2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章 第五节 离散型随机变量及其分布列、均值与方差含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章第五节离散型随机变量及其分布列、均值与方差第五节离散型随机变量及其分布列、均值与方差【课程标准】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.【考情分析】考点考法:离散型随机变量的分布列是高考考查重点,常以实际问题为背景,与排列组合结合在一起交汇命题,各种题型均有考查.核心素养:数据分析、数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn=1.【微点拨】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.4.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的【微点拨】(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.5.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 ()A.在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1B.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的C.如果随机变量X的分布列由下表给出,X25P0.30.7则它服从两点分布D.方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小【解析】选BD.A离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1×CX的取值不是0,1,故不是两点分布×2.(选择性必修三P63例1·变形式)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为 ()A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1【解析】选C.某篮球运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.3.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【解析】选B.对于A,该组数据的平均数为(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差为(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;对于B,该组数据的平均数为(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差为(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;对于C,该组数据的平均数为(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差为(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;对于D,该组数据的平均数为(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差为(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.所以B这一组的标准差最大.4.(均值性质应用错误)已知随机变量X的分布列如表:X-101P111若Y=2X+3,则E(Y)的值为________.

【解析】E(X)=-12+16=-则E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=7答案:7【核心考点·分类突破】考点一离散型随机变量分布列的性质[例1](1)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P（54<X<13A.23 B.34 C.45 【解析】选D.因为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a所以P（54<X<134）=P(X=2)+P(X=3)=54×16+54(2)设X是一个离散型随机变量,其分布列为X-101P12-3qq2则q的值为 ()A.1 B.32±C.32-336 D.3【解析】选C.由分布列的性质知0≤2-3q≤23,【解题技法】离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.【对点训练】1.若随机变量X的分布列为X-2-10123P则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是 ()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)【解析】选C.由随机变量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].2.设随机变量X满足P(X=i)=k2i(i=1,2,3),则k=________;P(X≥2)=【解析】由已知得随机变量X的分布列为X123Pkkk所以k2+k4+k8=1,所以k所以随机变量X的分布列为X123P421所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=27+17=答案:873.随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________,公差d的取值范围是________.

【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13所以P(|X|=1)=a+c=23又a=13-d,c=13+根据分布列的性质,得0≤13-d≤23,0≤13+d所以-13≤d≤1答案:23[-13,【加练备选】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.3m(1)求2X+1的分布列;(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.【解析】(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.列表为X012342X+113579从而2X+1的分布列为2X+113579P0.30.3(2)由(1)知m=0.3,列表为X01234η10123所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,故η=|X-1|的分布列为η0123P0.3考点二均值与方差的简单计算[例2](1)(多选题)已知随机变量X的分布列为X-101P1m3m下列结论正确的有 ()A.m=16 B.E(X)=C.E(2X-1)=13 D.D(X)=【解析】选ABD.由分布列的性质得,13+4m=1,解得m=1E(X)=-1×13+0×16+1×12E(2X-1)=2E(X)-1=-23D(X)=13×(-1-16)2+16×(0-16)2+12×(1-16(2)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为:X01234Pq0.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 ()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确,B错误;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.(3)已知随机变量X的分布列如表:Xa234P1b11若E(X)=2,则a=________,D(X)=________.

