是。0的直径，4c=8,BC=6.

(1)求。。的面积；

(2)若。为上一点，且△ABD为等腰三角形，求C。的长.

42.如图，已知AB为圆0的直径，点C为圆。上一点，弦CDLAB,垂足为点E,48=5,

BC=3,点F为劣弧AC中点，连结OF.

(1)求4。的长.

(2)求0E的长.

(3)求tanNFDC的值.

(4)求力厂的长.

43.在。。中，直径AB=6,BC是弦,ZABC=30°,点P在BC上，点。在。。上，且

OPLPQ.

(1)如图当PQ〃A8时;求PQ的长；

(2)当点尸在BC上移动时，线段PQ长的最大值为；此时，ZPOQ的度数

为

人教新版九年级上学期《24.1.4圆周角》2019年同步练

习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共3小题）

1.如图，已知：点A、B、C、。在00上，AB=CD,下列结论：①/4OC=NBOO；（2）

NBOD=2NBAD；③AC=BD；④NCAB=NBDC；⑤NC4O+NCDO=180°.其中

正确的个数为（）

【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断

即可.

【解答】解：•••4B=C£>,

.,•CBD=BCA.

•••AC=BD.

：.ZAOC=ZBOD,故①正确：

:圆周角/A4Z）和圆心角ZBOD都对着箭，

：.ZBOD=2ZBAD,故②正确；

VAC=BD-

；.AC=B。，故③正确；

•.•圆周角ZCAB和NBOC都对着BC，

D

：.ZCAB=^ZBDC,故④正确;

延长。。交。。于M,连接AM,

；£＞、C、A、M四点共圆,

：.ZCDO+ZCAM^\SQQ（圆内接四边形对角互补）,

'：ZCAM>ZCAO,

：.ZCAO+ZCDO<\m°,故⑤错误;

即正确的个数是4个,

故选：C.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等

知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

2.若在OO上4、B两处各安装一台同样的摄像装置恰好可观察圆上A、8之间的优弧部分

（其中摄像装置在A处所观察范围如图所示），为观察同样范围，改在劣弧A2的任意一

点M或圆心。处安装同样的摄像装置，则在M、。处各需要摄像装置至少（）

A.2台，4台B.2台，1台C.1台，2台D.1台，4台

【分析】如图，连接OC,OB,MC,MB.因为摄像装置的视角为/C4B,根据/C4B

=ZCMB,ZC0B=2ZCAB,即可判断;

【解答】解：如图，连接OC,OB,MC,MB.

M

•••摄像装置的视角为NC4B,

又,：NCAB=NCMB,NC0B=2NCAB,

...在M、。处各需要摄像装置至少2台，4台;

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中

考常考题型.

3.如图，A8为。。的直径，C为。0上一点，其中AB=4,ZAOC=120°,P为。。上

的动点，连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为（）

B.1+^6C.1+372D.1+VT

【分析】如图，连接0。，作CH_LA8于H.首先证明点。的运动轨迹为以A。为直径

的OK,连接CK,当点。在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK

即可解决问题;

【解答】解：如图，连接0Q,作CHLA8于

•：AQ=QP,

：.OQ±PA,

：.ZAQO=90°,

，点Q的运动轨迹为以A0为直径的OK,连接CK,

当点。在CK的延长线上时，CQ的值最大，

在中，：/C0H=6（r,0C=2,

：.OH=1JOC=\,CH=a，

2

在Rt^CK“中，CK=｛（75）2+22=A

.•.CQ的最大值为i+Vr）

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关

键是正确寻找点。的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

二.填空题（共10小题）

4.如图，。。的直径AB的长12,长度为4的弦。尸在半圆上滑动，£>E_LAB于点E,OC

于点C,连接CE,AF,贝！|sin/AEC的值是空2,当CE的长取得最大值时

~3~

4尸的长是4遂.

【分析】先求出OC,在判断出点O,C,D,E是以。力为直径的圆上，进而得出NAEC

的值，再判断出CE最大时，0C_L4B,即可得出结论.

