2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章 第八节 圆锥曲线中的定点问题含答案

6版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第九章第八节圆锥曲线中的定点问题第八节圆锥曲线中的定点问题【核心考点·分类突破】考点一直线过定点问题角度1椭圆中的直线过定点问题[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x2+y2=4在椭圆C的内部时,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,椭圆C的方程为x25+y当圆x2+y2=4在椭圆C的外部时,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆C的方程为x24+y[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+(2)已知结论:若点(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.若椭圆C【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为椭圆C的短轴长小于4,所以C的方程为x24+y23=1.则由已知可得,切线AT的方程为x1x4+y将T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.显然A,B的坐标都满足方程6x+ty-3=0,故直线AB的方程为6x+ty-3=0,令y=0,可得x=12,即直线AB过定点(12角度2双曲线中的直线过定点问题(规范答题)[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.审题导思破题点·柳暗花明(1)思路:题目给出双曲线的左焦点坐标和离心率,根据各参数之间的关系,求出曲线的标准方程.(2)思路:考查直线与双曲线的位置关系,可以从多个角度理解直线MN.选择确定直线MN的初始参变量不同,将导致解题过程的运算量大小不同.[路径1]把M,N分别看成直线MA1,NA2与双曲线的另一个交点.[路径2,3]把M,N看成直线MN与双曲线的两个交点,但路径2与3的直线MN设法不同.规范答题微敲点·水到渠成【解析】(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由焦点坐标为(-25,0)可知c=25,由e=ca=5关键点由焦点坐标及离心率可求出c和a.所以双曲线C的方程为x24-y216=1(2)解法1(以直线MA1,NA2的斜率为参数):设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MA1:y=m(x+2),直线NA2:y=n(x-2),由y得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.因为-2x1=4m所以x1=2m2+84-m2,y由y得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.因为2x2=4n所以x2=2n2+8n2-4,y由题设知x1+4y1扫清障碍利用直线MN的斜率建立关系式,起到承上启下的作用,为后续解题起到桥梁和纽带作用.所以(mn-4)(m+3n)=0,由题意知mn<0,故m=-3n. ………………[10分]点P(x,y)满足y=m(x+2)且满足y=n(x-2),所以x=-1. 故P在定直线x=-1上.………………[12分]解法2(以直线MN的斜率为参数):设M(x1,y1),N(x2,y2),(i)当MN的斜率存在时,设直线MN:y=k(x+4)(|k|≠2),由y得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.由于x1+x2=8k24-k2,x ………………[5分]直线MA1:y=y1x1直线NA2:y=y2x2联立方程得,x=2( ………………[7分]扫清障碍此处如果直接求解运算量会很大,可以对照分式的特征,采用分子+分母,再进行运算,求出和值,即可求出比值.因为2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)=2k[2×16(k2=2k[-8(所以x=-1.…[10分](ii)当MN的斜率不存在时,避误区解决直线与圆锥曲线综合问题时,注意分直线斜率存在和不存在两种情况进行说明,避免造成不必要的失分.直线MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43),直线MA1:y=-23(x+2),直线NA2:y=233(联立方程得P(-1,-23),此时点P在定直线x=-1上. 综上,P在定直线x=-1上.…[12分]解法3:设M(x1,y1),N(x2,y2),显然,直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,关键点避免对直线MN斜率是否存在进行讨论.则x1=my1-4,x2=my2-4.联立得x=得(4m2-1)y2-32my+48=0. …[5分]因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点,所以4m2-1≠0,且Δ>0.由根与系数的关系得y1+y2=32m4m2-1y1y因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点,所以A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程为y=y1x1直线NA2的方程为y=y2x2…[8分]因为直线MA1与NA2交于P,可得,x+2x-2=y破题有招求x+2x-2的值相对于直接联立方程求=my1y指点迷津构造-2(y1+y2)的巧妙之处是可以运用根与系数的关系求值.=m·484m2由x+2x-2=-13,解得x所以点P在定直线x=-1上.…[12分]角度3抛物线中的直线过定点问题教考衔接教材情境·研习·探究类[例3](人教A版选择性必修第一册P138·T6)如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.【证明】不妨假设A(x1,y1),B(x2,y2),则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),联立方程y消去x得y2-2y-4=0,由根与系数的关系知y1+y2=2,y1y2=-4,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,所以OA·OB=x1x2+y1y2=4-4=0,因此OA⊥OB.【探究1】将已知条件和结论的位置调换.1.若直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点,OA⊥OB,求证直线l过定点(2,0).【解析】由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+n,其中n≠0,联立方程x消去x得y2-2my-2n=0,由根与系数关系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,则x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,进而可得直线方程为x=my+2.所以直线l经过定点(2,0).【探究2】将抛物线y2=2x变为y2=2px(p>0):2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥OB,求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),(1)kOA=y1x1,kOB=因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,因为y12=2px1,y22所以y122p·y22因为y1≠0,y2≠0.