广东省高州市2025届高三数学上学期第一次模拟考试12月试题

PAGEPAGE10广东省高州市2025届高三数学上学期第一次模拟考试（12月）试题本卷命题范围：高考范围。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{x|2x2-5x-3＜0}，N＝{-2，1，2，4}，则M∩N＝A．{-2，1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{1，2，4}2．设复数z＝1-（1-i）3，则|z|＝A．1B．2C．D．3．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则A．B．C．D．4．设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．函数的部分图象大致为A．B．C．D．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝k（x＋2）与抛物线C交于点A（1，2），B，则|FB|＝A．3B．4C．5D．67．已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，在这6个顶点中随意取2个不同的顶点Ai，Aj（1≤i＜j≤6）得到线段AiAj，则|AiAj|{1，2}的概率为A．B．C．D．8．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面绽开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1＝A．B．2C．D．二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是A．甲得钱是戊得钱的2倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱10．如图是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法正确的是A．ω＝2B．是函数，f（x）的一个对称中心C．D．函数f（x）在区间上是减函数11．若0＜x＜y＜1，则下列结论正确的是A．B．ex＞ex-yC．xn＜yn，n∈N*D．logxy＞logyx12．已知函数f（x）＝x2＋sinx，则下列说法正确的是A．f（x）有且只有一个极值点B．设g（x）＝f（x）·f（-x），则g（x）与f（x）的单调性相同C．f（x）有且只有两个零点D．f（x）在上单调递增第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题13．当a为常数时，绽开式中常数项为15，则a＝________．14．在△ABC中，若，则△ABC是________三角形．15．已知圆M：x2＋y2-12x-14y＋60＝0，圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，则圆N的标准方程为________．16．若xex＝5，，则xy＝________．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．从条件①2b-a＝2ccosA，②ctanC-acosB＝bcosA，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，，________，求△ABC的面积．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．18．2024年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，许多人通过短视频APP或微信、微博表达了对祖国的祝愿．某调查机构为了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝愿的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝愿的人，并从参加者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝愿的有160人．将这160人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求a的值并估计这160人的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝愿的中老年人有26人，问是否有99％的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝愿与年龄有关？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（1）若{an}为等差数列，a1＝-1，，求Sn和an的表达式；（2）若数列{Sn}满意，求an．20．如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，且，．（1）求证：平面BDD1B1⊥平面CDD1C1；（2）求二面角C—BD1—C1所成角的余弦值．21．已知点P（-2，-1）为椭圆C：（a＞b＞0）上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点P作直线PA，PB，与椭圆C分别交于点A，B．（1）求椭圆C的标准方程与离心率；（2）若直线PA，PB的斜率之和为0，证明：直线AB的斜率为定值．22．设函数，a≠0，a∈R．（1）探讨f（x）的单调性；（2）当a＝1且m∈（0，ln2）时，函数（x＞0），证明：F（x）存在微小值点x0，且m＋lnx0＜0．

高州市2024～2025届高三第一次模拟考试·数学参考答案、提示及评分细则1．B，所以M∩N＝{1，2}，故选B．2．Dz＝1-（1-i）2（1-i）＝1＋2i（1-i）＝1＋2＋2i＝3＋2i，所以，故选D．3．B依题意，，故选B．4．C5．B由题知，在（-∞，0）∪（0，＋∞）上恒成立，所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，解除C；因为，f（π）＝0，解除A，D，故选B．6．C由点A（1，2）在抛物线C上得p＝2，设，由直线过定点（-2，0）得，解得t＝4（舍去2），B（4，4），所以．故选C．7．C由已知得，（1≤i＜j≤6），（1≤i＜j≤6），在这6个顶点中随意取2个不同的顶点Ai，Aj（1≤i＜j≤6），得到以下15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6，其中满意（1≤i＜j≤6）的有以下6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5，A4A6，依据古典概型的计算公式得，|AiAj|{1，2}的概率为，故选C．