【解答】解：如图1,

连接O。，.••。0=工48=6,

2

OC1.DF,

；.N08=90°,CD=CF=1~DF=2,

2

在RtZXOC。中，根据勾股定理得，℃=而D2-CD2=4&，

sinZ0DC=理=

0D63

'."DE1AB,

：.ZDEO=90°=Z0CD,

...点0,C,D,E是以。。为直径的圆上,

，ZAEC=ZODC.

：.sin/AEC=sinZODC=2近,

3

如图2,

；CO是以0。为直径的圆中的弦，CE要最大，

即：CE是以0。为直径的圆的直径，

:.CE=0D=6,ZCOE=90°,

VZOCD=ZO£D=90°,

四边形OCDE是矩形，尸〃AB,

过点尸作FG_LAB于G,

易知，四边形OCFG是矩形，

0G=CF=2,FG=0C=4圾,

：.AG=OA-0G=4

连接AF,

22=4

在RtZ\AFG中，根据勾股定理得，AF=7AG+FG^,

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，判断

出点O,C,D,E是以A0为直径的圆上是解本题的关键.

5.如图，已知点8(5,2),OP经过原点0,交y轴正半轴于点A,点B在G)P上，ZBAO

=45°,圆心P的坐标为(W,工).

—22―

【分析】连接OP,OB,PB,延长3尸交OP于£作EF_LOA于R轴于利

用全等三角形的性质求出点E坐标即可解决问题；

【解答】解：连接OP,OB,PB,延长BP交。产于E,作EFLOA于F,BHLx轴于H.

■:NBPO=2NBAO,N8AO=45°,

：.ZBPO=90°,

•:PO=OB,

•••△P3。是等腰直角三角形，

•「BE是直径，

：.ZBOE=90°,

；・NOBE=NOEB=45°,

：.OE=OB,

•・・NEOB=NAOH=9(T,

：.ZEOF=ZBOHf

•；NEFO=NBHO=90°,

:.△EFOQXBHO(A4S),

AOF=OH=5,BF=BH=2,

：.E(-2,5),

•:PE=PB,

：.p（W,工）.

22

故答案为（W,工）.

22

【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

6.如图，A2是。0的直径，C,。是00上的点，0C//BD,AO与8C,0C分别相交

于点E,F,则下列结论：①②NA0C=NAEC；③C8平分NAB。；@AF=

DF；@AC£F^AB££）.其中一定成立的结论是①⑶④.（填序号）

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于NA0C是。。的圆心角，NAEC是。。的圆内部的角，

③由平行线得到Z0CB=ZDBC,再由同圆的半径相等得到结论判断出N0BC=NDBC；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤得不到和△BE。中对应相等的边，所以不一定全等.

【解答】解：①..SB是。。的直径，

:.NADB=90°,

：.AD±BD,

故①正确；

@VZAEC=ZABC+ZA,ZAOC=ZABC+ZC,

根据图形好已知不能推出NC=NA,

ZAOC^ZAEC,

故②不正确；

（3）'：0C//BD,

：.Z0CB=ZDBC,

'：OC=OB,

：.N0CB=N0BC,

：.ZOBC=ZDBC,

；.BC平分NA8O,

故③正确；

④；AB是。。的直径，

；.NADB=90°,

:.ADLBD,

'：OC//BD,

/。=90°,

••,点。为圆心，

：.AF=DF,

故④正确；

⑤尸和△BEO中，没有相等的边，

/XCEF与△BEQ不全等，

故⑤不正确；

综上可知：其中一定成立的有①③④，

故答案为：①③④.

【点评】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线

段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用.

7.如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N

与点4重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器

的半圆弧交于点E,则第20秒点E在量角器上对应的读数是120°.

【分析】首先连接。£,由NACB=90°,易得点E,A,B,C共圆，然后由圆周角定理,

求得点E在量角器上对应的读数.

【解答】解:

连接0E,

；N4CB=90°,AB为半圆的直径,

...E、A、C、8四点共圆，

AZACP=3°X20=60°,

/.ZAOE-=2ZACP=120°,

即第20秒点E在量角器上对应的读数是120。，

故答案为：120.

