高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 26(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(26)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.如图所示，在△ABC中，AQ=QC<AR8Q与CR相交于/,A/的延长线与边8c交于

点P.

⑴用四和前分别表示的和丽;

(2)如果可=同+入的=前+〃B，求实数4和4的值;

2.如图所示，在口ABC。中，AB=a<AD=b<BM=-BC,AN=-AB.

34

(1)试用向量E来表示而，AM；

(2)AM交DN于O点,求ZO：OM的值.

3.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①荏2+荏.元=_6；②炉+©2=52；③△ABC的面积为3房.

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为小b,e,已知b-c=2,cosA=_______

4

⑴求a；

(2)求cos(2C+9的值.

4.如图，在长方形ABC。中，E为边。C的中点，F为边BC上一点，且黑=|.设e=3届=)

(1)试用基底Z，。表示第，凉

(2)若G为长方形A8CO内部一点，且启=|：+|3.判断E,G,尸三点是否共线，请说明理由.

5.已知平面向量;工满足：问=2,b=1.

(1)若0+2方)・位一3)=1，求之工的值；

(2)设向量之工的夹角为仇若存在teR,使得|a+tb|=l,求cosJ的取值范围.

6.已知向量五=(1,2),b=(-3,4)，求：

⑴I五—小

(2)向量之+%与之_］夹角的余弦值.

7.已知|五|=5,|K|=4>

(1)若有与方的夹角为。=120°.

①求①方;

②求方在至上的投影向量.

(2)若方〃方，求

8.已知三个点4(2,1),6(3,2),0(-1,4).

(1)求证：AB1AD；

(2)要使四边形ABCO为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCQ两对角线所成的锐角的余弦值.

9.已知日46,b0)当|五+1石|(teK)取最小值时，

(1)求r的值；

(2)若方、E共线且同向,求证:b1(a+tb).

10.如图，在直角梯形ABCD中，|瓦刑=2,^CDA=%a=2CB>48为直角，E为A8的中点,

DP=ADC{0<A<1).

(1)当a=3时，用向量方乙育表示向量屈；

(2)求|而|的最小值，并求出相应的实数2的值.

11.己知区石片是同一平面内的三个向量，a=(2,1).

(1)若用|=2遥，且次己共线反向，求口的坐标；

(2)若|石|=亨，且—+21)J.(2五一」)，求I与石的夹角。.

12.已知同=短同=1,3与B的夹角为45。，

⑴求|五+23的值；

(2)若向量(2五一；I。)与■。五一3石)的夹角是锐角，求实数％的取值范围。

13.在团ABC中，AB=2,AC=1,/BAC=120°,点E,F在BC边上且就=，或，BF=^BC.

(1)若/1=/求AE的长;

(口)若市.万=4,求；的值.

14.如图，在ACMB中，P为线段48上一点，且赤=x6?+yG反

(1)若加=而，求x，y的值;

(2)若9=3而，|瓦？|=4，|用|=2,且瓦?与方的夹角为60。，求赤•用的值.

15.如图，在△。4B中，已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB.

(1)若即=互?，求x,y的值;

(2)若前=2成，|市|=4，|而|=2，且函与函的夹角为60。时，求诃•近的值.

16.三角形ABC是等腰直角三角形，Z.B=90°,。是BC边的中点，BELAD,延长BE交AC于F,

连接DF.求证：4ADB=乙FDC.

17.如图，已知河水自西向东流速为|诟|=lm/s,设某人在静水中游泳的速度为女,在流水中实际

速度为

北

(1)若此人朝正南方向游去，且|五|=V5rn/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角a和记的大

小；

(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|五|=V^n/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角£和

访的大小.

18.已知|五|=3,|B|=4，3与方的夹角为「求：

(l)(3a-2h)-(a-2b)；

(2)1a-K|.

19.在△ABC中，点。在线段BC上，且DC=280,点。是线段AO的中点，过点。的直线分别交

AB,AC于点何，N,若祠=m湿，前=n正.(1)求证：^+^=3；

(2)求m+n的最小值.

20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,B,C三点满足玩=g鼐+g而

(1)求证：A,B,C三点共线；

(2)已知A(l,cosx),B(1+sinx,cosx),xe[o,1,f(x)=嬴.氏一(2m2+§.|屈|的最小值为

p求实数机的值.

