2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第七章 第一节 数列的概念含答案

11版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第七章第一节数列的概念第七章数列第一节数列的概念【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【考情分析】考点考法:高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.Sn和an的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an2.数列的表示法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法函数法an=f(n),n∈N*【微点拨】(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.3.数列的分类单调性递增数列∀n∈N*,an+1>an递减数列∀n∈N*,an+1<an常数列∀n∈N*,an+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*,存在正整数k,an+k=an【微点拨】(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.4.数列的前n项和数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,则a【基础小题·自测】类型辨析改编题号12,3,41.(多维辨析)(多选题)下列结论不正确的是 ()A.数列5,2,0与2,0,5是同一个数列B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1【解析】选ACD.A中两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;B正确;C中数列可能是常数数列或摆动数列;D中当n=1时,a1=S1-S0无意义.2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为 A.an=n-1n+1 BC.an=2(n-1)2n-【解析】选C.将0写成01,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是()A.an+1=an+n,n∈N*B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为an,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得数列an满足an-an-1=n,n≥2,n∈N*4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{an}满足an=n(n+1)2,则【解析】数列{an}满足an=n(n+1)2,可得a1=1,a所以S3=1+3+6=10.答案:10【巧记结论·速算】在数列{an}中,若an最大,则an≥an-1,an≥an+1【即时练】已知数列an中,an=n2-5n+4,则数列an的最小项是 (A.第1项 B.第3项、第4项C.第4项 D.第2项、第3项【解析】选D.根据题意,数列an中,an=n2-5nan+1-an=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,当n<2时,有an+1-an<0,则有a1>a2,当n=2时,有an+1-an=0,则有a2=a3,当n>2时,有an+1-an>0,则有a3<a4<……故数列an的最小项是第2项、第3项【核心考点·分类突破】考点一通项公式的探索及应用[例1](1)(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,是{an}的项的是 ()A.21 B.33 C.152 D.153【解析】选ABD.由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.(2)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.①23,45,87②-12,23,-34③3,4,3,4;④6,66,666,6666.【解析】①4个项都是分数,它们的分子依次为2,22,23,24,分母是正奇数,依次为2×1+1,2×2+1,2×3+1,2×4+1,所以给定4项都满足的一个通项公式为an=2n②4个项按先负数,后正数,正负相间排列,其绝对值的分子依次为1,2,3,4,分母比对应分子多1,所以给定4项都满足的一个通项公式为an=(-1)nnn③4个项是第1,3项均为3,第2,4项均为4,所以给定4项都满足的一个通项公式为an=3,n=2k-14④4个项,所有项都是由数字6组成的正整数,其中6的个数与对应项数一致,依次可写为6=23(10-1),66=23(102-1),666=23(103-1),6666=23(104-1),所以给定4项都满足的一个通项公式为an=2【解题技法】由数列的前几项求通项公式的方法(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.【对点训练】1.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 ()A.不在此数列中 B.第13项C.第14项 D.第15项【解析】选D.因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.2.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)-11×2,12×3,-13×4,1(3)23,415,635,863,(4)9,99,999,9999,….【解析】(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式为an=(-1)n·1n(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式为an=2n(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,故所求数列的一个通项公式为an=10n-1.考点二已知Sn或Sn与an的关系求an[例2]金榜原创·易错对对碰①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列的通项公式为an=________.

②若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列的通项公式为an=________.

【解析】①当n=1时,a1=S1=21+1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.综上有an=3答案:3②当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.综上有an=2n-1.答案:2n-1【解题技法】1.已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.2.已知Sn与an的关系求an的两个方法(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,转化为an与an-1的关系求an;(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,转化为Sn与Sn-1的关系,求出Sn后再求an.提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.【对点训练】1.已知正项数列{an}中,a1+a2+…+an=n(n+1A.an=n B.an=n2C.an=n2 D.an=【解析】选B.因为a1+a2+…+an=n(n+1)2,所以a1+a两式相减得an=n(n+1)2-所以an=n2(n≥2),①又当n=1时,a1=1×22=1,a1=1,适合所以an=n2,n∈N*.2.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则Sn=________.