【点评】本题考查的是圆周角定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形

结合思想的应用.

8.如图，的直径AB=12,点C,。在。。上，连接BC,CD,且BC=CO,若直线CO

与直线AB相交于点E,AE=2,则弦的长为_

（分析］分两种情形分别画出图形求解即可解决问题；

【解答】解：①当BO、BC在直径AB的同侧时.连接OC、AD.

,/CD=BC，

：.OC±BD,

是直径，

:.NADB=NOFB=90°,

：.AD//OC,

.AD=EA

"OCEO"

•••-A---D_2

68

：.AD=^-,

2_

•，•呷］22吟2哼.

②当80，CO在直径AB两侧时，连接AD,CO,C。的延长线交BO与尸.

图2

同法可证：AD//OC,

.AD=EA

"OCEO"

•••A,一D—_2-f

64

：.AD=3f

1'*BD=N/fl）2=3V15>

故答案为&ZI或3^15，

2

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,

解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

9.已知点户G,y）在第一象限，且x+y=12,点A（10,0）在x轴上，当△（?%为直角

三角形时，点P的坐标为（10,2）、（8,4）、（9,3）.

【分析】分情况讨论：①若。为直角顶点，则点尸在y轴上，不合题意舍去；②若A

为直角顶点，则附_Lx轴，所以点尸的横坐标为10,代入y=-x+12中，得），=2,求出

点P坐标为（10,2）；③若尸为直角顶点，可得△OPBS^WB,根据相似三角形的性

质求出P点横坐标，进而得到P点坐标.

①若。为直角顶点，则点P在)，轴上，不合题意舍去；

②若A为直角顶点，则南轴，所以点P的横坐标为10,代入)，=-x+12中，得尸

2,

所以点P坐标(10,2)；

③若P为直角顶点，可得△OPBs△以&

-0B=PB；

•,丽融，

.".PB2=OB-AB.

(-x+12)2—x(10-%).

解得x=8或9,

.,.点尸坐标(8,4)或(9,3).

.•.当△<?以为直角三角形时，点尸的坐标为(10,2)、(8,4)、(9,3),

故答案为：(10,2)、(8,4)、(9,3).

【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉一次函数的性质以及三角形的面积公式以及

懂得直角三角形的性质是解题的关键.

10.如图，。。是△ABC的外接圆，已知乙480=40",则/ACB的大小为130°.

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出N40B,根据圆周角定理计算

即可.

【解答】解：,.•。4=08,/48。=40°,

，NAOB=100°,

，NACB=LX(360°-100°)=130°,

2

故答案为：130°.

【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

11.平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(4,0)、(0,4),点力为上任意一点,

连接AD,以0。为直径的圆交AD于点E,则当线段BE的长最短时E的坐标为

【分析】由。。是直径，推出NOE£>=NOE4=90°,推出点E的运动轨迹是以OA为

直径的圆，设。4的中点为K,连接BK,当点E在8K上时，BE的长最短，作EH_LQ4

于H,由EH〃OB,可得型=旦旦=更，由此即可解决问题；

OBKOBK

【解答】解：如图,

是直径，

：.ZOED=ZOEA=90°,

...点E的运动轨迹是以OA为直径的圆，设OA的中点为K,连接BK,

当点E在BK上时，BE的长最短，

VA(4,0)、B(0,4),

.".OA=PB=4,

'：OK=KA=2,

EK—^-OA2,BK=422+42=2^"^,

作EHLOA于H,

'：EH//OB,

.EH=KH=EK>

"OBKOBK,

•.•-E---H--H--K-------2,，

422A/5

55

：.OH=2-

5_

：.E（2-2返）.

55

【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的

性质等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型.

