2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第五章 第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用含答案

19版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第五章第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用【课程标准】1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查y=Asin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点ωx+φ0ππ32πx0ππ32y=Asin(ωx+φ)0A0-A0【微点拨】用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的142.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度3.简谐运动的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相AT=2f=1T=ωx+φφ【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的有 ()A.函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-AB.函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-πC.把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin1D.如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T【解析】选ABC.因为只有当A>0时,y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以选项A错误;因为函数y=sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π3),所以选项B错误;因为把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin2x,所以选项C错误;因为函数y=Acos(ωx+2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(xA.sin(x2-7π12) B.sin(x2C.sin(2x-7π12) D.sin(2x+π【解析】选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(13.(必修第一册P241T4改条件)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为__________.

【解析】从题图可知:14T=7π12-π3=π4,所以T=π,ω=2,又因为2×7π12+φ=π2+2所以φ=-2π3+2kπ(k∈Z),又因为0<|φ|<π,所以φ=-2π3,显然A=2,因此y=2sin(2x-2π答案:y=2sin(2x-2π34.(混淆ω值的影响)函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosωx,则ω的值为 ()A.3 B.13 C.9 D.【解析】选B.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=1【巧记结论·速算】1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减.”2.函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标【即时练】为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3x+πA.向左平移π5B.向右平移π5C.向左平移π15D.向右平移π15【解析】选D.因为y=2sin3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π【核心考点·分类突破】考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[例1](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sinx的图象,则f(x)在区间[0,π4]上的值域为 (A.[-32,1] B.[-12C.[12,1] D.[32【解析】选C.将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变得到y=sin2x的图象,再将y=sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位长度得到f(x)=sin(2x+π3)的图象.当x∈[0,π4]时,(2x+π3)∈[π3,5π6],所以sin((2)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,为了得到y=sinx的图象,则需将y=f(x)的图象 (A.横坐标缩短到原来的12,再向右平移πB.横坐标缩短到原来的12,再向右平移πC.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π3D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6【解析】选C.由题图可知,12T=5π6-π3=π2,所以T=π,故ω=2πT=2,故函数f又函数图象经过点(π3,0),故有sin(2×π3+φ)=0,即2×π所以φ=kπ-2π3(k∈Z),又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x故将函数f(x)=sin(2x+π3)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+π3)的图象,然后再向右平移π3个单位长度即可得到y=sin【解题技法】三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sinx经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.【对点训练】1.(2024·长春模拟)要得到y=cosx2的图象,只要将y=sinx2的图象 (A.向左平移π2B.向右平移π2C.向左平移π个单位长度D.向右平移π个单位长度【解析】选C.函数y=sinx2的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(x2+π2)=cos2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ=【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-π3]函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-π3)=0,则2φ-π3=kπ,k∈则φ=π6+kπ2,k∈Z,因为φ∈(0,π2),所以答案:π考点二由函数图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式[例2](1)函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为()A.y=2sin(2x+2π3) B.y=2sin(x+C.y=2sin(x2-π3) D.y=2sin(2x-【解析】选A.由已知可得函数y=Asin(ωx+φ)的图象经过点(-π12,2)和点(5π12,-则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),将(-π12,2)代入得-π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=2π3+2kπ,当k=0时,φ=2π3,此时y=2sin(2x+2π3(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为(A.g(x)=2sin2x B.g(x)=2cos(2x-π3C.g(x)=2sin(x-π6) D.g(x)=2cos(x+π【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;又f(0)=2sinφ=-1,所以sinφ=-12,又|φ|<π2,所以φ=-所以f(7π12)=2sin(7π12ω-π6)=0,由五点作图法可知7π12ω-所以f(x)=2sin(2x-π6);所以g(x)=f(x+π6)=2sin[2(x+π6)=2sin(2x+π6)=2cos[π2-(2x+π6)]=2cos(π3-2x)=2cos(2x【解题技法】根据三角函数图象求解析式的三个关键(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【对点训练】1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=__________【命题意图】本题考查函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.【解析】观察图象可知:f(x)的最小正周期T=43×13π12-π3=π,所以ω=2,又因为f13π12=2cos2×13π12+φ=2,所以所以f(x)=2cos2x-π6,所以fπ2=2cos2×答案:-32.已知函数y=Asin(ωx+φ)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<φ<π2【解析】依题意,得A=4-02=2,n=4+02=2,ω=2ππ2=4,所以所以4×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-5π6,k∈Z.因为0<φ<π2,所以k=1,φ=π6.所以函数解析式为y=2sin(4x答案:y=2sin(4x+π6)【加练备选】函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ<π2)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为 (A.y=-2sin(2x-π4) B.y=2sin(2x+πC.y=2sin(x+3π8) D.y=2sin(x2+【解析】选B.由题图知A=2,T2=5π8-π8=π2,把最值点(π8,2)代入y=2sin(2x+φ),得2sin(2π8+φ所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z),所以φ=2kπ+π4(k又因为φ<π2,所以φ=π4,因此函数的解析式是y=2sin(2x+π考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=sin2ωx+φ(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于点-πB.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin2xC.f(x)在区间0,πD.fx+【解析】选D.因为f(x)的图象过点0,12,所以sinφ=12,因为0<φ<π2因为f(x)的图象过点2π3,-1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6所以f(x)=sin2x+π6.因为f(-π3)=sin(-2π3+π6所以x=-π3为f(xf(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得y=sin2x-当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)在区间0,π令g(x)=fx+π6=cos2x,因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g所以g(x)=fx+π6=cos2【解题技法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asinx+bcosx的形式;(2)构造f(x)=a2+b2·aa2+b2·sin(3)和角公式逆用,得f(x)=a2+b2sin(x+(4)利用f(x)=a2+b2sin(x角度2函数零点(方程根)问题[例4](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.