【解析】因为Sn=2an+1,所以Sn+1=2an+1+1,所以an+1=2an+1-2an,所以an+1=2an,当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=-(1-2答案:1-2n【加练备选】1.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=________.【解析】当n=1时,a1=21=2,因为a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,所以an=2n-1n所以an=2答案:22.已知数列an的前n项和Sn=3n+b,求an【解析】当n=1时,a1=S1=3+b.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,因此,当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1,所以an=2·3n-1.当b≠-1时,a1=3+b不适合an=2·3n-1,所以an=3+综上可知,当b=-1时,an=2·3n-1;当b≠-1时,an=

3+考点三数列的性质及其应用【考情提示】数列作为一种特殊的函数,除考查求通项公式、求和等之外,还考查数列的单调性,项的最值,周期性等,解题时要类比函数的研究方法,结合数列的特性.角度1数列的单调性及项的最值[例3]已知数列{an}的通项公式为an=3n-23n+1(n∈N*)A.这个数列的第10项为27B.98101C.数列中的各项都在区间[14,1)D.数列{an}是单调递减数列【解析】选C.令n=10,得a10=2831.故选项A不正确,令3n-23n+1=98101,得9n=300,此方程无正整数解,故98101不是该数列中的项.因为又n∈N*,所以数列{an}是单调递增数列,所以14≤an<1,所以数列中的各项都在区间[14,1)【解题技法】关于数列的单调性及项的最值(1)求数列项的最值需要先研究数列的单调性,一是通过列举项找规律;二是利用数列递增(减)的等价条件,求出递增、递减项的分界点处的n值.(2)利用函数方法,令n∈(0,+∞),研究对应函数的单调性、图象确定最值,再回归到数列问题.【对点训练】已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2n,若数列{an}为递减数列,则实数kA.(3,+∞) B.(2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,+∞)【解析】选D.因为an+1-an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1角度2数列的周期性[例4]已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2029的值为 ()A.2029n-m B.n-2029mC.m D.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2029=S338×6+1=a1=m.【解题技法】关于数列的周期性在求数列的某一项的值,且该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,一般地,求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求出所求项.【对点训练】已知数列{an}中,a1=12,an+1=1+an1-an,则A.-2 B.12 C.-13 D【解析】选B.因为a1=12,所以a2=1+a11-a1=3,a3=1+aa5=1+a41-a4=12,…,所以数列{an}是周期数列且周期T=4,所以a第七章数列【高考研究·备考导航】【三年考情】角度考查内容课程标准高考真题考题统计数列的概念1.了解数列的概念、表示方法,数列与函数的关系;2.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.2023年:新高考Ⅰ卷·T72022年:新高考Ⅰ卷·T17(1)2021年:新高考Ⅱ卷·T17等差数列1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能利用等差数列知识解决实际问题.2022年:新高考Ⅱ卷·T3等比数列1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能利用等比数列知识解决实际问题.2023年:新高考Ⅱ卷·T82021年:新高考Ⅰ卷·T16数列的综合应用1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式.2.能解决等差与等比数列之间、数列与函数、不等式之间的综合问题.2023年:新高考Ⅰ卷·T202023年:新高考Ⅱ卷·T182022年:新高考Ⅰ卷·T17(2)2022年:新高考Ⅱ卷·T172021年:新高考Ⅰ卷·T17命题趋势1.题型设置:常以一个小题和一个大题的形式呈现;2.内容考查:本章高考考查频率非常高.常考查等差、等比数列的判定、基本量的运算、求和,或与实际生活、不等式的交汇点设题;3.能力考查:高考题凸显对数学抽象能力、模型建构能力、逻辑推理能力、数学运算能力的考查.