所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥OB,求证:(2)直线AB过定点.【证明】设(2)直线AB的方程为x=my+n,其中n≠0,则x-my故y2=2px·x-所以ny2+2pmxy-2px2=0,所以nyx2+2pmyx因为OA⊥OB,所以y1x1·y所以n=2p,则直线AB的方程为x=my+2p,故直线AB过定点2p【探究3】将“kOA·kOB=-1”变为“kOA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”(t为常数).3.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB.(1)若kOA·kOB=t(t为常数),求证直线AB过定点(-2p【证明】设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),类似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx则y1x1·y2x2=-2p(1)若kOA·kOB=t,则y1x1·y2x故n=-2p则直线AB的方程为x=my-2p故直线AB过定点-23.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB.(2)若kOA+kOB=s(s为常数),求证直线AB过定点(0,2ps【证明】(2)若kOA+kOB=s,则y1x1+y2x故n=-2pms,则直线x=my-2pms=m故直线AB过定点0,【探究4】若点O不是坐标原点,而是抛物线上一动点.4.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,Mx0,y0为抛物线上一定点,过点M作两条弦(1)若kMA·kMB=m,则直线AB过定点;【证明】设Ay122p,y1则kMA=2py0+y1,kMB=2则直线AB的方程为y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(1)因为kMA·kMB=m,所以2py0+yy1y2=4p2m-y0(y1+y2)-将②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02-4p2m所以当y=-y0时,x=y022即直线AB过定点y04.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,Mx0,y0为抛物线上一定点,过点M作两条弦(2)若kMA+kMB=n,则直线AB过定点.【证明】(2)因为kMA+kMB=n,所以2py0+yy1y2=2p-ny0n(y1+将③代入①得,(y1+y2)y-2p-ny0n-4py0-ny02即直线AB过定点y0高考链接已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为1,且|PF|=2,A,B是抛物线E上异于O的两点.(1)求抛物线E的标准方程;【解析】(1)由题意得,F(p2,0),点P的横坐标为1,且|PF|=2,则2=1+p2,所以所以抛物线E的方程为y2=4x;已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为1,且|PF|=2,A,B是抛物线E上异于O的两点.(2)若直线OA,OB的斜率之积为-4,求证:直线AB恒过定点.【解析】(2)当直线AB的斜率不存在时,设A(t24,t),B(t24,-因为直线OA,OB的斜率之积为-4,则tt24×-tt所以A(1,t),B(1,-t),此时直线AB的方程为x=1.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4xy=kx+b,化简得ky2-4根据根与系数的关系得y1y2=4b因为直线OA,OB的斜率之积为-4,所以y1x1·y2x2=-4,即y1y2即y1y2+4·y124解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,所以y1y2=4bk=-4,即b=-满足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-k,即y=k(x-1),综上所述,直线AB过定点(1,0).[溯源点评](1)本题主要考查了直线过定点问题,一般方法是设出直线方程,联立圆锥曲线方程,可得根与系数关系式,要结合题设进行化简得到参数之间的关系式,结合直线方程即可证明直线过定点.(2)解题时也可参考探究过程,利用探究的解题方法进行求解.【对点训练】1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.(1)求抛物线C的方程;1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.【解析】(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),所以p2=2p,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.(2)若过点Q(2,0)作QH⊥l,垂足为H(不与点Q重合),是否存在定点T,使得|HT|为定值?若存在,求出该定点和该定值;若不存在,请说明理由.【解析】(2)设点M(y124,y1),N(y224得G(y124又因为点M关于点G的对称点为P,所以点P(y124,-y1由O,N,P三点共线,可得kOP=kON,即-y12化简得2(y1+y2)+y1y2=0,设直线l的方程为x=my+n,联立x=my+ny2=4x,消去x则Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,所以直线l的方程:x=my+n,即x=my+2m,则x=m(y+2),所以直线l过定点E(0,-2),因为QH⊥l,所以点H的轨迹是以EQ为直径的圆(除去E,Q两点),圆心为(1,-1),半径为2,所以存在定点T(1,-1),使得|HT|为定值,该定值为2.2.(2024·成都模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1)与椭圆C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的离心率相同,且椭圆C(1)求实数a和b的值;【解析】(1)由椭圆C1的方程可得其焦距为2a2-1由椭圆C2的方程可得其焦距为212-b2由题意知212解得a2=1b2=12(舍)或a2=42.(2024·成都模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1)与椭圆C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的离心率相同,且椭圆C(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C1上,AB∥CD,CD=2AB,直线BC与直线AD相交于点P,且点P在椭圆C2上,证明直线CD恒过定点.【解析】(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0),则x0212因为AB∥CD,CD=2AB,所以A,B分别为PD,PC的中点,所以B(x1+x02,y1+y0所以x02+2x1x0+8y1y0+4因为x0212+y023=1,所以x02+4y02=12,所以2x1x0+8y1y0=0,即x同理可得:x2x0+4y2y0=0,所以直线CD的方程为x0x+4y0y=0,所以直线CD恒过定点(0,0).3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2)(1)求C的方程;【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±33x则可设双曲线的方程为x29-y23=将点P(3,2)代入得99-23=λ,解得λ=所以双曲线C的方程为x23-y3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2)(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证:直线AD过定点.