新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2024-2025学年高二数学上学期第二次月考试题文含解析

PAGEPAGE16新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2024-2025学年高二数学上学期其次次月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,则下列推理中正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：对于A，当时不成立；对于B，当时不成立；对于D，当均为负值时，不成立，对于C，因为在上单调递增，由，又因为，所以即，正确；综上可知，选C.考点：不等式的性质.2.“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要留意基本不等式的合理运用．3.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为，依据题意可得，，且，解得，故A正确．考点：椭圆的方程及基本性质4.下列命题中，真命题是（）A. B.C.的充要条件是 D.是的充分条件【答案】D【解析】A：依据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．

B：当时，，所以B错误．

C：若时，满意，但不成立，所以C错误．D：则，由充分必要条件的定义，，是的充分条件，则D正确．

故选D．5.若不等式对随意实数均成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分类探讨，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对随意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【详解】a=2时，不等式可化为﹣4＜0对随意实数x均成立；a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对随意实数x均成立，等价于，∴﹣2＜a＜2．综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故选A．【点睛】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类探讨的数学思想，考查学生的计算实力，属于中档题．6.已知变量满意约束条件，则目标函数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由，解得A(2,0)；由，解得B(，3)．∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．7.已知，，，则的最小值为（）A.6 B.12 C.18 D.24【答案】C【解析】【分析】由绽开后利用基本不等式求得最小值。【详解】∵，，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是18。故选：C。【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“1”8.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后依据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．【详解】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），则有①，②，①﹣②式可得：又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得kEF=∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选D．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的驾驭．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时须要自己依据题目条件设直线方程，要特殊留意直线斜率是否存在的问题，避开不分类探讨造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再依据详细问题应用上式，其中要留意判别式条件的约束作用．9.若为不等式组表示的平面区域，则从-2连续改变到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的改变范围，最终由三角形面积公式解之即可．解答：解：如图，不等式组表示平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=-x+a）在y轴上的截距从-2改变到1．知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=故选D．10.设、是满意的正数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得的最大值，然后利用对数的运算性质可求得的最大值.【详解】、均为正数，且，由基本不等式可得，所以，，当且仅当，时，等号成立，所以，，即的最大值是.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算实力，属于基础题.11.双曲线的方程为：，该双曲线的虚轴长为4,离心率,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与的等差中项,则等于()A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】分析：双曲线的方程为，利用双曲线的定义可以得到，，由等差中项的定义可得;因此,最终求出.【详解】因为，所以，又，故，所以，由双曲线的定义可知：，因为是与的等差中项，所以，故，即，故选A.点睛：一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.12.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得点P的坐标，由，从而可得答案．详解】依题意，设，则，，，又，，，，即，．设该椭圆的离心率为e，则，椭圆的离心率．故选C．【点睛】本题考查椭圆的简洁性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算实力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.不等式的解为．【答案】或【解析】试题分析：，∴不等式的解集是.考点：解不等式.14.命题“，使得”的否定是【答案】，都有【解析】试题分析：由命题的否定，可得“，都有”考点：命题的否定15.直线与双曲线相交于、两点，______.【答案】【解析】【分析】设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，然后利用弦长公式可求得.【详解】设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，由弦长公式得.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线相交所得弦长的计算，考查计算实力，属于中等题.16.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.【答案】【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】设点、，由题意可得，，，直线的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，，，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线标准方程求解，涉及点差法的应用，考查计算实力，属于中等题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.依据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上随意一点P到两焦点的距离之和等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由焦点坐标确定以及焦点的位置，再由椭圆的定义得出，即可得出椭圆方程；(2)由焦点坐标确定以及焦点的位置，再由椭圆的定义以及两点间距离公式求出，即可得出椭圆方程.【详解】(1)由椭圆的焦点坐标可知，，且焦点在轴上由椭圆的定义得，则所以椭圆的标准方程为(2)由椭圆的焦点坐标可知，，并且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及基本性质，属于中档题.18.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值；（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.【详解】（1），，而，当且仅当，即当时，该函数取得最小值；（2），，则，当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对函数解析式变形，考查计算实力，属于基础题.19.已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的标准方程求得椭圆的焦距，可得出所求双曲线的焦距，并设所求双曲线的标准方程为，依据题意得出关于、的方程组，求得和的值，由此可求得所求双曲线的标准方程.【详解】椭圆的焦距为，设双曲线方程为，则，故所求双曲线方程为.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解答的关键就是得出关于、的方程组，考查计算实力，属于基础题.20.命题p：关于x的不等式对一切恒成立；命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算实力，属于中档题．21.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：；(3)求△F1MF2的面积．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)6【解析】【分析】(1)依据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；(2)依据题意求出，，依据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.【详解】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则，所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.(3)的底.由(2)知.所以的高，所以【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.22.如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C