21.在平行四边形43。9,荏=五，荷=3,方=：方，疗=|备.

(1)用五，方表示市;

(2)若|初=1,囚=4，£DAB600,求宿用的值.

22.如图，已知404B中，延长BA到C,使4B=AC,点。满足而=3而，CC和。4交于点E,

设04=a>OB=b>

(1)用五，方表示灰，CD-.

(2)若丽=4力，求实数4的值。

23.在△4BC中，乙4,”的对边分别为a,b,c,已知向量沅=(cosB,2cos21-1)>n=(c,Z)-2a),

且记•n=0.

(1)求4c的大小；

(2)若点。为边AB上一点，且满足而=而，|而|=V7，c=23求△ABC的面积.

24.如图所示，在ABOC中,A是边BC的中点，而=2而,DC和0A交于点E,设耐=花丽=左

(1)用方和豆表示向量3?,DC；

(2)若岳=4瓦?，求实数；I的值.

25.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足次=[市+|南.

⑴求留的值；

(2)已知A(l,cosx),B(1+cosx,cosx),x€[0.,'j./(J)=OC-12m4-AS：.若/(x)的最

小值为g(m)，求g(m)的最大值.

26.如图，在平面斜坐标系xO)，中，zxOy=60",平面上任一点P的斜坐标定义如下：若而=万瓦1+

y要(其中耳，石分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x,y).此时有瓦？=

(1,2),丽=(a,4)，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(l)M//0B-求丽的坐标；

(2)06=(3,4),求立•布的值；

(3)求与原同向的单位向量的坐标.

27.已知面=4，亩=3，(2。一3办.(2日+，)=61・⑴求:与，的夹角仇

(2)若［=ta+(1—t)b，且b•1=()，求，及©.

28.平面向量；，；满足Z-b=1

(1)若乙方为单位向量，求|方+3；

(2)若;,淌夹角为60。，求1g+2力的最大值

29.若但|=1,巧|=m,|五+1|=2.

⑴若|五+231=3，求实数〃?的值；

(2)若日+石与方一石的夹角为拳求实数〃7的值.

30.已知直线/：y=入+t与椭圆C：5+2=l(a>b>0)交于A、B两点,F(历0)为椭圆的右

焦点，长轴长为6.

(1)当k=g,t=0时，证明：AF1BF；

(2)直线/过焦点，设点M的坐标为(巾,0),当&变动时，N4MB的角平分线始终为无轴，求加

的值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)由丽=1近,

可得的=BA+AQ=-AB+^AC.

AR=-AB,

3

.•■CR=CA+AR=-AC+-AB.

3

(2)将丽=-而+萍，CR=-AC+^AB

代入国=话+4的=前+4配

则有荏+，(-四+《前)=前+〃(-前+［荏)，

B［J(1—X)AB+^AAC=+(1—p.)AC,又近与就不共线，

；•i3解得|1

解析：本题考查平面向量基本定理的应用，利用平面向量基本定理求参数，属于基础题型.

(1)由血=［而，可得的=再由荏=［荏，可得B=+短，即可求解.

(2)将丽=一而+［而，次=-刀+：荏可得(1一，)而+［；(正=［〃四+(1-〃)而，利用对

应系数相等即可求解.

2.答案：解：(1)因为AN=(48,所以而=：泊

所以说=前一而=工五一B,

4

因为BM=|BC,所以的=，方=彳同=|B,

所以前=AB+'BM=a+^b.

(2)因为A,O,M三点共线，所以而〃祠,

设方=A宿，则前=AO-AD=AAM-AD=A(a-l-lb)-b=Aa+(lA-l)b.

因为。，。，N三点共线,所以前〃而，

存在实数〃使方5=—b)=^a-p.bfAa+(|A—l)K=^/ia—/1K,

_iQ__3_

由于向量益石不共线，则12一"，解得I一力

0-1=一〃心,

所以而=-AM.OM=-AM,

1414

所以AO：0M=3：11.

解析：本题主要考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数

乘的几何意义.

(1)根据条件便可得到而=；五，BM=|fiC=|AD=|^＞再用向量日石来表示丽，而即可；

(2)由D,0,N三点共线，则存在实数4使丽=〃丽=〃(轲-b)=^a-nb,同理可得前=A0-

AD=AAM-AD=A(a+lb)-b=Aa+^-l)b,解出心〃，这样便能得出A。：0M的值.