【解析】(2)显然直线BQ的斜率不为零,设直线BQ的方程为x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),联立x23-y2=1x=my+1,消依题意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0,即m2>2且m2≠3,y1+y2=-2mm2-3,y1直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2令y=0,得x=(x2-x1=(=2=2m·-2所以直线AD过定点(3,0).考点二其他曲线过定点问题[例4](2024·成都模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2与x轴交于点A,过l右侧的点P作PM⊥l,垂足为M,且|PA|=|PM|+|OA|.(1)求点P的轨迹C的方程;【解析】(1)设点P(x,y),因为|PA|=|PM|+|OA|,所以(x+2)2+化简得y2=4(x+3)(x>-2),所以轨迹C的方程为y2=4(x+3)(x>-2).[例4](2024·成都模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2与x轴交于点A,过l右侧的点P作PM⊥l,垂足为M,且|PA|=|PM|+|OA|.(2)过点B(1,0)的动直线l'交轨迹C于S,T.证明:以线段ST为直径的圆过定点.【解析】(2)设直线l':x=my+1,S(x1,y1),T(x2,y2),联立y2=4(x+3),x=my+1得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0,从而y1+于是x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-16m2+4m2+1=1-12m2.以线段ST为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,所以x2+y2-(4m2+2)x-4my-12m2-15=0.由对称性知定点在x轴上,令y=0得x2-(4m2+2)x-12m2-15=0,于是(4x+12)m2-(x2-2x-15)=0,由m的任意性,得4x+12=0x2-2【解题技法】含有参数的圆过定点的解题策略1.选取适当的参数;2.求出适合题设条件的圆的方程;3.化简圆的方程(将参数集中在一起);4.令某些值或系数为零,得出定点坐标.【对点训练】(2024·泉州模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22,上、下顶点分别为A,B.圆O:x2+y2=2与x轴正半轴的交点为(1)求E的方程;【解析】(1)由已知得A(0,b),B(0,-b),P(2,0).则PA=(-2,b),PB=(-2,-b),PA·PB=2-b2=-1,所以b2=3.因为e=ca=22,又b2+c2=a2,所以c2=3,a2=6.故E的方程为x26(2024·泉州模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22,上、下顶点分别为A,B.圆O:x2+y2=2与x轴正半轴的交点为(2)直线l与圆O相切且与E相交于M,N两点,证明:以MN为直径的圆恒过定点.【解析】(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.因为直线l与圆O相切,所以|m|k2+1=2,即m2=2k2+2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m.由y=kx+m,x26+y23=1,化简,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,由根与系数的关系得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-62k2+1,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k故OM⊥ON,即以MN为直径的圆过原点O.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2或x=-2.这时M(2,2),N(2,-2)或M(-2,2),N(-2,-2)或M(2,-2),N(2,2)或M(-2,-2),N(-2,2).显然,以MN为直径的圆也过原点O.综上,以MN为直径的圆恒过原点O.【加练备选】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1,F2,T为椭圆C上任意一点,(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)因为椭圆C的离心率为22所以ca=2又当T位于上顶点或者下顶点时,△TF1F2的面积最大,即bc=1.又a2=b2+c2,所以b=c=1,a=2.所以椭圆C的标准方程为x22+y2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,其左、右焦点分别为F1,F2,T为椭圆C上任意一点,(2)已知A(0,1),过点(0,12)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN与x轴的交点分别为P,Q,证明:以PQ为直径的圆过定点【解析】(2)由题知,直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx+12设M(x1,y1),N(x2,y2),将直线l代入椭圆C的方程得(4k2+2)x2+4kx-3=0,由根与系数的关系得:x1+x2=-4k4k2+2,x1x2=-34k2+2,直线AM的方程为y所以P(-x1y1-所以以PQ为直径的圆为(x+x1y1-1)(x+整理得x2+y2+(x1y1-1+x2y因为x1x=4=-12令①中的x=0,可得y2=6,所以,以PQ为直径的圆过定点(0,±6).第二节两条直线的位置关系【课程标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【考情分析】考点考法:两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.核心素养:数学运算、直观想象、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两条直线的位置关系(1)位置关系项目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+A2x+B2y+C2=0(A22+相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2,且b1≠b2A1A重合k1=k2,且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0(2)交点坐标若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,则l1与l22.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).②结论:|P1P2|=.③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=x2(2)点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.【微点拨】点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,34,51.