2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第三章 第六节　函数的图象含答案

9版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第三章第六节函数的图象第六节函数的图象【课程标准】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题.【考情分析】考点考法:高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.核心素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域.(2)化简函数的解析式.(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).(4)描点连线,画出函数的图象.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换(3)对称变换(4)翻折变换【微点拨】函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度,其中是把x变成x-12【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同B.函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同C.函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称D.函数y=lgx的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x)【解析】选ABC.A令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同.×B当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同.×Cy=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.×2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是()A.y=-x3+3xx2+1C.y=2xcosxx2+1 【解析】选A.设f(x)=x3-x设h(x)=2xcosxx2+1,当x所以h(x)=2xcosx设g(x)=2sinxx2+1,则4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是(0,+∞).

【解析】由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x>0,0,x≤0,图象如图所示,故要使a【巧记结论·速算】1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.【即时练】1.下列说法正确的是()A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到【解析】选A.由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f(-x-1)的图象,故D错误.2.函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称.

【解析】由-2-x=x+2,得x=-2,所以函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称.【核心考点·分类突破】考点一作函数的图象[例1]作出下列函数的图象:(1)y=(12)|x|(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x2-2|x|-1.【解析】(1)先作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x图象中x≥0的部分,再作出y=(12)x的图象中x即得y=(12)|x|的图象,如图①实线部分(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)因为y=x2再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图③.【解题技法】函数图象的常见画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.提醒:①画函数的图象一定要注意定义域;②利用图象变换法时要注意变换顺序.【对点训练】作出下列各函数的图象:(1)y=x-|x-1|;(2)y=|x2-4x+3|;(3)y=(12)|x+2|(4)y=sin|x|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=1,x≥1,(2)函数解析式可化为y=x2-4x(3)作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x的图象中x≥0的部分,加上y=(12)x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=(12)|x(4)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图④所示.考点二函数图象的识别[例2](1)(2022·全国甲卷)函数y=3x-3-xcosx【解析】选A.令fx=3x-3-xcosx,x∈-π2,-(3x-3-x)cosx=-f(x),所以fx为奇函数,排除B,D;又当x∈0,π2时,3x-3-x所以fx>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.5(ex-e-C.5(ex+e-【解析】选D.由题干中函数图象可知,f(x)图象关于y轴对称,其为偶函数,且f(-2)=f(2)<0,由5sin(-x)(-x)2+1=-5sinxx2+1(3)函数f(x)=xlnx的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为()【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln2>0,排除B.方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f(-(x-1))=f(1-x)的图象.【解题技法】函数图象的识别可从以下几个方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.【对点训练】1.已知函数f(x)=x(ex-e-x【解析】选D.函数f(x)=x(ex-e-x)|x|-1的定义域为{x|x≠±1},f(-x)=当0<x<1时,|x|-1<0,ex-e-x>0,则f(x)<0,可排除B,C.2.如图可能是下列哪个函数的图象()A.y=2x-x2-1 B.y=2C.y=(x2-2x)ex D.y=x【解析】选C.函数的定义域为R,排除D;当x<0时,y>0,A中,x=-1时,y=2-1-1-1=-32<0,排除A;B中,当sinx=0时,y=0,所以y=2x3.已知函数y=f(x)的图象如图1,则图2对应的函数有可能是()A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)【解析】选A.对于B,y=f(x2)为偶函数,与图象不符,故排除B;对于C,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,与图象不符,故排除C;对于D,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,与图象不符,故排除D.考点三函数图象的应用【考情提示】高考对函数图象的考查比较灵活,涉及知识点较多,且每年均有创新,试题考查角度有两个方面,一是函数解析式与函数图象的对应关系;二是利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解等,综合性较强.角度1研究函数的性质[例3](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则下列结论正确的是(A.2是函数f(x)的周期B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x【解析】选ABD.由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(12)1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=(12)x-3【解题技法】利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.角度2利用函数图象解决不等式问题[例4](2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A.(-2,0)∪(2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】选C.根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,则x2-解得x<-2或2<x<2或-2<x<0,故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2).角度3利用图象求参数的取值范围[例5](2023·洛阳联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-A.(1,3) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)【解析】选D.画出函数f(x)的图象,如图所示,方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,由图可知,实数a的取值范围为(0,1).【解题技法】1.函数性质:一般根据图象观察函数性质有以下几方面:(1)观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;(3)观察图象上升或下降的情况,确定单调性.2.求解不等式:若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.3.求参数:当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.【对点训练】1.设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以不等式f(x)-f(-x)x<0可化为f(所以原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1).2.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(12,1)【解析】先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过点A时,斜率为12故f(x)=g(x)有两个不相等的实数根时,实数k的取值范围为(12,1)第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【考情分析】考点考法:高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.【微点拨】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数f(x)=2x的零点为0B.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点D.图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0【解析】选BD.B函数y=f(x)的零点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.×Df(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件.×2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).3.(2022·北京高考)函数f(x)=x2+xA.3 B.2 C.7 D.0【解析】选B.由x≤0,解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是[-1,-12]【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12【巧记结论·速算】1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.【即时练】1.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.函数f(x)=ex+3x的零点有1个.