3.答案：解：方案一：选择条件①：

2

⑴同+AB-BC=AB-(AB^BC>)

=AB-AC=bccosA=-6

1

vcosA=——

4

・•・be=24

由於言解得忆网：二：(舍去)

1

：•a2=b2-Vc2-2bccos4=36+16—2x6x4x(一二)=64

4

・•・a=8

Q+匕

22_c264+36-16_7

(2)cosC=

2ab2x8x6-8

49金

：•sinC=1------

648

17

・•・cos2C=2cos2c—1

32

sin2c=2sinCcosC=^p

7T.7171

・•・cos(2C4--)=cos2Ccos——sin2Csin-

666

17V3-7V15

64

方案二：选择条件②:

⑴由*二2解得忆:或忆力舍去)

1

：•a2=Z?24-c2-2bccos4=36+16—2x6x4X(--)=64

4

­•a=8

(2)同方案一

方案三：选择条件③:

1

(1)vcos/1=--

4

4

1V15

S4ABe=弓besinA=~^-bc3V15

LO

,be=24

由於言解得力舍)

1

••・a2=624-c2-2bccos4=36+16-2X6x4X(--)=64

4

・•・Q=8

(2)同方案一.

解析：本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，

考查了考生的计算求解能力，属于中档题.

方案一：选择条件①：(1)首先利用向量的加法以及向量的数量积可得bccosA=-6,从而可求出从

c,然后再利用余弦定理即可求解.

(2)利用余弦定理可得cosC=］再利用同角三角函数的基本关系求出sinC,由二倍角公式以及两角

O

和的余弦公式即可求解.

方案二：选择条件②：(1)求出氏C,再利用余弦定理即可求解.

(2)同方案一

方案三:选择条件③：(1)利用同角三角函数的基本关系求出sin4,再利用三角形的面积公式可得儿=

24,求出6、c,再利用余弦定理即可求解.

(2)同方案一.

4.答案：解：(1)由题，AE=AD+DE=^AD+^DC=AD+^AB=b+1a,

EF=EC+CF=-AB+-CB=-AB--AD=-a--b.

232323

(2)AF=AB+JF=AB+^AD=a+^b,

AG=-a+-b=-(b+-a)+-(a+-b')=-AE+-AF,

432、272v3722

V2AG=AE+AF＞即布-荏=而一福

故前=碎，即宙〃萧，

.­.E,G,尸三点共线.

解析：本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真

审题，注意平面向量加法法则的合理运用.

(1)根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底｛五,可，表示荏，前；

(2)根据条件得到2布=荏+衣，得到面〃斤，即可证明E,G,尸三点共线.

5.答案：解：(1)若(君+2石)•(方一石)=1，

则五2+a-b—2b2=1»

又因为|五|=2,|K|=1，

所以4+苍•石一2=1.

所以五=-1;

(2)若|方+行|=1，

则看+2ta-b+t2^=1'

又因为他|=2,|方|=1，

所以t2+20・E)t+3=O，

即产+4tcos6+3=0,

所以Z=16cos2。-12>0,

解得cos。>逅或cos。<——>

22

所以COS。E[―1,—曰]U[曰,1]>

解析：本题考查平面向量数量积的性质及模的运算，涉及根的判别式，属于中档题.

⑴条件可转化为片+元不_2/=1，代入|方|=2,|b|=l，即可得到心了；

(2)条件转化为t2+4tcos0+3=0,则有4=16cos2。一1220,解出不等式即可.

6.答案：解：(1)va=(1,2),b=(-3,4)>

a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),

故忖_同=/42+(-2)2=2V5.

(2)-a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6).

\a+b\=V(-2)2+62=2V10.

(a+b)-(a-K)=(4,-2)■(-2,6)=4x(-2)4-(-2)x6=-20.

又：忖—=2遍，

设向量五+石与G-方夹角为。，

同rr><fl-(a+b>0询--2X4+6X(-2)_-20__/2

川COSU-/加坨-2V5X2V10-20^2-2­

故向量Z+石与五-3夹角的余弦值为一号.