12.如图，ZVIBC中，ZBAC=60°,乙4BC=45°,AB=4,。是线段BC上的一个动点,

以AD为直径作。。分别交AB.AC于E、F,连结EF,则线段E尸长度的最小值为

【分析】由垂线段的性质可知，当AQ为△ABC的边BC上的高时，直径最短，此时

线段EF=2EH=2O『sinNEOH=2OE・sin60°,当半径OE最短时，EF最短，连接。E,

OF,过。点作凡垂足为“，在中，解直角三角形求直径AZ）,由圆周

角定理可知/£：。”=上/《。广=/区4。=60°,在RtZkE。"中，解直角三角形求£7/,

2

由垂径定理可知EF=2£”，即可求出答案.

【解答】解：由垂线段的性质可知，当A。为aABC的边BC上的高时，直径AQ最短，

如图，连接OE,OF,过0点作OHLEF,垂足为H,

•.,在RtZ\4OB中，ZABC=45°,AB=4,

:.AD=BD=2a,即此时圆的直径为2&,

由圆周角定理可知NE。H=/E。F=NBAC=60°,

.,.在RtZiE。，中，EH=OE,sinNEOH=■与=零,

由垂径定理可知EF=2EH=®

故答案为：Vs-

A

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.关键是根据运

动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形.

13.如图，的直径AB为10cm,弦AC为6c/n,NACB的平分线交AB于E,交。。于

D.则弦A力的长是5出C7”.

【分析】连接BQ,由圆周角定理得N8C4=90°,再由已知得NACQ=45°,从而得出

△ABO为等腰直角三角形，由勾股定理求解即可.

【解答】解：连接B。，

•••A8为。。的直径，.•.NBCA=90°,

：CO平分/ACS,AZACD=45°,

；./A8O=45°,

...△ABO为等腰直角三角形，

：.AD1+BD2=AB2,

•；4B=10cm,.'.AD—5y[2/:m.

故答案为572，

【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，是基础知识要熟练掌握.

三.解答题（共30小题）

14.如图，点A、B、C在。。上，用无刻度的直尺画图.

(1)在图①中，画一个与N8互补的圆周角;

(2)根据90。的圆周角所对的弦是直径进行画图即可.

(2)如图2,NCBQ即为所求.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.熟练掌握

圆周角定理是解决此题的关键.

15.如图，已知AO是。。的直径，8C切。。于点E,交AZ)延长线于点8,过点A作AC

交。。于点G,交OE于点F.

(1)求证：AD=AF；

(2)若DE=2CF,试说明四边形OEFG为菱形.

【分析】(1)连接OE,根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可;

（2）连接0G,利用等边三角形的性质和菱形的判定解答即可.

【解答】证明：（1）如图，连接OE,

•••3。是。0的切线，OE是半径,

:.OELBC,

：.ZBEO=90°,

VZACB=90°,

OE//AC,

：,/OED=NF,

,:OD=OE,

：.ZOED=ZODE,

：.ZODE=ZF,

：.AD=AF；

(2)连接OG,

VOE//AF,OD=OA,

：.DE=EF,

\'DE=2CF,

:・EF=2CF,

VZACB=90°,

.,.ZF=60°,

9：AD=AF,

•••△AO/是等边三角形，

・・・NA=60°,

•：OA=OG,

：.ZOGA=60°,

：.ZOGA=ZF,

，OG//EF,

'JOE//AF,

•••四边形OEFG是平行四边形，

,:OE=OG,

，平行四边形OEFG是菱形.

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据切线的性质和平行线的判定和性质解答.

16.如图，4B是00的直径，CD是。0的一条弦，且CDLA8于点£

(1)求证：NBCO=ND；

【分析】(1)由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相

等得到一对角相等，等量代换即可得证；

(2)由弦C。与直径48垂直，利用垂径定理得到E为CO的中点，求出CE的长，在

直角三角形OCE中，设圆的半径。C=r,OE=OA-AE,表示出OE,利用勾股定理列

出关于「的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值.

【解答】(1)证明：如图.

,:OC=OB,

NBCO=NB.

；NB=ND,

NBCO=ZD；

(2)TAB是。0的直径，且CDJ_A8于点E,

：.CE=^CD=-Lx45/2=25/2-

在RtZXOCE中，OC^nC^+OE2,

设O。的半径为r,则OC=r,OE=OA-AE=r-2,

J=(2&)2+(r-2)2,

解得：r=3,

•••0。的半径为3.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的

关键.

