新教材人教B版必修第二册 函数的应用（二）

函数的应用（二）

基础通关一水平一》

（15分钟30分）

1.（2020•宝鸡高一检测）调查说明，酒后驾驶是导致交通事故的主要

缘由，交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超

过mg/m/.假如某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将快速上升到

mg/m/,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度削减,那

么他至少要经过小时后才可以驾驶机动车.（）

【解析】选B.设n个小时后才可以驾车，由题得方程

1

0.8（150%）n=0.2,0.5n=-,

4

n=2,即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.

2.（2020•郑州高一检测）有一个盛水的容器，由悬在它的上方的一条

水管匀称地注水,最终把容器注满,在注水过程中，时刻t,水面高度y

如下图，图中PQ为一线段，与之对应的容器的外形是（）

A

【解析】选B.由函数图像可推断出该容器必定有不同规那么外形，并

且一开头先慢后快，所以下边粗，上边细，再由PQ为一线段，容器上端

必是直的一段，故排解A,C,D.

【补偿训练】

（2020•福州高一检测）某学校开展讨论性学习活动，一组同学获得了

下面的一组试验数据：

X48

y

现有如下4个模拟函数：

①y=0.6x0.2;②y=x?55x+8;③y=log2X；④y=2'3.02.

请从中选择一个模拟函数，使它比拟近似地反映这些数据的规律,应

选（）

A.①B.②

C.③D.④

【解析】选C.依据表中数据，画出图像如图:

O

通过图像可看出，y=log2X能比拟近似地反映这些数据的规律.

3.依据有关资料，围棋状态空间简单度的上限M约为3吗而可观测宇

M

宙中一般物质的原子总数N约为IO'。,那么以下各数中与m最接近的是

（参考数据：1g3仁0.48）

3353

7193

M3361

【解析】R=x=诵

两边取对数lgx=lg33611g1080=361XIg380,Igxt93.28,所以接近

1093.

4.在不考虑空气阻力的状况下，的最大速度v（米/秒）和燃料的质量

M（千克）、（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是v=2

（M\

000-ln[l+当燃料质量是质量的倍时，的最大速度可达

12千米/秒.（）

6616+161

【解析】选B.当v=12000米/秒时，

（MX

2000•ln（l+-J=12000,

（M\M

所以|n（l+-J=6,所以巾二e61.

5.讨论人员发觉某种物质的温度v（单位:摄氏度）随时间x（单位:分

钟）的变化规律是:y=2・2'+2飞20）经过分钟，该物质温度为5

摄氏度.（）

【解析】选A.某种物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）

的变化规律是：

y=2・2x+21x（x^0）,

当y=5时，2•2x+21x=5,

由x20,解得x=1.

所以经过1分钟，该物质温度为5摄氏度.

6.家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭

氧含量Q呈指数函数型变化，满意关系式Q=Q%-焉，其中Q。是臭氧的

初始量.

（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是削减？

（2）多少年以后将会有一半的臭氧消逝？（提示：In2-0.693,In3心

1.099）

【解析】（1）由于Q°>0，U<°，e>1,

4UU

所以Q=Q（）e-荻为减函数，

所以随时间的增加，臭氧的含量是削减的.

（2）设x年以后将会有一半的臭氧消逝，

那么Q=Qoe-#,即e-缶1

一X1

取对数可得:颉二|叼

解得x=400ln2-277.2.

所以278年以后将会有一半的臭氧消逝.

।能力进阶一水平二》

（30分钟60分）

一、单项选择题（每题5分，共20分）

1.某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为Pl,p2,P3,那

么这三年的年平均增长率为()

A.§(P1+P2+P3)

B.\JP1P2P3

c.vmu+P2)(i+P3)i

上l+§(Pi+P2+P3)

【解析】选C.设这三年的年平均增长率为X,企业产值的基数为a,

那么a(l+x)3=a(l+1)(1+P2)(1+P3),所以

+匕)。+。3)1.

2.假设镭经过100年后剩余原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过

x年后剩余量为y,那么x,y的函数关系式是()

x/>100x

6荻。

(0.9576丫x

Jy\100)4荻

【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的百分比为t,

那么有0.9576=1-(1-0,9576焉，

所以y=(l-t)*x=0.957$高.

3.某新品牌电视机投放市场后第一个月销售100台,其次个月销售

200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，那么以下函数模

型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是

()

A.y=100x

B.y=50x250x+100

C.y=50X2x

D.y=1001og2x+100

【解析】选C.由题意，对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大.

对于B中的函数，当x=4时，误差也较大.

对于C中的函数，当x=1,2,3时，误差为0,x=4时，误差为10,误差很

小.

对于D中的函数，当x=4时，y=300,与实际值790相差很大.

综上，只有C中的函数误差最小，应选C.

4.（2020•潍坊高一检测）将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分

钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线ynaeC假设过5分钟后甲桶

和乙桶的水量相等，假设再过m分钟甲桶中的水只有那么m的值为

（）

【解析】；=ae5n,

令:ae”\即\

11

由于2V故E

故t=15,m=155=10.

二、多项选择题（每题5分，共10分,全部选对得5分,选对但不全的

得3分,有选错的得0分）

5.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目

前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3

所示.你能依据图像推断以下说法错误的选项是（）

①图2的建议为削减运营本钱

②图2的建议可能是提高票价

③图3的建议为削减运营本钱

④图3的建议可能是提高票价

A.①B.②C.③D.④

【解析】选BC.依据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上

平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明白此建

议是降低本钱而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为。时，支出不

变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高

了，即说明白此建议是提高票价而保持本钱不变，综上可得①④正确，

②③错误.