解析：本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

(1)结合题设根据向量的坐标运算法则先求得w-5，再由模长公式计算即可；

(2)先求得|为+3及值+K)-(a-K)结合怔-3以及向量的夹角公式即可求得结果

7.答案：解：(l)(l)a-b=\a\\b|cos0=5x4xcos120°=-10.

②五在方上的投影向量为|矶-cos端=5x(-xg=-|反

(2)・••//］，

五与方的夹角为。=0。或180。.

当9=0。时,a-b=|a||K|cos0°=20.

当。=180°时，ab=|a||b|cosl80°=-20.

解析：本题考查向量的夹角、向量的数量积、投影向量以及平面向量共线的充要条件，属于中档题;

(1)①利用数量积的定义即可求解；

②利用投影向量定义即可求解；

⑵五〃B，分五与石的夹角为。=。。或180。两种情况即可求解；

8.答案：⑴证明:♦••4(2,1),8(3,2),0(-1,4).

AB=(1,1),AD=(-3,3).

又•••亚•荷=1x(-3)+1x3=0，ABLAD,

即AB_LAD.

(2)解：由(1)知荏1同，

又••・四边形ABCD为矩形，［AB=DC.

设点C的坐标为(x,y),则瓦1=(x+l,y-4).

又「后=(1，1)，，［〉泊懈得［

•••点C的坐标为(0,5).

AC=(-2,4)，丽=(-4,2).

AC-JD=8+8=16，|砌=2遮，\'BD\=275.

设左与前的夹角为e,

而前_竺_<>0

则cos。=\AC\-\BD\-20-5’

•••矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为

解析:

本题考查了向量的数量积、夹角及向量垂直的证明，属于基础题.

(1)求出而，而的坐标，证明荏•同=0即可;

(2)由题意得，AB=DC，设点C的坐标为(x,y),则反=(x+l,y-4)，即可得点C的坐标，从而

Ad-Bb

可得配=(-2,4)>~BD=(-4,2).设前与前的夹角为仇根据<6。=

因.而即可求得结果.

9.答案：解：(1)令布=^+tE，a为五与E的夹角，则

rn2—|a|2+2ta-b+t2|b|

_»2

=t2\b\+2t|a||h|cos0+\a\2

=同之,+1cos。)4-|a|2sin0.

所以当t=一探cos。时，才有最小值，即|方+㈤有最小值.

(2)证明：因为乙石共线且同向，故cosO=l.

所以t二一耕所以石,(苍+防=五・方+t|K|2=|a||K|-|a||b|=0>

所以亍1(a+tb).

解析：本题考查利用平面向量的数量积以及向量垂直的应用，属于中档题.

(1)令沅=五+11，五与石的夹角为。，对记2进行变形，然后利用二次函数性质可取得最小值时对应的

f值.

(2)当落方共线且同向时，COS0=1,只需证明方.(五+tE)=0即可；

10.答案：解：(1)当；1=1时，直角梯形ABC。中，

网|=2,^CDA=pDA=2CB，

角B为直角,E为AB中点，DP=^DC,

]

VPE=-[(DA-DP)+(PC+CF)]

1一1一2一1一

=-(DA--DC+-DC+-DA)

2、3327

=-DC+-DA；

64

(2)•.•直角梯形ABC£>,|万？|=2，^CDA=p~DA=2CB，

角8为直角，E为AB中点，DP=ADC，(0<A<1),\DC\=2,

11

・.♦而=2(西+而)=2[(DA-DP)+(PC+CB)]

1一一一1一、

=-[r£»1-ADC+(1-A)DC+-DA]

13_

=2产+(1-24)的

=1DA+I^DC,

42

―,,9—,2(1-24)2_123__._(

\PE\2=—DA+-~~一一DC+-(1-2A)M-DC

1644

=4A2-7A+-=4(A--)2+-,

4v8y16

V0<A<1,

...当"涧，|两|2有最小值高

二|屋|有最小值手.

解析：本题考查了平面向量的线性运算，考查二次函数的性质以及转化思想，数形结合思想，属于

中档题.

(1)利用三角形法则即可得出结论；

(2)表示出|而|2的表达式，结合二次函数的性质求出其模的最小值即可.

11.答案：解：(1)设芸=(x,y),

vI?I=2V5,且3〃落

(x—2y=0

[x2+y2=20'

解噬二端u，

又因为百、不共线反向，

故，=(一4,-2)；

(2)•••(a+2b)1(_2a-b~)>

(a+2b)-(2a-6)=0.