17.如图，中，弦C/)与直径AB交于点H.

(1)当/8+/。=90°时，求证：”是CQ的中点；

(2)若”为C。的中点，且CO=2&,BD=M，求A8的长.

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出/BHO=90°,根据垂径定理得出即可；

(2)根据垂径定理求出。H,根据勾股定理求出B”，根据勾股定理得出关于R的方程,

求出R即可.

【解答】(1)证明：VZB+ZD=90°,

：.ZBHD^\80°-90°=90°,

即ABVCD,

过O,

：.CH=DH,

即”是CO的中点；

为CO的中点，CD=2®4B过。,

Z.DH=CH=1-CD=V2>ABLCD,

:.NBHD=90°,

由勾股定理得：BH^7BD2-DH2=7(V3)2-(V2)2=1,

设。。的半径为R,则AB=2R,OB=OD=R,

在RtA。，。中，由勾股定理得：。，2+。，2=。。2,

BP(R-1)2+(a)2=R2,

解得：R=3,

2

，AB=2xW=3.

2

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理

是解此题的关键.

18.如图，AB是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，且0£>〃BC,0。与AC交于点

E.

(1)若/8=70°,求弧CO的度数；

(2)若AB=26,DE=8,求AC的长.

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出/8AC的度数，根据平行线的性质求出

/AOO的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；

(2)根据三角形中位线定理求出3c的长，根据勾股定理求出答案.

【解答】解：(1)是半圆。的直径，

.*.ZC=90°,又NB=70°,

：.ZBAC=20°,

\'OD//BC,

，NAOO=NB=70°,又

：.ZOAD=55°,

：.ZDAC=35°,

；.质的度数是70°；

(2)U：AB=26,

A00=13,又DE=8,

：.OE=5,

V0D//BC,0A=0Bf

：.BC=2OE=\0f

.,.AC=^AB2_BC2=24,

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握直径所对

的圆周角是直角、圆的半径相等、三角形中位线定理是解题的关键.

19.如图，AB是。。的直径，且4B=10,弦C£>_LAB于点E,G是弧AC上任意一点，延

长AG,与OC的延长线交于点尸，连接AC,BC,DG.

(1)求证：NACG=NF；

(2)若tan/BAC=L,AG=BG-求OG的长.

2

【分析】(1)首先证明/FGC=NAOC=NAC。，由/Z)CG=NGCA+/ACD=/FGC+

NF,即可推出NACG=NF；

(2)如图2中，连接。G,作G"_LOF于”.想办法求出。”，GH,利用勾股定理即可

解决问题；

【解答】(1)证明：是直径，ABLCD,

•••AD=AC)

ZADC=ZACD,

'：ZFGC+ZAGC=\SO0,N4OC+N4GC=180°,

ZFGC=ZADC=ZACD,

'：4DCG=ZGCA+ZACD^ZFGC+ZF,

：.NACG=NF.

(2)解：如图2中，连接0G,作GH_LDF于

V4B=10,tanNBAC=^=L

AC2

'JABVCD,

：.DE=C£=AC"BC=4)

AB

；.8E={BC2_EC2=2,0E=3,

VAG=BG，

OG±AB,

：.NGOE=/OEH=ZGHE=90°,

四边形OEHG是矩形，

GH=OE=3,OG=EH=5,DH=9,

在RtADG77中，DG—DH^+GH^~V9+3VTO-

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.

20.已知：如图，AB是。0的直径，弦C£)_LA8于点E,G是前上一点，AG,OC的延长

线角于点F,求证：NFGC=NAGD.

【分析】连接AQ,如图，先根据垂径定理由得益=孩，再根据圆周角定理得

ZAGD=ZADC,根据圆内接四边形的性质得NFGC=NAOC,所以/FGC=NAG£).

【解答】解：连接AD

VCD1AB,

•••AD=AC.

ZAGD=ZADC,

•：2FGC=4ADC,

：.NFGC=ZAGD

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质.

