2024秋新教材高中数学课时跟踪检测二十七直线与平面平行新人教A版必修第二册

PAGEPAGE1直线与平面平行层级(一)“四基”落实练1．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是 ()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面解析：选D∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点．∴直线a，b的位置关系是平行或异面．故选D.2．已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是()A．相交 B．平行C．相交或平行 D．不确定解析：选B因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.故选B.3．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是 ()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A在平面E1FG1与平面EGH1中，因为E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.4．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是()A．平行或相交 B．相交或异面C．平行或异面 D．平行、相交或异面解析：选D当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，明显满意题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满意题目条件．故选D.5．(多选)已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是 ()A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b B.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒α∥a解析：选BCD由基本领实4及平行平面的传递性知A正确．举反例知B、C、D不正确．B中a，b可以相交，还可以异面；C中α，β可以相交；D中a可以在α内．故选B、C、D.6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形态肯定是________．解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．答案：平行四边形7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则eq\f(MN,AC)＝________.解析：∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点．∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：∵BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，∴BE∥平面AA1D.∵BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，∴BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，∴EC∥A1D.层级(二)实力提升练1．(多选)如图是正方体的平面绽开图．在这个正方体中，正确命题的()A．BM∥平面DEB．CN∥平面AFC．平面BDM∥平面AFND．平面BDE∥平面NCF解析：选ABCD以ABCD为下底面还原正方体，如图．则易判定四个命题都是正确的．2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为 ()A.eq\f(3\r(5),2) B.eq\f(9,2)C.eq\f(9,8) D.eq\f(3\r(5),8)解析：选B取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2)，MC1＝BN＝eq\r(5)，所以梯形的高为eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面积为eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2).3．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.则以下四个说法中正确的是 ()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APC解析：选BCA：MN∥AC，连接AM，CN，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；B：平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；C：由BP＝eq\f(2,3)BD1，以及B知△APB∽△D1PM，所以A，P，M三点共线是正确的；D：直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．4.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM.又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形．∴AN＝C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC.∴N为AC的中点．5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以QB∥PA.因为QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，所以QB∥平面PAO.连接DB.因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以PO为△DBD1的中位线．所以D1B∥PO.因为D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.层级(三)素养培优练1.(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是()A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积不为定值C．三棱锥A­BEF的体积为定值D．四面体ACDF的体积为定值解析：选ACD对于A，如图①，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD.又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；对于B，如图②，S△AEF＝eq\f(1,2)EF·h1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(6),4)，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VACEF＝VC­AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(6),4)×d＝eq\f(\r(6),4)d为定值，所以B错误；对于C，如图③，S△BEF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VA­BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×d＝eq\f(1,2)d为定值，C正确；对于D，如图④，四面体ACDF的体积为VACDF＝VF­ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3＝eq\f(9,2)为定值，D正确．故选A、C、D.2.如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB随意翻折．(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？假如正确，请证明；假如不正确，请说明能否变更个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略)．∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下．当点F，A，D共线时，如题图，易证得MN∥FD.当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD总成立，依据面面