即2片+3五.加一2石之=0,

••・2x5+3五•1-2x>。,

整理得W•方=-j,

又•・,96[0,TT]，

・•・e=n.

解析：本题考查平面向量的坐标运算和数量积，判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题.

（1）设口=（x,y）,由|笠|=2迷，且"/落知H；2：020'结合^共线反向，由此能求出而勺坐

标；

（2）由m+2为1（2五一方），知0+2日）•（2日一石）=0，整理得行7=1，故cos0==1，由

此能求出五与方的夹角仇

12.答案：解：（1）\a.+2b\=+2同*=J同2+4同同cos450+\2b\^=+4+4=V10

\a+2b\=V10；

（2）•••（2行一/1石）与（4行一3方）的夹角是锐角,

•••（2a-2b）-（Aa-3h）>0,且（2五一；与储@一3石）不能同向共线,

A2-7A+6<0,2a-Abfc(Aa-3h).k>0,

•­•1<A<n或后<A<6.

解析：本题考查平面向量的数量积、模长计算及夹角问题，属于基础题.

⑴根据|日+2区|=J|a+2b|2>展开计算即可；

(2)向量(2行一/1万)与(2五—33)的夹角是锐角，等价于(2行一4方).(几万―3石)>0，且(2日一；15)与

Q五-35不能同向共线，由此建立不等式组即可.

13.答案：解：(I)设48=五，AC=b<

则同|=2,同=1,a.-b=|a||K|cosl20°=—1>

所以荏=超+而=五+式下一五)=|五+：反

(II)AE=AB+BE=a+-3)=(1—A)a+Ah

同理可得，AF=AB+BF=a+/i(b—a)=(1—^)a+K，

AE•AF-[(1—A)H+Ab]•[(1—〃)Z+=4(1—4)(1—〃)+2〃一[(1—+(1—〃)2]

=4+7A/z-5(2+〃)，

4+7川一5(2+〃)=4,7川-5(2+〃)=0,

117

同除以川可得，+-=-.

A7/XO

解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是中档题.

(1)设而=区AC=b,，利用向量的数量积以及向量的模求解即可.

(H)求出荏•都=4中的向量表示，利用向量的数量积转化求解即可.

14.答案:解：⑴若加=而，则赤=4训+：话,

故％=y=|.

(2)若丽=3方,

=-OA+-OB,

44

OP-AB=（^OA+^OBy（pB-OA'）

1——>21——>——>3——>2

=--0A——0A,OB+-OB

424

1o13

=--X42--X4X2XCOS6004--x22

424

解析：本题考查平面向量基本定理、数量积和线性运算，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

⑴由布=而得丽=：市+之而，故％=y=3

(2)利用赤•AB=QO4+|OF)-(OB-即可求解.

15.答案：解：(1)由萨=同，得前一前=57-前，

所以就+而)=：6?+：而，

所以x=y=-i

(2)由丽=2腐，得而一丽=2画-而),

所以而=|万？+［而；

5L\0A\=4.\OB\=2>且次与旗的夹角为60。，

则而•AB=(|07+|OB)■(OB-OA)

2——Q1---»21——>——►

=--jOA+-OB+§0/・08

211

=--X42+-X22+-X4X2XCOS60°

333

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题.

(1)由乔=可得而一南=市一加，用市、福表示亦即可；

(2)由前=2同得布=2(瓦？一赤)，求出赤，再计算前•荏的值.

16.答案：证明：如图，以B为原点，BC,BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如

图所示：

设4(0,2),C(2,0),则。(1,0),AC=(2,-2)，

设存=AAC，

则前=BA+AF

=(0,2)+(2A,-2A)=(2A,2-2A),

又因为历=(-1,2)，1

所以丽•万？=0，

所以一24+2(2-22)=0,解得2=}

所以前=仁为，

所以加=前一前=12

3‘3,

又因为万？=(1,0)，丽=(—1,0)，

所以cos44OB=尚赢=《,

屈.虎_y/5

CXJSZFDC画研可，

又因为乙4DB,乙FDC£(0,n),

所以4ADB=乙FDC.

解析：本题考查了向量的几何运用，向量的夹角，向量的数量积，平面向量的坐标运算等知识，属

于中档题.