【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)=cosωx-1=0,则cosωx=1有3个根,令t=ωx,则cost=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.答案:[2,3)【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.【解题技法】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.【对点训练】1.(多选题)已知函数f(x)=2sin2x+φ0<φA.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是-D.f(x)的一个单调递增区间是2【解析】选BD.由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T=2π2由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sinφ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;由函数f(x)=2sin2x+φ0<φ<π是偶函数可知φ=π2,则f(x)=2cos2x,故f(x)的对称中心为(kπ2-π4,0)(k∈Z),C错误;由于(2,3)⊆(π2,π)2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1x-2A.16 B.4 C.8 D.12【解析】选D.由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即πω=3,所以ω=π则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3,即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=tan(π3x+π3).又因为f(2)=tan(2π所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1x-考点四三角函数模型及其应用[例5]如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是 ()A.h=-8sinπ6t+10 B.h=-cosπ6C.h=-8sinπ6t+8 D.h=-8cosπ6【解析】选D.由题意设h=Acosωt+B,因为12min旋转一周,所以2πω=12,所以ω=π由于最大值与最小值分别为18,2.所以-解得A=-8,B=10.所以h=-8cosπ6t+10【解题技法】三角函数模型的两种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【对点训练】1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为__________℃【解析】由题意得a+A=28,a-A=18,解得a=23,A=5,所以y=23+5cos答案:20.52.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧CD,下部是一个矩形ABCD,CD所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=33米,∠COD=2π3,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在CD上.设∠OGF=θ,矩形EFGH(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)当cosθ为何值时,矩形EFGH的面积S最大?【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,∠COD=2π3可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=π3在Rt△COP中,CP=2,∠COP=π3,所以OC=433米,OP所以OM=OP-PM=OP-BC=33米,在Rt△ONG中,∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=4所以GN=433sinθ米,ON=433cosθ米,所以GH=2GN=GF=MN=ON-OM=(433cosθ-33)米,所以S=GF·GH=(433cos833sinθ=83(4cosθ-1)sinθ,θ∈(0,π3),所以S=83(4cosθ-1)sinθ,θ∈(0,π3(2)由(1)得S'=83(4cos2θ-4sin2θ-cosθ)=83(8cos2θ-cosθ-4),因为θ∈(0,π所以cosθ∈(12,1),令S'=0,得cosθ=1+12916∈(1设θ0∈(0,π3),且cosθ0=1+12916,所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S在(0,由S'<0,得θ0<θ<π3,即S在(θ0,π3)上单调递减,所以当θ=θ0时,所以当cosθ=1+12916时,矩形EFGH的面积S【重难突破】三角函数解析式中ω的求法三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.类型一ω的取值范围与单调性相结合[例1]已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是(A.[12,54] B.[12C.(0,12] D.【解析】选A.由π2+2kπ<ωx+π4<3π2+2kπ(k∈Z),得π4ω+2kπω<x<5π4ω因为函数f(x)在(π2,π)上单调递减,所以(π2,π)⊆(π4ω+2kπ即π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π当k=0时,12≤ω≤5【解题技法】已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法第一步:根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤12T=πω,求得0<ω≤第二步:以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ]⊆[-π2+2kπ,π2+2kπ],解得第三步:结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.【对点训练】已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx-π6)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是 (A.[12,54] B.[13C.(0,16] D.[16,【解析】选B.令2kπ≤ωx-π6≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ+π6ω≤x≤2因为函数f(x)在(π2,π)上单调递减,所以2kπ+π6解得4k+13≤ω≤2k+76(k∈Z).又因为函数f(x)在(π2所以T≥π⇒ω≤2.又ω>0,所以当k=0时,有13≤ω≤7类型二ω的取值范围与对称性相结合[例2]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π8是函数f(x)的一个零点,x=π8是函数f(x)的一条对称轴,若f(x)在区间(π5,π4)上单调,则ωA.14 B.16 C.18 D.20【解析】选A.设函数f(x)的最小正周期为T,因为x=-π8是函数f(x)的一个零点,x=π8是函数f(x)的一条对称轴,则2n+14T=π8-(-π8)=π4,其中n∈N,所以T=π因为函数f(x)在区间(π5,π4)上单调,则π4-π5≤T2所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-π8)=sin(-9π4+φ所以φ-9π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+9π4(k∈Z),因为-π2≤φ所以φ=π4,所以f(x)=sin(18x+π4),当π5<x<π4时,77π20<18x所以函数f(x)在(π5,π4(ⅱ)当ω=14时,f(x)=sin(14x+φ),f(-π8)=sin(-7π4+φ所以φ-7π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+7π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以所以f(x)=sin(14x-π4),当π5<x<π4时,51π20<14x-所以函数f(x)在(π5,π4)上单调递减,符合题意.因此,ω【解题技法】三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω【对点训练】(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象向右平移3π2ω个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,则ω可取的值为A.13 B.12 C.1 D【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移3π2ω个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-3π2ω)+π6]=sin(ωx+π6-3π2)又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以F(x)=sin(ωx+π6)cos(ωx+=12sin(2ωx+π3)的图象关于点(π3,0)对称,则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,所以ω=3又因为ω>0,所以ω的最小值为1,故ω可取的值为1,4.类型三ω的取值范围与三角函数的最值相结合[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为 A.[83,7) B.(83C.[4,203) D.(203【解析】选B.因为f(x)在区间(-π4,π3所以π3-(-π4)>T2=πω,所以ω>127.令t=ωx+π6,当x∈(-π4,π3)时,t∈(-π4ω于是f(x)=2sin(ωx+π6)在区间(-π4,π3)上的最值点个数等价于g(在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上的最值点个数.由ω>127知,-π4ω+π因为g(t)在(-π4ω+π6,π3ω+所以-3π2<-π4【解题技法】三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.【对点训练】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为12,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为________【解析】由题意可知,f(0)=12,且0<φ<π,则φ=π3.又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以T2=πω≥π,即0<ω≤1;f(x)=cos(ωx+π3),令ωx+π3=kπ,k∈Z,即x=kπ所以当x=kπω-π3ω,k∈Z时,函数f(x)=cos(ωx因为f(x)在区间(π,2π)内没有最值,所以kπω-π解得k-13≤ω≤k2+13,k∈Z,当k=0时,-13≤ω≤13,又0<ω当k=1时,23≤ω≤56,可得ω∈(0,13]∪[23答案:(0,13]∪[23,类型四ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合[例4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (A.53,136 C.136,83 【解析】选C.当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;函数f(x)=sinωx+则有ωx+π3∈π3,ωπ+π3,所以5π2<ωπ+【解题技法】三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为T2,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围【对点训练】(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为【解析】因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=2πω因为f(T)=cos(ω·2πω+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因为0<所以φ=π6,即f(x)=cos(ωx+π6),又因为x=π9为f所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.答案:3第二节充要条件与量词课程标准1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考情分析考点考法:充分必要条件的判断与量词是考查的重点,通常与数列、平面向量、函数、不等式知识相结合.多以选择题、填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【微点拨】p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定量词命题量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题【微点拨】1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=BD.命题“∃x∈R,sin2x2+cos2x2=1【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确;B选项,任意三角形的内角和为180°,正确;C选项,由集合的运算知,正确;D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2x2+cos2x2=1,2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b;a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.4.(不能正确运用充要关系建立不等关系致误)若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件,则实数a的值可以是 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选D.由x2-x-2<0得-1<x<2,因此,若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件,所以(-1,2)⫋(-2,a),则a≥2.【巧记结论·速算】若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件.【即时练】“|x-1|<2”是“x<3”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为|x-1|<2⇔-2<x-1<2⇔-1<x<3,且(-1,3)是(-∞,3)的真子集,所以“|x-1|<2”是“x<3”的充分不必要条件.【核心考点·分类突破】考点一充分、必要条件的判断[例1](1)(2024·绍兴模拟)“x>1”是“x≥0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x>1,则x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2024·潍坊模拟)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列命题中:①r是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确命题的序号是 ()A.①④ B.①②C.②③ D.②④【解析】选B.由p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p⇒r,r推不出p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,所以r⇔q,故r是q的充要条件,①正确;p⇒q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件,②正确;r⇔q,故r是q的充要条件,③错误;r⇔s,故r是s的充要条件,④错误.(4)(2024·南京模拟)已知p:关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,q:ac<-1,则p是q的________条件.

