2024-2025学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修第二册

PAGE模块综合测评(时间:120分钟，满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z满意(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.]2．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|bA．eq\r(6)B．eq\r(5)C．eq\r(3)D．eq\r(2)C[由题意可得a·b＝|b|cos30°＝eq\f(\r(3),2)|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2eq\r(3)|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝eq\r(3)，故选C．]3．设z＝eq\f(1,1＋i)＋i，则|z|等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．2B[∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).]4．某班的全体学生参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝eq\f(15,0.3)＝50.]5．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面绽开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]6．已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为()A．1 B．2C．eq\r(5) D．3A[因为a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝eq\r(cosθ－22＋sin2θ)＝eq\r(1－4cosθ＋4)＝eq\r(5－4cosθ)，因为θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值为eq\r(5－4)＝1.故选A．]7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1B[5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P＝eq\f(6,10)＝0.6.]8．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，则B等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,6)D[∵A＝120°，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得，sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).∵A＝120°，∴B＝30°，即B＝eq\f(π,6).]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，则下列说法中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥βB．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥nC．若m不垂直于α，则m不行能垂直于α内的多数条直线D．若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥βBD[在A中，垂直于两平面交线的直线不肯定垂直于两个平面，A错误；B正确；在C中，平面内垂直于m的射影的直线，m与它们都垂直，C错误；D正确．故选BD．]10．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事务，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事务，下列命题正确的是()A．P(B)＝eq\f(23,30)B．事务B与事务A1相互独立C．事务B与事务A2相互独立D．A1，A2互斥AD[依据题意画出树状图，得到相关事务的样本点数：因此P(A1)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，A正确；又P(A1B)＝eq\f(15,30)，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不行能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选AD．]11．如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事务A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为eq\f(1,3)B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为eq\f(1,30)C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为eq\f(5,6)D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为eq\f(29,36)ACD[由题意知，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，P(D)＝eq\f(1,5)，P(E)＝eq\f(1,6)，所以A，B两个盒子畅通的概率为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝1－eq\f(1,30)＝eq\f(29,30)，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为eq\f(29,30)×eq\f(5,6)＝eq\f(29,36)，D正确．故选ACD．]12．在△ABC中，下列命题正确的是()A．若A>B，则sinA>sinBB．若sin2A＝sin2B，则△ABCC．若acosB－bcosA＝c，则△ABC定为直角三角形D．若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为钝角ACD[在△ABC中，若A>B，则a>b，因此sinA>sinB，A正确；若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；若acosB－bcosA＝c，则sinA·cosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)，所以sinBcosA＝0，即cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，所以△ABC定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是3∶5∶7，设最大边所对的角为θ，则cosθ＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，因为eq\f(π,3)<θ<π，所以θ＝eq\f(2π,3)，D正确．故选ACD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.eq\f(1,2)[∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，∵0＜θ＜eq\f(π,2)，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,2).]14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为________．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).]15．如图所示，已知在长方体ABCD­EFGH中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．(第一空2分，其次空3分)45°60°[∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝eq\f(GF,BF)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠GBF＝60°.]16．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．eq\f(9,32)[设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥＝eq\f(1,3)·πa2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.又R2＝a2＋(eq\r(3)a－R)2，所以R＝eq\f(2\r(3),3)a，故V球＝eq\f(4π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))eq\s\up12(3)＝eq\f(32\r(3)π,27)a3，则其体积比为eq\f(9,32).]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．[解](1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝eq\f(\r(3),3)，sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9)，ac＝2eq\r(3)，求sinA和c的值．[解]在△ABC中，由cosB＝eq\f(\r(3),3)，得sinB＝eq\f(\r(6),3)，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9).因为sinC＜sinB，所以C＜B，可知C为锐角，所以cosC＝eq\f(5\r(3),9).因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(6),3)×eq\f(5\r(3),9)＋eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),9)＝eq\f(2\r(2),3).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，可得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(\f(2\r(2),3)c,\f(\r(6),9))＝2eq\r(3)c，又ac＝2eq\r(3)，所以c＝1.19．(本小题满分12分)为了选出参与全国移动互联创新大赛优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，依据以往阅历，甲与这三位志愿者进行竞赛一场获胜的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，eq\f(2,3)，且各场输赢互不影响．求甲恰好获胜两场的概率．[解]设甲与三位志愿者竞赛一场获胜的事务分别为A，B，C，则P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(2,3)，则甲恰好获胜两场的概率为：P＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(B)·P(C)＋P(A)·P(eq\x\to(B))·P(C)＋P(A)·P(B)·P(eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(9,20).20．(本小题满分12分)如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

[证明](1)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点．所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.21．(本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值．记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严峻拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严峻拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严峻拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．[解](1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严峻拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为eq\f(6,18)×6＝2，eq\f(6,18)×9＝3，eq\f(6,18)×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严峻拥