由于△力BC是等腰直角三角形，故以B为原点,8C所在直线为x轴建立直角坐标系，要想证明乙4DB=

/.FDC,只需证明cos〃DB=cos"75C.设直角三角形的边长为2,由此求出向量而，配,瓦?，而，

再结合向量数量积的坐标运算求解.

17.答案：解：设04=可，OB=可，OC=V2>

则由题意知记=万+说，|函|=1，

根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.

(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|而|=4C=B，如下图所示:

则在直角A04C中，|五|=0C=皿2+4c2=2m.ls，

tanN40C=立=g，又a=Z40C6(0潦)，所以a=%

14J

所以他实际前进方向与水流方向的夹角a为余底的大小为2zn/s：

(2)由题意知乙4。。=今且|五|=|OC|=B，BC=1,如下图所示,

则在直角△OBC中，|五|==V。干2+BC?=2m/s，

tan/BOC=白=—>

V33

又乙8。。€(0谭)，所以NBOC=g

则夕=T+£=g,

所以他游泳的方向与水流方向的夹角夕为与，宣的大小为2m/s.

解析：本题主要考查向量在物理中的应用.

(1)设市=为神=五,元=五，根据向量加法的运算法则进行求解.

(2)根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解.

18.答案；解：(l)|a|=3,|石|=4,方与E的夹角为:，

<>

a•b=|a|•|b|-cosg=3x4x1=6,

(3a-2b)•(a-2b)

=3|a|2+4|b|2-8a-b

=3x9+4x16-8x6=43;

(2)|a-b|2=|a|2+|K|2-2a-b=9+16-12=13,

\a-b\=V13.

解析：本题考查了平面向量的数量积运算以及模长计算，属于中档题.

(1)先计算方•E，再计算(3a-2b)-(a-2b);

(2)先计算0-3)2,再开方得出答案；

19.答案：(1)证明：因为DC=2BD,

所以同=诟+]而=荏+](而一而)=|AB+J^C,

又同E而，

所以方=:同+工前.

36

因为祠=mAB,AN=nAC>

所以而=」-祠+工前.

3m6n

又例，O,N三点共线，

所以:+白=1,

3m6n

即得"=3.

⑵解：由⑴知亲+*=1，

所以m+n=On+n)岛+£)E+会+合》打2=扛圣

当且仅当会=三时，取等号，

3m6n

所以m+n的最小值为工+也.

23

解析：本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查利用基本不等式求最值，考查学生分

析解决问题的能力，属于中档题.

(1)利用向量的线性运算，Ad^^AB+^AC,结合祠=/n荏，丽=n而得而=表祠+《前，

又M,O,N三点共线，得白+；=1即工+；=3.

3m6nm2n

(2)由⑴知++W=l，m+n=(m+n)(^+^)=i+^+^,利用基本不等式求解即可.

20.答案：(1)证明：因为疝6B-6A>

_X1>9_X9_91.9__7_,

所以靛06-OA.OA+；OB-OA=；OB；OA=；(OB-OA)=-AB,

333333

Z.AC//AB,

又.4?ah有公共点A

.•A、B、C三点共线；

(2)解：由A(l.cosx),B(1+sinx.cosx),xG[(1.J,

一1一2一2一

.OCOA+~OB(1+~sinx,cosx),AB(sinx.())，

JJJ

故|AB|=\/siii2xsinx,

__..9_.oo

从而f(x)=OA*O(j-(2nr+二)・|AD|==1+-sinx-f-cos2x-(2nr+isinx

•53•5

AAAA

=cos-x-2m-sinx+1=-siirx-2m~sinx+2

=-(sinx+m2)2+m4+2,

/.当sinx=1时,f(x)取最小值.

即_(1+m2)2+m4+2=j,

7.m2，=1,

4

,1

解析：本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于一般题.

(1)通过求证Mb//Ah，即可求证A,B,C三点共线；

(2)求出〃工)=-(sinx+in2)2+in1+2,利用正弦函数和二次函数的性质即可求解.

