2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第五章 第三节　第1课时　两角和与差的三角函数含答案

8版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第五章第三节第1课时两角和与差的三角函数第三节三角恒等变换第1课时两角和与差的三角函数【课程标准】1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα2.辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的有()A.存在α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβB.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角C.两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角D.公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与【解析】选AB.当α=β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,所以选项A正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,选项B正确,选项C错误;由辅助角公式可知,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a2.(必修第一册P219例4改条件)sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()A.-32 B.32 C.-12 【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=123.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ,则(A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2cos(α+π4所以sinvα+π4)cosβ-sinβcos(α+π所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈所以α-β=kπ-π4所以tan(α-β)=-1.方法二:由题意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.4.(记错公式形式导致错误)若将sinx-3cosx写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=π3【解析】因为sinx-3cosx=2(12sinx-32cos所以cosφ=12,sinφ=3因为0≤φ<π,所以φ=π3【核心考点·分类突破】考点一两角和与差的三角函数公式的应用角度1给值求值[例1](2023·南宁模拟)已知sin(α+π4)=45,α∈(π4,π2),则cosA.210 B.3210 C.22 【解析】选A.由α∈(π4,π2),得α+π4∈(π2,3π4),则cos(α+πcosα=cos(α+π4)-π4=cos(α+π=-35×22+45×2【解题技法】三角函数给值求值问题的解题思路(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式;常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2(2)当已知角有一个时,此时寻找所求角与已知角及特殊角的和或差的关系,再应用诱导公式把所求角变成已知角.角度2给值求角[例2]已知角α,β均为锐角,且cosα=255,sinβ=31010,则α-A.π3B.π4C.-π4D.【解析】选C.因为0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β又根据cosα=255,sinβ=31010,得sinα=55所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=5050-65050=-22,又-π2<α所以α-β=-π4【解题技法】给值求角的方法(1)确定所求角的取值范围;(2)依据角的范围及题设条件确定求这个角的范围内严格单调的三角函数值;(3)由角的范围及其三角函数值得出角的值.角度3给角求值[例3]计算:cos55°+sin25°A.-32 B.32 C.-12 【解析】选B.cos55°+sin25=32cos25°-【解题技法】给角求值的方法(1)观察所给角之间的关系或所给角与特殊角的关系;(2)依据上面的关系,选择应用哪个公式变形、化简或求值;(3)依据公式或运算法则得出结果.【对点训练】1.(2023·肇庆模拟)已知cosα=45,0<α<π2,则sin(α+π4A.210B.7210C.-210【解析】选B.由cosα=45,0<α<π2,得sinα=所以sin(α+π4)=22sinα+22cosα=22×35+22.(2023·青岛模拟)已知tanα=1+m,tanβ=m,且α+β=π4,则实数m的值为(A.-1 B.1C.0或-3 D.0或1【解析】选C.因为α+β=π4,所以tan(α+β)=tanπ4⇒tanα+tan⇒m2+3m=0,解得m=0或m=-3.3.(2023·扬州质检)已知sinα=55,且α为锐角,tanβ=-3,且β为钝角,则α+β的值为(A.π4 B.3π4 C.π3 【解析】选B.sinα=55,且α为锐角,则cosα=1-sin2α=1-(5所以tan(α+β)=tanα+tanβ1又β为钝角,则α+β∈(π2,3π2),故α+β=【加练备选】1.已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=(A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由已知,得2tanθ-tanθ+11-2.已知α,β∈(π3,5π6),若sin(α+π6)=45,cos(β-5π6)=513,则sin(A.1665 B.3365 C.5665 【解析】选A.由题意可得α+π6∈(π2,π),β-5π6∈所以cos(α+π6)=-35,sin(β-5π6所以sin(α-β)=-sin[(α+π6)-(β-5π=-45×513+(-35)×(-123.已知sinα=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则β=【解析】因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π因为sin(α-β)=-1010所以cos(α-β)=310又sinα=55所以cosα=25所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=55×31010-255所以β=π4考点二两角和与差的三角函数公式的逆向应用[例4](1)(2023·苏州模拟)cos24°cos36°-sin24°cos54°等于()A.cos12° B.-cos12°C.-12 D.【解析】选D.cos24°cos36°-sin24°cos54°=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=12(2)已知sinθ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)=(A.12 B.33 C.23 【解析】选B.由题意可得:sinθ+12sinθ+32cosθ=1,则32sinθ+32cosθ=1,12cosθ=33,所以sinθcosπ6+cosθsinπ6=33,即sin(θ【解题技法】1.两角和与差的三角函数公式逆向应用的解题策略(1)注意已知解析式与两角和与差的三角函数公式右边的结构、形式之间的异同;(2)如果不同,想办法化为与公式相同的形式;(3)逆向应用公式,写出结果.2.形如y=asinx+bcosx化为y=a2+b2sin((1)注意y=asinx+bcosx的结构特点;(2)注意y=a2+b2sin(x+φ【对点训练】1.在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,则tanAtanB的值为(A.14 B.13 C.12 【解析】选B.在△ABC中,因为C=120°,所以tanC=-3.因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC=3.所以tanA+tanB=3(1-tanAtanB),又因为tanA+tanB=23所以tanAtanB=132.已知3sinx-4cosx=5sin(x+φ),则φ所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.3sinx-4cosx=5[35sinx+(-45)cosx]=5sin(x+其中sinφ=-45,cosφ=3所以φ所在的象限为第四象限.【加练备选】sin10°1-【解析】sin10°1=2sin10=sin20°4sin(第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.

(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l角度与弧度的换算1°=π180rad;1rad=(180弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=yrcosα=xr,tanα=yx(x(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域RR{α|α≠kπ+π2,k∈Z【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-3C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133π B.-256π C.-113π D.【解析】选C.-660°=-660×π180=-1133.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是(A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈ZC.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=(A.-3 B.-4C.-6 D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=8x2+82=45,解得【巧记结论·速算】α所在象限与α2α所在象限一二三四α2一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cosθ2|=-cosθ2,则θ2A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以θ2的终边落在第二、四象限,又|cosθ2-cosθ2,所以cosθ2<0,所以θ【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α对于B,可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,α2位于第一象限;当对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.

【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,αk(k∈N*(1)写出kα或αk(2)根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sinθ2|=-sinθ2,则角θ2A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z所以θ2∈(π4+kπ,π2+kπ),k所以角θ2在第一或第三象限又|sinθ2|=-sinθ2,所以sin所以角θ2在第三象限考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积【解析】(1)因为α=π3,R所以l=|α|R=π3×10=10π3(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)当R=4cm时,Smax=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α=lR所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(l当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16【解析】设扇形的半径为rcm,圆心角弧度数为α=360π·π所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α=lr=608=所以扇形圆心角的弧度数为152rad考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-则sinα=yr=-313=-31313,tanα(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.

【解析】由题设知:tan60°=a4=3,即a=43角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cosαtanα>0,则角αA.第一象限角