【备考策略】根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:1.全面系统复习,深刻理解知识本质(1)重视数列概念的理解:深刻把握数列的项、项数、前n项和等概念.同时注意数列是自变量为正整数的一类特殊函数.(2)重视两类特殊数列:等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式的理解与记忆.复习时要注意基础,强化落实,切实提高运算能力.(3)重视Sn与an关系的理解与应用.2.熟练掌握解决以下问题的方法规律(1)常用的简单递推式的变换技巧.(2)根据递推关系证明等差、等比数列.(3)常用的求和的基本方法:分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项法等.(4)利用函数思想研究数列的最值问题.(5)数列与不等式相结合的综合问题.3.重视思想方法的应用(1)函数与方程思想:数列本身就是函数,函数方法可以用来研究数列问题;在数列的计算中,方程思想的应用极为广泛,如等差数列、等比数列基本量的计算中,几乎处处使用方程思想.(2)化归与转化思想:把一般数列转化为等差数列、等比数列加以解决,把一般数列的求和通过分组、分拆、重组化为基本数列求和等.(3)分类与整合思想:套用等比数列求和公式时,要分公比等于1和不等于1两种情形;根据an,Sn关系解决问题时,分n=1,n≥2讨论;在含有(-1)n的数列问题中,分n为奇数和偶数讨论等.(4)数形结合思想:因为数列是特殊的函数,所以数列问题常可结合函数图象来解决,如等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d与前n项和公式Sn=na1+n(n-1)第二节函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值课程标准1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.2.理解函数的单调性、最值的实际意义,掌握函数单调性的简单应用.考情分析考点考法:函数的单调性是函数的重要性质之一,高考对单调性与最值的考查常常与其他知识相结合,小题和大题均有考查,小题的考查与对数函数结合,考查复合函数的单调性与最值;大题的考查与导数结合,考查函数的单调性与最值.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的单调性(1)增函数与减函数项目增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间.【微点拨】有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件∀x∈D,都有f(x)≤M;∃x0∈D,使得f(x0)=M∀x∈D,都有f(x)≥M;∃x0∈D,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值【微点拨】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 ()A.对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数B.函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)C.函数y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪D.对于函数f(x),x∈D,若对任意的x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数【解析】选ABC.A应对任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立才可以×B反例:f(x)=x在[1,+∞)上为增函数,但f(x)=x的单调递增区间是(-∞,+∞)×C单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞)×D根据增函数的定义判断√2.(必修第一册P81练习T3·变条件)已知函数f(x)=2x+1,x∈[0,2],则f(x)的最大值为________,【解析】因为函数f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=23答案:223.(2023·北京高考)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x【解析】选C.对A选项,y=lnx在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,A选项错误;对B选项,y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,B对C选项,y=1x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,C对D选项,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是单调的,D选项错误.4.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是________.