【解析】由题意知,13+b+16+14=1,所以b又E(X)=a×13+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,所以D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+(3-2)2×16答案:05【解题技法】均值与方差的简单计算方法(1)对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算,要分清各数据,选择公式,代入计算.(2)由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.【对点训练】1.设0<m<1,随机变量ξ的分布列为:ξ0m1Pa12a则当m在(0,1)上增大时 ()A.D(ξ)单调递增,最大值为1B.D(ξ)先增后减,最大值为1C.D(ξ)单调递减,最小值为2D.D(ξ)先减后增,最小值为1【解析】选D.由题知a3+13+2a-13=1,解得a=1,所以E(ξ)=0+m3+13=m+13,所以D(ξ)=(m+13)2×13+(m-m+13)2×13+(1-m+13)2×1由二次函数性质可知,D(ξ)在(0,12)上单调递减,在(12,1)上单调递增,所以当m=12时,D(ξ2.已知m,n为正常数,离散型随机变量X的分布列如表:X-101Pm1n若随机变量X的均值E(X)=712,则mn=________,P(X≤0)=________【解析】由题意知m解得m=112,nP(X≤0)=m+14=1答案:118考点三离散型随机变量的分布列[例3]袋中有5个同样的球,其中有3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地取球,每次取1个,当两种颜色的球都被取到时,即停止取球,记随机变量X为此时已取球的次数,求:(1)P(X=2)的值;(2)随机变量X的分布列.【解析】(1)由已知可得从袋中不放回地取球两次的所有取法有C51C41种,事件X=2表示第一次取到红球第二次取到黄球或第一次取到黄球第二次取到红球,故事件X=2包含C31C21+(2)随机变量X的可能取值为2,3,4.P(X=2)=35,P(X=3)=A22P(X=4)=A33C所以随机变量X的分布列为X234P331【解题技法】离散型随机变量分布列的求解步骤【对点训练】甲同学参加化学竞赛初赛,考试分为笔试、口试、实验三个项目,各单项通过考试的概率依次为34,23,12.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求随机变量【解析】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-12P(X=1)=14×13×12+14×23×12+34P(X=2)=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124,P(所以随机变量X的分布列为X0123P11111【加练备选】有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.(1)求n的值;(2)求随机变量X的分布列.【解析】(1)因为当X=2时,有Cn因为Cn2=6,即也即n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意可知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A44=124,P(X=2)=P(X=3)=C43×2A44=13,P(X=4)=1-1所以X的分布列为X0234P1113考点四离散型随机变量的数字特征(规范答题)[例4](1)从1,2,3,4,5这组数据中,随机取出三个不同的数,用X表示取出的数字的最小数,则随机变量X的均值E(X)等于 ()A.32 B.53 C.74 (2)(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.①求第2次投篮的人是乙的概率.②求第i次投篮的人是甲的概率.③已知:若随机变量Xi服从两点分布,且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,…,n,则,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(审题导思破题点·柳暗花明①思路:第2次投篮的人是乙包含两个子事件:“第1次投篮的人是甲且甲未命中”和事件“第1次投篮的人是乙且乙命中”,两子事件互斥求出概率②思路:记第i次投篮的人是甲的概率为pi,可以用与①类似的思路去寻找pi+1与pi之间的关系,建立数列{pi}的递推式来计算pi③思路:题设中给出了n个随机变量之和的数学期望的计算公式,启发我们构造两点分布的随机变量Xi,以利用公式结合②进行作答规范答题微敲点·水到渠成【解析】①记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B.则A=BA+BA,……1分所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.……4分指点迷津根据全概率公式求解.根据题设中的投篮规则,若命中则继续投,若未命中则换为对方投;只要轮到甲投,甲的命中率总是0.6,只要轮到乙投,乙的命中率总是0.8;第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.②设第i次投篮的人是甲的概率为pi,由题意可知,p1=12pi+1=pi×0.6+1-pi即pi+1=0.4pi+0.2=25pi+15, 情境探源本题源自选择性必修第三册P91拓广探索T10,根据全概率公式确定pi+1与pi的递推关系,构造等比数列{pi+λ}.设pi+1+λ=25pi+λ所以pi+1-13=25pi关键点由递推公式构造等比数列.又p1=12,p1-13=12-1所以数列pi-13是以16为首项,25为公比的等比数列,所以pi-所以pi=13+16×25i③设随机变量Xi=1(i=1,2,…,n),则Xi服从两点分布.指点迷津PXi=1=pi,PXi=0=1-pi,所以EXi=pi.表示出第i次投篮时甲的数学期望.又Y=X1+X2+X3+则E(Y)=EX=p1+p2+p3+…+pn.由②知,P(Xi=1)=13+16×25i所以E(Y)==p1+p2+p3+…+pn=n3+16×[1+25+252+…=n3+16×1-25n1-25=n3关键点根据分组求和法,求出数列的前n项和,得出结果.【解题技法】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部取值;(2)求ξ取每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)由均值的定义求E(ξ);(5)由方差的定义求D(ξ).【对点训练】1.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则 ()A.抽取2次后停止取球的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为9C.取球次数ξ的期望为2D.取球次数ξ的方差为9【解析】选BD.由题可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=35P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×对于A,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310对于B,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=对于C,取球次数ξ的期望为E(ξ)=1×35+2×310+3×110对于D,取球次数ξ的方差为D(ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×2.国庆节班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演一个节目,摸到黑球不用表演节目.(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率;(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差.【解析】(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)=A32A故a同学摸球三次后停止摸球的概率为14(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=14,P(X=1)=2A4P(X=2)=1A42+AP(X=3)=C21A22A43=16所以随机变量X的分布列为X01234P11111期望E(X)=0×14+1×16+2×16+3×16+4×14=2,方差D(X)=(0-2)2×14+(1-2)2×16+(2-2)2×16+(3-2)2×第一节排列与组合【课程标准】1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查两个计数原理、排列与组合;排列与组合的应用是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.计数原理(1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1+m2+…+mn__种不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1×m2×…×mn__种不同的方法.

2.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__一定的顺序__排成一列

组合作为一组3.排列数与组合数(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同排列__的个数,用符号表示.

(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同组合__的个数,用符号表示.

4.排列数、组合数的公式及性质公式Anm=__n(n-1)(n-2)…(n-m+1)__=Cnm=Anm性质0!=__1__,Ann=__n!,

Cn+1m=【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 ()A.在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事B.在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成C.Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-D.Anm=n(n-1)(n-2)…(n-【解析】选AB.由两个计数原理可知,选项A,B正确;由组合数、排列数公式可知,选项C和D都错误.2.(选修第三册P27T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女同学都有的选法种数是 ()A.18 B.24 C.30 D.36【解析】选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有C42C31=18(种),选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有C43.(忽视隐含条件)随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这些备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为 ()A.144 B.24 C.72 D.60【解析】选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位会产生5个空隙可供3辆车选择停车.因此,任意两辆车都不相邻的停车种数共有A534.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ()A.C40045·C20015种 B.C.C40030·C20030种 D.【解析】选D.根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根据组合数公式和分步乘法计数原理,则不同的抽样结果共有C40040【巧记结论·速算】若Cnx=Cny,则x=y或x【即时练】若C20x=C202x-7A.7 B.12 C.9 D.7或9【解析】选D.因为C20x=C202x-7,所以x=2x-7或x+2【核心考点·分类突破】考点一两个计数原理的应用[例1](1)(2023·济宁模拟)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有 ()A.4种 B.6种 C.8种 D.12种【解析】选B.根据题意得,分两步进行分析:①小明必选化学,则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目,选法有3种;②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种.由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有3×2=6(种).(2)如图所示,在由正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).