8．D由绽开图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为的等边三角形，其外接圆的半径满意，所以r＝1．由4πR2＝12π得．由球的性质可知，球心O究竟面ABC的距离为，结合球和直三棱柱的对称性可知，，故选D．9．AC依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a-2d＋a-d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝-6d，又a-2d＋a-d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，所以，，，，所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，所以甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．综上，故选AC．10．ACD由题知，A＝2，函数f（x）的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，k∈Z，解得，k∈Z，又|φ|＜π，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数f（x）的一个对称中心，故B错误；令，m∈Z，得，m∈Z，当m＝-1时，，因为，所以函数f（x）在区间上是减函数，故D正确．故选ACD．11．ABC因为0＜x＜y＜1，所以0＜xy＜1，，所以，所以，故A正确；因为0＜x＜y＜1，所以x＞0＞x-y，所以ex＞ex-y，故B正确；因为0＜x＜y＜1，所以0＜xn＜yn＜1，n∈N*，故C正确；因为0＜x＜y＜1，所以0＜logxy＜logxx＝1，logyx＞logyy＝1，所以logxy＜1＜logyx，故D错误．故选ABC．12．ACD由题知，f'（x）＝2x＋cosx，f"（x）＝2-sinx＞0，所以f'（x）＝2x＋cosx在R上单调递增，当x＝0时，f'（x）＝1＞0；当时，，所以存在，使得f'（x0）＝0，所以函数f（x）＝x2＋sinx在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，所以f（x）有且只有一个极值点，故A正确；因为f（-x）＝x2-sinx，所以g（x）＝f（x）·f（-x）＝x4-sin2x，所以g'（x）＝4x3-2sinxcosx＝4x3-sin2x所以g'（0）＝0，故g（x）的一个极值点为0，所以g（x）与f（x）的单调性不相同，故B错误；因为f（x）有且只有一个极值点x0，，且f（0）＝0，所以f（x）在（-∞，x0）和（x0，＋∞）上各有一个零点，所以f（x）有且只有两个零点，故C正确；因为y＝x2与y＝sinx在上都是单调递增，所以f（x）＝x2＋sinx在上单调递增，D正确．故选ACD．13．±1的第r＋1项为，令-12＋3r＝0，得r＝4，所以，解得a＝±1．14．等腰直角若，则，由，当且仅当sinA＝sinB时取等号，即A＝B．又2sinC≤2，则2≤2sinC≤2，即sinC＝1，，△ABC为等腰直角三角形．15．（x-6）2＋（y-1）2＝1圆M的标准方程为（x-6）2＋（y-7）2＝25，所以圆心M（6，7），半径为5．由圆心N在直线x＝6上，可设N（6，y0）．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7-y0＝5＋y0，解得y0＝1．因此，圆N的标准方程为（x-6）2＋（y-1）2＝1．16．5e由得由xex＝5得x＞0，故函数f（x）＝xex（x＞0）为单调递增函数，，又∵．17．解：选择①，因为2b-a＝2ccosA，所以由余弦定理得，所以a2＋b2-c2＝ab，所以由余弦定理得，所以，所以△ABC的面积为．选择②，因为ctanC-acosB＝bcosA，所以由正弦定理得sinCtanC-sinAcosB＝sinBcosA，所以sinCtanC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC．又0＜C＜π，所以sinC≠0，所以tanC＝1，所以，所以，所以△ABC的面积为．选择③，因为，所以由正弦定理得，即5sinCcosB-5sin（B＋C）＝5sinCcosB-（5sinBcosC＋5cosBsinC）＝4sinB，所以sinB（4＋5cosC）＝0．又0＜B＜π，所以sinB≠0，所以，所以，所以△ABC的面积为．18．解：（1）由10×（0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01）＝1得a＝0.035．这160人的平均年龄为20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5．（2）前3组人数为10×（0.010＋0.015＋0.035）×160＝96，由题意得2×2列联表：通过短视频APP表达祝愿通过微信或微博表达祝愿合计青少年1496110中老年266490合计40160200，所以有99％的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝愿与年龄有关．19．解：（1）设等差数列{an}的通项为an＝-1＋（n-1）d（d为等差数列的公差），则，解得，所以an＝1-2n，．（2）当n≥2时，，①，②由①-②得，，Sn＝3×2n，当n＝1时，，S1＝16，所以当n＝1时，a1＝S1＝16；当n＝2时，a2＝S2-S1＝12-16＝-4；当n≥3时，an＝Sn-Sn-1＝3×2n-1，所以20．（1）证明：因为AD⊥AB，，所以BC＝2，，因为，所以BD2＋DC2＝BC2，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．因为AA1⊥底面ABCD，所以DD1⊥底面ABCD，所以BD⊥DD1．因为DD1∩CD＝D，所以BD⊥平面CDD1C1，又BD平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面CDD1C1．（2）解：如图，分别以DB，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），，，，．所以，，，设平面CBD1的法向量为，则令x＝1，得．设平面C1BD1的法向量为，则令a＝1，得，所以，由图知二面角C-BD1-C1为锐角，所以二面角C-BD1-C1所成角的余弦值为．21．（1）解：由题设，得，①且，②由①②解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为，椭圆C的离心率为．（2）证明：设直线PA的斜率