【解析】若关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,则a≠0Δ=b2-4ac若ac<-1,则可以推出ac<0,则a≠0,ca<0,Δ=b2-4ac>0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根所以p是q的必要不充分条件.答案:必要不充分【解题技法】判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒:定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.【对点训练】1.设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.2.(2024·哈尔滨模拟)“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”成立的 (A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若θ=π4+2kπ(k∈Z),则sinθ=sin(π4+2kπ)=sinπ4=22,若sinθ=22,不一定有θ=π4+2kπ(k∈例如θ=3π4+2kπ(k∈Z),则sinθ=sin(3π4+2kπ)=sin3π4=22,综上所述:“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”3.(2024·北京模拟)在人类中,双眼皮由显性基因A控制,单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型为AA或Aa时,这个人就是双眼皮,当一个人的基因型为aa时,这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息,则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若父母均为单眼皮,则父母的基因一定为aa和aa,孩子就一定是单眼皮.若孩子为单眼皮,则父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均为双眼皮,故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.【加练备选】1.(2024·温州模拟)已知a,b∈R,则“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,满足a2+b2>2,显然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.2.已知{an}是公差为3的等差数列,其前n项的和为Sn,设甲:{an}的首项为零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则 ()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选C.由{an}是公差为3的等差数列,可知S1+3=a1+3,S2+3=2a1+6,S3+3=3a1+12.若S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则(2a1+6)2=(a1解得a1=0或a1=-3(舍去,因为此时S1+3=S2+3=0),故S2+3是S1+3和S3+3的等比中项能推出{an}的首项为零,若{an}的首项为零,即a1=0,由{an}是公差为3的等差数列,则an=3(n-1)=3n-3,Sn=n(3所以S2+3=6,S1+3=3,S3+3=12,所以(S2+3)2=(S1故{an}的首项为零可推出S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,可得甲是乙的充要条件.考点二充分、必要条件的探究与应用[例2](1)(2024·商洛模拟)“不等式x2+2x-m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是 ()A.m<-1 B.m>4C.2<m<3 D.-1<m<2【解析】选A.因为“不等式x2+2x-m≥0在R上恒成立”,所以等价于二次方程x2+2x-m=0的判别式Δ=4+4m≤0,即m≤-1.所以A选项,m<-1是m≤-1的充分不必要条件,A正确;B选项中,m>4不可推导出m≤-1,故B不正确;C选项中,2<m<3不可推导出m≤-1,故C不正确;D选项中,-1<m<2不可推导出m≤-1,故D不正确.(2)金榜原创·易错对对碰①已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是__________.