【解析】依题意得-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,答案:[-1,1)【巧记结论·速算】1.若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f((4)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关,简记:同增异减.2.增函数(减函数)的等价变形:∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,则:(1)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2【即时练】1.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是 ()A.y=1x-x B.y=x2-C.y=lnx-x D.y=ex【解析】选A.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上单调递减.对于选项A,y=1x在(0,+∞)上单调递减,y=x在(0,+∞)上单调递增,则y=1x-x在(0,+∞)上单调递减;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=ex在(0,+∞)2.函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为________.

【解析】由x2-4>0得x<-2或x>2.又u=x2-4在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,y=log2u为增函数,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).答案:(2,+∞)【核心考点·分类突破】考点一函数的单调区间[例1](1)(多选题)下列是函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递减区间的是 ()A.(-∞,2) B.(-∞,3)C.[3,4] D.(2,3)【解析】选AC.因为f(x)=|x2-6x+8|=x2-6x+8,x≥4,-x2+6x-8,2<(2)下列函数在区间(0,2)上单调递增的是 ()A.y=(x-2)2 B.y=1C.y=sin(x-2) D.y=cos(x-2)【解析】选D.对于A选项,y=(x-2)2开口向上,对称轴为直线x=2,所以在(-∞,2)上单调递减,故不符合题意.对于B选项,y=1x-2是y=1x向右平移了两个单位长度,所以在(-∞,2)上单调递减,故不符合题意.对于C选项,y=sin(x-2)是y=sinx向右平移了两个单位长度,所以y=sin(x-2)在(-3π2+2,-π2+2)上单调递减,在(-π2+2,π2+2)上单调递增对于D选项,y=cos(x-2)是y=cosx向右平移了两个单位长度,所以y=cos(x-2)在(-π+2,2)上单调递增,则在(0,2)上单调递增,符合题意.(3)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是________.

【解析】由题意,令x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,因为t=x2+2x-3在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)【解题技法】求函数的单调区间的方法(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.(2)复合函数法:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.【对点训练】1.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=ex-e-x B.y=|x2-2x|C.y=x+cosx D.y=x【解析】选AC.因为y=ex与y=-e-x为R上的增函数,所以y=ex-e-x为R上的增函数,故A正确;由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;y'=1-sinx≥0,所以y=x+cosx在R上为增函数,故C正确;y=x2+x-2的定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞),2.函数y=x2+x-6的单调递增区间为【解析】令u=x2+x-6,则y=x2+x-6可以看作是由y=u与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-6≥0,解得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,而y=u在[0,+∞)上单调递增,所以y=x2答案:[2,+∞)(-∞,-3]3.(创新题)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x【解析】由题意知g(x)=x该函数图象如图所示,其单调递减区间是[0,1).答案:[0,1)考点二函数单调性的判断与证明[例2](1)(2021·全国甲卷)下列函数是增函数的为 ()A.f(x)=-x B.f(x)=2C.f(x)=x2 D.f(x)=3【解析】选D.因为f(x)=-x在其定义域上为减函数,所以选项A错误;由指数函数的性质可知,f(x)=23x在其定义域上为减函数,所以选项B错误;由二次函数的性质可知,f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以选项C错误;由幂函数的性质可知,f(x)=3x在其定义域上为增函数,所以选项(2)设函数f(x)=x2+1-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)【证明】方法一(定义法):∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x12+1-x22+1-2x1+2x2=x1=(x1-x2)(x1因为0≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1所以(x1-x2)(x1所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.方法二(导数法):对f(x)=x2+1-2x得f'(x)=12·2xx因为x≥0,所以xx所以f'(x)<0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减.【解题技法】判断函数的单调性的方法定义法一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论图象法若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性导数法先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调性【对点训练】讨论函数f(x)=axx2-1(a>0)在【解析】∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1=a=a(因为-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,(x12-1)(x当a<x1<x2<1时,x1x2>0,则x1x2+1>0;当-1<x1<0<x2<1时,-1<x1x2<0,则x1x2+1>0;当0<x1<x2<a时,0<x1x2<1,则x1x2+1>0,综上,x1x2+1>0,又a>0,所以f(x1)-f(x2)>0,故函数f(x)在(-1,1)上单调递减.考点三函数单调性的应用角度1利用单调性比较大小[例3]设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则 ()A.f(13)<f(32)<f(B.f(23)<f(32)<f(C.f(23)<f(13)<f(D.f(32)<f(23)<f(【解析】选B.由题设知,当x<1时,f(x)单调递减,当x≥1时,f(x)单调递增,而x=1为对称轴,所以f(32)=f(1+12)=f(1-12)=f(12),又13<12<23<1,所以f(13)>即f(23)<f(32)<f(1角度2解不等式[例4](1)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是 (A.(13,23) B.[13C.(12,23) D.[12【解析】选D.因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f(13所以0≤2x-1<13,解得12≤x<(2)已知函数f(x)=13x-log2(x+2),若f(a-2)>3,则a【解析】因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,所以f(x)=13x-log2(x+2)在定义域(-2,+∞)上单调递减由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以a-2<-1a-2>-2,解得0<答案:(0,1)角度3利用单调性求最值问题[例5](1)函数f(x)=3x+log2(x+2)在区间[-1,2]上的最大值为________.