21.如图，在以AB为直径的半圆中，将弧8c沿弦BC折叠交AB于点。，若4。=5,DB

=7.

(1)求BC的长；

(2)求圆心到BC的距离.

【分析】(1)根据折叠的性质知：CB=BDC;若连接CD、AC,则N£>BC+NBC£>=N

CAD,即NC4Q=NCQA；过C作AB的垂线，设垂足为E,则。E=L。，由此可求出

2

BE的长，进而可在RtaABC中，根据射影定理求出BC的长.

(2)设圆心到BC的距离为人利用勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)连接C4、CD；

根据折叠的性质，得：CB=BDC；

，NCAB=NCBD+NBCD；

:NCDA=/CBD+NBCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),

：.ZCAD^ZCDA,即△C4O是等腰三角形；

过C作CELAB于E,则AE=DE=2.5；

：.BE=BD+DE=9.5i

在Rt^ACB中，CEYAB,根据射影定理，得：

Bd=BE・AB=95X12=114；

故

(2)设圆心到BC的距离为〃，圆的半径为r=6,

由(1)知，RtZ\ECB中，BE=9.5,BC=VT14-

•*-CE=7BC2-BE2=7114-9-52'

chCE

.s】心隹

仁叵,

2_

故圆心到BC的距离为叵.

【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够

根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键.

22.已知圆0的直径AB=12,点C是圆上一点，且NA8C=30°,点P是弦2C上一动点,

(1)如图1,当尸Z)〃A8时，求PO的长;

(2)如图2,当8尸平分NOPQ时，求PC的长.

【分析】(1)先判断出NPO8=90°,进而求出OP=OB・tan30°=2、石最后用勾股定理

即可得出结论；

(2)先求出OH*1B=3,BH=0B'COS30°;短,进而求出CH=BH=3b，即可得出结

论.

【解答】解：如图1,联结。£>

•・•直径A8=12

JOB=OD=6

*：PDLOP

JZDPO=90°

9：PD//AB

：.ZDPO+ZPOB=1SO°

：.NPOB=90°

XVZABC=30°,OB=6

.•.OP=OB'tan3Q0=2/3

「在Rt/XPO。中，PO2+PD1=OD1

,**(2V3)2+PD2=62

，PD=2遍

(2)如图2,过点0作OHL8C,垂足为//

\'OH±BC

；.NOHB=NOHP=90°

VZABC=30°,OB=6

0H=^0B=31BH=0B，cos30°=373

•.,在O。中，OHLBC

，CH=BH=3F

,：BP平分/OPO

'-ZBP0=yZDP0=45

：.PH=OH'CQ^5°=3

/.PC=CH-PH=3V3-3.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，利用锐角三角函数求

出线段是解本题的关键.

23.如图，48是半圆。的直径，E是弧BC的中点，0E交弦BC于点、D,己知BC=8cm,

DE=2cm,求。。与的长.

【分析】连接AC,设。。的半径为R.在RtZ\0Q8中，利用勾股定理求出R,再利用三

角形的中位线定理求出AC,在RtZ\AC£＞中，利用勾股定理求出AQ即可；

【解答】解：连接AC,设。。的半径为R.

•/CE=EB，

OEVBC,

：・CD=DB=4cm,

在RtAODB中，OCP+BD1=OB1,

(R-2)2+42=7?2,

・・.R=5,

:.OD=OE-DE=3,

•・・A0=03,CD=DB,

・二4(7=20。=6,

TAB是直径，

・・・NC=90°,

,'MD=；VAC2+CD2=V62+42=2^-

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

24.如图，在。。中，直径43与弦C。相交于点P,NC48=40°,ZAPD=65°

(1)求的大小；

(2)已知A£>=6,求圆心。到B。的距离.

【分析】(1)先依据三角形的外角的性质求得NC的度数，然后再根据圆周定理求解即

可；

(2)利用三角形中位线的性质得出E0=L。，即可得出答案.

2

【解答】解：(1)VZAPD=ZC+ZCAH,

：.ZC=65°-40°=25°,

；./B