【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点【核心考点·分类突破】考点一函数零点所在区间的判定[例1](1)(2023·唐山模拟)函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是()A.(14,12)B.(12,1)C.(1,2)【解析】选C.因为y=1x与y=log2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是(1,2)(2)(一题多法)设函数f(x)=13x-lnx,则函数y=f(x)(A.在区间(1eB.在区间(1eC.在区间(1eD.在区间(1e【解析】选D.方法一(图象法):令f(x)=0,得13x=lnx.作出函数y=13x和y=ln显然y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点方法二(函数零点存在定理法):当x∈(1e,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=13-1x=x-33x<0,所以函数f(x)在(1e,e)上单调递减.又f(1e)=13e+1>0,f【解题技法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【对点训练】1.(2023·荆州模拟)若x0是方程(12)x=x13的根,则x0A.(23,1) B.(12,C.(13,12) D.(0,【解析】选C.构造函数f(x)=(12)x-x易知函数f(x)在R上单调递减,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,易知f(0)=(12)0-0=1>0,f(13)=(12)

13-(13)

13>0,f(12f(1)=12-1=-1结合选项,因为f(13)·f(1故函数f(x)的零点所在的区间为(13,1即方程(12)x=x13的根x0属于区间(132.根据表格中的数据可以判定方程lnx-x+2=0的一个根所在的区间为()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x-2-10123A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)【解析】选C.设f(x)=lnx-x+2=lnx-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程lnx-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4).3.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程lnx+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.设f(x)=lnx+3x-15,显然f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=0只有一个根,又f(4)=ln4-3=2ln2-3<2(ln2-1)<0,f(5)=ln5>0,所以x0∈(4,5),故[x0]=4.考点二函数零点个数的判定[例2](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=x2-2x,x≤0,1+1xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则x≤0,解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2024x+log2024x,则函数f(x)的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.作出函数y=2024x和y=-log2024x的图象如图所示,可知函数f(x)=2024x+log2024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.【解题技法】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.【对点训练】1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由2x|log0.5x|-1=0得|log0.5x|=(12)x,作出y=|log0.5x|和y=(12)x的图象,如图所示,则两个函数图象有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x2.(一题多法)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=|lnx|,x>0,-2xA.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.方法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得lnx=3或lnx=-3,解得x=e3或x=e-3;当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2.3.函数f(x)=36-x2·cosx【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cosx=0,由36-x2=0得x=±6,由cosx=0得x=π2+kπ,k∈Z又x∈[-6,6],所以x为-3π2,-π2,π2故f(x)共有6个零点.考点三函数零点的应用【考情提示】函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查,属于中档题.角度1根据函数零点个数求参数[例3](1)(多选题)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是()A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0)B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5)C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞)【解析】选AC.当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零点;当x≠0时,由f(x)=0,整理得a=|x+1x令g(x)=|x+1x则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|x+1x+3|的图象与直线y=a的交点个数,作出函数g(x)=|x+1x由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确;若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确;若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确;若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确.(2)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+xA.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.角度2根据函数零点范围求参数[例4](1)若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)【解析】选C.因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a(2)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(A.(-∞,43) B.(0,4C.(-∞,0) D.(43【解析】选B.由f(x)=3x-1+axx=0,可得a=3x-1x,令g(x)=3x-1x由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-1x在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-1x<g(-1)=3-1+1=4又g(x)=3x-1x所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,43)因此实数a的取值范围是(0,43)【解题技法】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【对点训练】1.已知函数f(x)=log2(x+1)-1x+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为(A.(-53B.(-∞,-53)∪C.(-∞,-53]∪D.[-53【解析】选D.因为函数y=log2(x+1),y=m-1x所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log2(x+1)-1x+m则f(1)<0,f(3因此,实数m的取值范围是[-53,0)2.已知关于x的方程ax+6=2x在区间(1,2)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-4,-1) B.[-4,-1]C.(-2,-12) D.[-2,-1【解析】选A.根据题意可得ax=2x-6,故转化为函数y=ax和y=2x-6的图象的交点.易知y=2x-6的图象上的两个点为(1,-4)和(2,-2),如图所示,当直线y=ax过(1,-4)时,a=-4,当直线y=ax过(2,-2)时,a=-1.所以a的取值范围是(-4,-1).3.(2023·济南模拟)已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)-12【解析】函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=12x-a画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如图所示根据图象易知,要使函数f(x)和y=12x-a的图象有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<【重难突破】复合函数的零点、方程的根的综合【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.类型一判断复合函数零点的个数[例1]已知函数f(x)=lnx-1x,x>0,x2+2A.2 B.3 C.4 D.5