【解析】由于y=3x在R上是增函数,y=log2(x+2)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,故f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=32+log24=11.答案:11(2)函数y=x2+4【解析】令x2+4=t,则t≥2,所以x2=t2-4,所以y=tt2+1=1t+1t,则h(t)在[2,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(2)=52所以y≤152=25(x即y的最大值为25答案:2角度4利用单调性求参数值(范围)问题[例6](1)金榜原创·易错对对碰①函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值为________.

②函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围为________.

【解析】①函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.答案:-3②函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,所以1-a≥4,解得a≤-3.实数a的取值范围为-∞,-3.答案:-∞,-3(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)【解析】选D.函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=(x-a2)2-a24在区间(0,1)所以a的取值范围是[2,+∞).【解题技法】函数单调性的应用策略(1)比较大小:利用单调性比较函数值的大小,需将各自变量的值化到同一单调区间上.(2)解不等式:关键是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.(4)求参数:利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.【对点训练】1.(2023·武汉模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x1≠x2且x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f(-12),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】选D.依题意f(x)在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增,且f(x)关于x=1对称,所以a=f(-12)=f(5所以f(e)<f(52)<f(2),即c<a<2.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是__________.

【解析】因为函数f(x)=lnx+2x在定义域(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得,f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-5<x<-2或2<x<5.答案:{x|-5<x<-2或2<x<5}3.函数f(x)=2-x·2x【解析】f(x)=1x-2由于y=1x,y=-2x-1在[1,2]上均单调递减故f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=12-2=-3答案:-34.已知函数y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是________.

【解析】设u=2-ax,因为a>0,且a≠1,所以函数u在[0,1]上单调递减.由题意可知函数y=logau在[0,1]上单调递减,所以a>1.又因为u=2-ax在[0,1]上要满足u>0,所以2-a>0,得a<2.综上得1<a<2.答案:(1,2)考点四对勾函数与飘带函数教考衔接类题串串联题号类题说明(1)源自教材第86页综合运用·T8(2).此题为“对勾函数”的基本模型(2)源自教材第86页综合运用·T8(3).此题为“对勾函数”的常见模型(3)源自教材第101页拓广探索·T12.此题为“飘带函数”的基本模型[例7](1)讨论函数y=x+9x在区间0,+∞上的单调性(2)讨论函数y=x+kx(k>0)在区间0,+∞上的单调性(3)讨论函数y=x-1x的单调性【解析】(1)设y=f(x),x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-9①任取x1,x2∈3,+∞,且x1<x2,则x1-x2<0,x1·x2>9,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)在区间3,+∞上单调递增;②任取x1,x2∈0,3,且x1<x2,则x1-x2<0,0<x1·x2<9,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间0,3上单调递减;故函数y=x+9x在区间0,3上单调递减,在区间3,+∞上单调递增(2)设y=f(x),x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-k①任取x1,x2∈k,+∞,且x1<x2,则x1-x2<0,x1·x2>k,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)在区间k,+∞②任取x1,x2∈0,k,且x1<x2,则x1-x20<x1·x2<k,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间0,k上单调递减故函数y=x+kx在区间0,k上单调递减,在区间k(3)设y=f(x),定义域D=-∞,0∪(0,+∞),设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1+1①当x1,x2∈(0,+∞)时,x1x2>0,因为x1<x2,所以f(x1)<f(x2),根据单调性定义可得,y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当x1,x2∈(-∞,0)时,x1x2>0,因为x1<x2,所以f(x1)<f(x2),根据单调性定义可得,y=f(x)在(-∞,0)上单调递增.因此y=f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增.【解题技法】形如f(x)=ax+bx(ab≠0)(1)当ab>0时,常把f(x)称为“对勾函数”.项目a>0,b>0a<0,b<0图象定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域-∞,-2ab∪奇偶性奇函数单调性增区间:(-∞,-ba)和(b减区间:(-ba,0)和(0,b增区间:(-ba,0)和(0,b减区间:(-∞,-ba)和(b渐近线一条是直线y=ax,另一条是x=0(2)当ab<0时,常把f(x)称为“飘带函数”.项目a>0,b<0a<0,b>0图象定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域(-∞,+∞)奇偶性奇函数单调性增区间:(-∞,0)和(0,+∞)减区间:(-∞,0)和(0,+∞)渐近线一条是直线y=ax,另一条是x=0【对点训练】1.已知x∈12,2,则①函数f(x)=25x+9x的值域为__________;②函数g(x)=25x-【解析】①易知函数f(x)=25x+9x在12,2上为“对勾函数”的一部分,解方程25x=9x得x=35(负根舍去),所以f(x)在12,35上单调递减,在35,2上单调递增,f(2)=1092,所以f(x)min=f(3f(x)max=f(2)=1092②易知函数g(x)=25x-9x在12,2上为“飘带函数”的一部分,且g(x)在12,2上单调递增,所以g(x)min=g(12)=-112,g(x答案:①30,10922.函数f(x)=x2-ax+1≥0在-3,12内恒成立,则实数a【解析】当x∈-3,0时,由x2-ax+1≥0,得a≥x+1x,所以a≥x当x=0时,f(0)=1≥0成立,a∈R;当x∈0,12时,a≤x+综上可得,实数a的取值范围是-2,5答案:-2,3.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是__________.