6.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种

..1

溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,每过滤一次杂质含量削减

那么使产品到达市场要求的过滤次数可以为(参考数据：1g3

0.301,1g3仁0.477)()

【解析】选BC.设经过n次过滤，产品到达市场要求,

2

刃日么一X

100

2

nigIg20,

即n(lg21g3)W(1+lg2),

1+Ig2

得n2右7.4.

Ig3-lg2

【补偿训练】

如图某池塘中的浮萍扩散的面积y（m2）与时间t（月）的关系:y=a：以

下表达中正确的选项是（）

A.这个指数函数的底数是2

B.第5个月时,浮萍的面积超过30m2

C.浮萍从4Hi?扩散到12in?需要经过个月

D.浮萍每个月增加的面积都相等

［解析］选AB.对于A,由图像知，t=2时，y=4,所以a2=4,故a=2,故A

正确；

对于B,当t=5时，y=25=32>30,故B正确;

对于C,当y=4时，由2G=4,知ti=2,

当y=12时，由2t2=12,知t2=log212=Iog24+1og23=2+log23,那么

12tkIog23羊1.5,故C错误;

对于D,浮萍每月增加的面积不相等，实际上增长速度越来越快，故D

错误.

三、填空题（每题5分，共10分）

7.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树万棵,方案3年

后全年植树万棵.假设植树的棵数每年的增长率均为a,那么

a=.

【解析】由题意可知6.4(1+a)J12.5,

1255

所以(1+a),所以1+a=-,

644

,1

故a=-=25%.

4

答案:25%

8.某项讨论说明：在考虑行车平安的状况下,某路段车流量F（单位时

间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时）与车流速度v（假设车辆以相

同速度v行驶,单位:米/秒）、平均车长/（单位:米）的值有关,其公式

80720v

为F=3+i8”而假设，=6­°，那么最大车流量为辆/时.

【解析】当/=6.05时,

80720

80720v

C--------------------=121

v2+18v+121v+V+18>

121121

i±JTv+—^2^121=22,当且仅当v=—,

―80720

^-——=2018.

22+18

答案:2018

四、解答题（每题10分，共20分）

9.(2020•吉林高一检测)我国参加WT0时,依据达成的协议,某产品的

市场供给量P与市场价格x的关系近似满意

1

P(x)=2(l-kt)(x-b)2(其中t为关税的税率，且t£[0,x为市场价

格,b,k为正常数).当t1时的市场供给量曲线如下图.

O

(1)依据图像求b,k的值.

1

(2)当关税的税率t=莉时,求市场供给量P不低于1024时,市场价格

至少为多少？

，(1-飙5-犷

乙—

【解析】(1)由图可知,2。-/7-力2，

I乙乙

解得k=6,b=5,

(2)由(1)可得P(x)=2(l-6。(％-5尸，

设m=(16t)(x5)；

12

当时，m=R(x5)2,

1UD

由于市场供给量P不低于1024时，

所以024,解得m210,

2

所以三(x5)2210,解得x210.

5

故市场供给量P不低于1024时，市场价格至少为10.

10.为了预防新冠病毒疫情,某学校对教室采纳药熏消毒法进行消毒,

药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正

k

比例，药物燃烧完后满意y=?如下图,现测得药物8min燃毕,此时室

内空气中每立方米的含药量为6mg,请按题中所供给的信息,解答以

下各题.

⑴求y关于x的函数解析式；

(2)讨论说明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不

低于10min时才能有效杀灭空气中的病毒,那么此次消毒是否有效?

为什么？

【解析】(1)当0WxW8时，

设y二人x,代入(8,6),

3

解得人二疝

q

3

所以y=-x(0WxW8).

4

k

当X28时，将(8,6)代入yq,

可得k=48,

|x,0<%<8,

484

所以y=所以y=48

(2)当x£[0,8]时,：x=3,解得x=4,

4

48

当x>8时，一=3,解得x=16.

X

所以空气中每立方米的含药量不低于3mg时的持续时间为

164=12(min)>10,所以此次消毒有效.

"创新迁移》

1.在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验:将一块质

量为7克的糖块放入肯定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量,

得到假设干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为克.

联想到教科书中讨论“物体冷却”的问题，小明发觉可以用指数型函

数S=aekYa,k是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中S（单位:克）

代表t分钟末未溶解糖块的质量.

（1）求a的值.

⑵求k的值.

⑶设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变

化的函数关系的草图，并简要描述试验中糖块的溶解过程.

【解析】（1）由题意,t=0,S=a=7.

⑵由于5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，

[n2

所以3.5=7e：解得k=—.

5

（3）M随t变化的函数关系的草图如下图.

溶解过程，随着时间的增加，渐渐溶解，溶解的速度越来越慢.

2.（2020•上海高一检测）从金山区走出去的陈驰博士，在？自然——可

持续性?杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林

和提高农业效率,在其中起到了主导地位.某种树木的高度f（t）（单位:

米）与生常年限t（单位:年,tfN*）满意如下的规律斯蒂函

6

数：f(C)=l+e-a5t+2,其中e为自然对数的底数•设该树栽下的时刻

为0.(In5«1.61)

(1)需要经过多少年,该树的高度才能超过5米？(精确到个位