【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1-m≤1+m,1-所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].答案:[0,3]②已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},若¬P是¬S的必要不充分条件,则m的取值范围是__________.

【解析】由已知可得P={x|-2≤x≤10},因为¬P是¬S的必要不充分条件,所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P.所以[-2,10]⫋[1-m,1+m].所以1-m≤-2,所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)【解题技法】1.充分、必要条件的探求类型含义探求p成立的充分不必要条件探求的条件⇒p;p探求的条件探求p成立的必要不充分条件探求的条件p;p⇒探求的条件探求p成立的充要条件探求的条件⇒p;p⇒探求的条件2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.【对点训练】1.(2024·乌鲁木齐模拟)一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-1)【解析】选C.由题意,记方程ax2+5x+4=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,因为一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以x1x2=根据选项可得到a<2是a<0的必要不充分条件.2.若关于x的不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.

【解析】|x-1|<a⇒1-a<x<1+a,因为不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)⊆(1-a,1+a),所以1-a≤0,1+a答案:[3,+∞)【加练备选】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】选B.由q:(x+1)(2-x)<0,可知q:x<-1或x>2.因为p是q的充分不必要条件,所以x≥k⇒x<-1或x>2,即[k,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.(多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是 ()A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0B.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1C.方程无实数根的充要条件是m>1D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0【解析】选AB.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0中Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9,两根和为3-m、两根积为m.若方程有一个正根和一个负根,则m2-10m+9>0m<0,解得若方程有两个正根,则m2解得0<m≤1,故B