【解析】由题意可知,α+β=mαβ=1,所以m=β+1β,β∈1,2,形如函数f(x)=x+1x在1,2上是增函数,所以可直接得到m∈f(1),f(2),答案:2,4.设函数f(x)=x-1x,对任意的x∈1,+∞,f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是【解析】显然m≠0,由于函数f(x)=x-1x在1,+∞上是增函数,则当m>0时,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a>0,b<0)的函数.在1,+∞上单调递增,则f(mx)+mf(x)<0不恒成立,当m<0时,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a<0,b>0)的函数.因此,当x=1时,f(mx)+mf(x)的最大值为m-1m,于是f(mx)+mf(x)<0恒成立等价于f(mx)+mf(x),x∈1,+∞的最大值小于0,即解得m<-1,所以实数m的取值范围是-∞,-1.答案:-∞,-1【重难突破】求函数的值域基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac-b24a,+∞);当a<0时(3)y=kx(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞)(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.类型一直接法(观察法)对于较简单的函数,直接观察即可确定函数的值域.[例1](1)(多选题)下列函数中,值域为[1,+∞)的是 ()A.y=x-1 B.y=|xC.y=x2+1 D.y【解析】选BC.对于A,函数的值域为[0,+∞),所以该选项不符合题意;对于B,因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞),所以该选项符合题意;对于C,因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以x2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞),对于D,函数的值域为(0,+∞),所以该选项不符合题意.(2)函数f(x)=(x+1)2,-2≤【解析】当-2≤x<1时,f(x)=(x+1)2,为开口向上,对称轴为x=-1的抛物线,所以f(x)∈[0,4);当1≤x≤3时,f(x)=-x+5,为单调递减函数,所以f(x)∈[2,4],综上,f(x)∈[0,4],即f(x)的值域为[0,4].答案:[0,4]【对点训练】1.函数y=16-2x【解析】因为16-2x≥0,即2x≤16,所以x≤4,所以2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).y=16-2x∈答案:[0,4)2.函数f(x)=23x+1【解析】易得3x+1∈(1,+∞).得f(x)=23x+1故函数f(x)=23x+1+1答案:(1,3)类型二配方法形如函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法.[例2]函数y=-x2【解析】因为函数y=-x2+所以0≤y≤32,所以函数的值域为