【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形,共有8×4=32(个);第二类,有两条公共边的三角形,共有8个.由分类加法计数原理可知,共有32+8=40(个).答案:40【解题技法】利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事.(2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题,一般是先分类再分步.【对点训练】1.由于用具简单、趣味性强,象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,其中也能把“炮”吃掉的可能路线有 ()A.10条 B.8条 C.6条 D.4条【解析】选C.由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步,竖走两步;其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步:第一步,横走两步,竖走一步,有3种走法;第二步,横走一步,竖走一步,有2种走法.所以所求路线共有3×2=6(条).2.(2023·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为________.

【解析】5日至9日,日期分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4(种)用车方案;第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种)用车方案,第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种)用车方案,共计12+8=20(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知,不同的用车方案种数为4×20=80.答案:80【加练备选】1.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是 ()A.14 B.23 C.48 D.120【解析】选C.分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48.2.(2023·宿州模拟)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为()A.12 B.24 C.36 D.48【解析】选C.第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).考点二排列与组合的简单应用角度1排列问题[例2](2023·泉州模拟)将0,1,2,3,10任意排成一行,可以组成________个不同的6位数.(用数字作答)

【解析】将0,1,2,3,10任意排成一行,且数字0不在首位,则有4A44=96种,数字1和0相邻且1在0之前的排法有A44答案:84【解题技法】对于有限制条件排列问题的解题策略(1)分析问题时,有位置分析法、元素分析法;(2)在实际进行排列时,先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.【对点训练】8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有________种排法.

【解析】先排甲、乙,有A42种排法,再排丙,有A41种排法,其余5人有A答案:5760【加练备选】现有0,1,2,3,4,5六个数字,可组成多少个没有重复数字的偶数?【解析】当组成的数是一位数时,一位偶数有C3当组成的数是两位数时,可分两类:末位是0时,有A51=5个,末位是2或4时,有当组成的数是三位数时,可分两类:末位是0时,有A52=20个,末位是2或4时,有当组成的数是四位数时,可分两类:末位是0时,有A53=60个,末位是2或4时,有当组成的数是五位数时,可分两类:末位是0时,有A54=120个,末位是2或4时,有当组成的数是六位数时,可分两类:末位是0时,有A55=120个,末位是2或4时,有综上,组成的没有重复数字的偶数的个数为3+13+52+156+312+312=848.角度2组合问题[例3](2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).

【解析】若选修2门课,则需要从体育类和艺术类中各选择1门,共有C41C41=16种;若选修3门课,则分为两种情况,2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类,共有2答案:64【解题技法】组合问题两类题型的解题策略(1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”问题:用直接法和间接法都可以求解;通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.【对点训练】1.(2023·茂名模拟)将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有 ()A.480种 B.240种 C.15种 D.10种【解析】选D.将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6之间及首尾有5个空位)中有C522.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为()A.10 B.20 C.30 D.40【解析】选B.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,共有C53【加练备选】如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为 ()A.208 B.204 C.200 D.196【解析】选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点,其组数为3C43;二是4条竖线上的3个点,其组数为4C33;三是4条对角线上的3个点,其组数为4C33,所以可以构成三角形的组数为C考点三排列与组合的综合问题角度1相邻与不相邻问题[例4](多选题)有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,正确的是 ()A.全体站成一排,女生必须站在一起有144种排法B.全体站成一排,男生互不相邻有1440种排法C.任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有70种D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾有3720种排法【解析】选BCD.对于A,将女生看成一个整体,考虑女生之间的顺序,有A44种排法,再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列,有A44种排法,故共有对于B,先排女生,将4名女生全排列,有A44种排法,再排男生,由于男生互不相邻,可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种排法,故共有对于C,任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有C7对于D,若甲站在排尾,则有A66种排法,若甲不站在排尾,则有A51A5【解题技法】1.相邻问题的求解策略把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列(捆绑法).2.不相邻问题的求解策略对于不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面已经排列元素的空档中(插空法).【对点训练】1.(2023·苏州模拟)三个家庭的3位母亲带着3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男孩打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有 ()A.144种 B.216种 C.288种 D.432种【解析】选C.第一步:先将3位母亲全排列,共有A3第二步:将3名女孩“捆绑”在一起,共有A3第三步:将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有A2第四步:首先将2名男孩之中的一人,插入第三步后相邻的两位母亲中间,然后将另一个男孩插入由女孩与母亲形成的2个空中的其中1个,共有C21所以