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.若两条直线斜率相等,则两直线平行B.若l1∥l2,则k1=k2C.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交D.若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合【解析】选CD.A.两直线有可能重合,故A错误;B.可能出现两直线斜率不存在的情况,故B错误;C.若两直线中有一条直线的斜率不存在则直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故C正确.D.两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故D正确.2.(选择性必修第一册P57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是 ()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解析】选D.直线AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直线由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(选择性必修第一册P57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a= ()A.-2 B.-1 C.12 【解析】选D.由题意32=3a,则a=2.4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB∥CD;当kAB=kCD,即m≠0时,m+1m=3m,解得m=2,此时5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为 ()A.8 B.4 C.85 D.【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1【巧记结论·速算】1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C22.点关于特殊的直线的对称问题的结论:点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)【即时练】1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【解析】选A.因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以设直线方程为x-2y+c=0,又直线经过点(1,0),得出c=-1,故所求直线方程为x-2y-1=0.2.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是 ()A.y=3x+5 B.y=2x+3C.y=2x+5 D.y=-x2+【解析】选C.A关于直线x=0的对称点是A'(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A″(-1,3),由角平分线的性质可知,点A',A″均在直线BC上,所以直线BC的方程为y=2x+5.【核心考点·分类突破】考点一两条直线的平行与垂直[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;【解析】(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥解得a=-1,综上可知,当a=-1时,l1∥l2.方法二:显然a≠0,l1∥l2,则1a=a-12≠a可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=-a2xl2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·11方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23【解题技法】1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+l1与l2平行的充要条件Al1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1A2≠B1B2l1与l2重合的充要条件A1A2=提醒:在判断两直线的位置关系时,比例式A1A2与B1【对点训练】1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a= ()A.0 B.1 C.-1 D.1或-1【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·贵阳模拟)已知直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则m的值为 ()A.12 B.13 C.2 【解析】选A.因为直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则2m-1=0,解得m=12【加练备选】若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为12【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤1当且仅当a=1,b=12时,等号成立,故ab的最大值为1考点二距离问题[例2](1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是 ()A.4 B.1020 C.104 【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,则所求距离是|12(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为3x+4y-5=0或x=-1.

【解析】当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直线的方程为3x+4综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.一题多变[变式1]将例(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.【解析】由题意得63=m1≠-1将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),由|t+1|62+2因此所求直线的方程为6x+2y-72=0[变式2]将例(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离,|-1+6|62+可知(x1-x2【解题技法】距离问题的求解策略(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.【对点训练】1.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,则实数a的值为 ()A.-1 B.85 C.-1或85 【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,可得AB=(a-3整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=852.(2024·北京模拟)设d为动点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值为 ()A.2-1 B.322 C.1+2【解析】选C.点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离d=|cos|2因为-1≤cos(θ+π4)≤1,则-2-2≤