21.答案：解：（1）平行四边形A8C。中，通=%AD=b，CE=|CB,CF=|CD,

—,―，―►2—>1—,

・・・EF=CF—CE=-CD--CB

33

=--AB+-AD=--a4--d；

3333

⑵|五|=1,|b|=4，ZDAB60，

•••\EF\2=(-|a+1K)2=^a2-^a-b+^b2

——•x1x4xct)cs()(K+-=一,

9993

.•・固1=竽,

vZc=a4-K，

:.He-FE=(a+K)•(|a-

2-21--1-2

=-a+-a,b-qb

2.1..ii.

=——x1x4x------x4=-4.

3323

解析：本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积，属于中档题.

(1)根据向量的线性运算用向量乙方表示正直接求解即可；

(2)利用向量的关系，把正用向量五花表示，再结合(1)的结论利用向量的模和数量积的运算性质,

求解即可.

22.答案：解：(1)由已知，点A是线段BC的中点,

：.OA=^(OB+OC),

即力=：(石+炉)，

解得历=2a—b■,

由已知，OB=3OD=>OD=g而,

因此而=万+而=-OC+^OB=~{2a-b}+^b=-2a+^b■,

(2)vC,E,。三点共线，

••・存在实数m使得被=mOC+(l-m)OD

—zn(2a—b)+(1—m)•|b=2ma+1:，b,

又。，E,A三点共线，必存在实数;1,而=%万？=

由平面向量的基本定理，同一基底下，两种表达式的对应系数完全相等，

(2m=2(X=2m

故［誓=0=,=；=4=51，

所求实数;I的值为a

解析：本题考查平面向量的加减和数乘运算，考查平面向量的基本定理，属于中档题.

(1)由于点A是8c线段中点，可得函=)砺+灰)，可以解出瓦，利用加法的三角形法则，CD=

方+而利用已有结果整理即可；

(2)由C,E,。三点共线，根据向量共线定理存在实数"?使得南=m能+(1-m)前,另一方面

E,A三点共线，OE=XOA=Aa^根据平面向量基本定理，对应系数相等，由此即可得出结果.

23.答案：解：(1)•・,记=(cosB,cosC)，n={c,b—2a),

由钻•n=0,AccosB+(b-2a)cosC=0,

在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,

得sin(B+C)=2sirii4cosC,

即sinA=2sinAcosC,

又sinAH0,・••cost=而CG(0,兀)，，=热

(2)由而=前知，~CD-CA=CB-：＞2CD=~CA+CB，

两边平方得4|CD|2=b2+a2+2bacosZ.ACB=Z?24-a24-ha=28.①，

Xc2=a?+-2abcosZ.ACB,:.a2+b2—ab=12,②,

由①②得泌=8,SLABC=^absinZ.ACB=273.

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题.

(1)由沅•记=0,得ccosB+(h-2a)cosC=0,再由正弦定理和两角和与差的三角函数公式得sinA=

2sini4cosC,则cost1=5即可得出C的大小；

(2)由而=而知，得2而=瀛+而,两边平方得力2+小+=28,再由余弦定理得小+炉一

ab=12,联立可得〃方的值，即可得出△ABC的面积.

24•答案：解：⑴灰=南+阮=丽+2询=丽+2画-画=2成-丽=2五一石;

DC=OB+=：08+2(04—08)=204一：08=2万一：b.

(2)设方=〃反=2〃五一|〃丸

则诂=元+荏=2a-b+2na-^n~b=(2+2^)5-(1+|M)6,

X0£=A07=2a，

(2+2〃=4

%+冢=0'

解得"J.

解析：(1)根据平面向量加减运算的三角形法则进行表示；

(2)设方=〃反，用了范表示出赤，求出；I的值.

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理.

25.答案：解：(1)由题意知A,B,C三点满足而=1函+|而，

可得沅-07=|(0B-O4),

所以n=|南=|(尼+而)，

照前=|而，即前=2而，

则网=2\CB\,所以用=2；

(2)由题意，0C=|o2+|0F=^1+|cosx,cos%y

即审次1+*CUSJ*+cots%,

«J

又荏=OB—O^A=(cosx,0)，

即3科一(XISJ'I,

又％W[0,J

・・•函数/(%)=07-OC-(2m+|)•|AB|

=1+1cosx+cos2x—(2m+|)cos%=(cosx—m)2+1—m2,

vxe[0^],

・•・cosxG[0,1],

当m<0时,=/(])1,故此时g(m)=1,

当0<m<1时，当cosx=m时，f(%)取得最小值g(?n)=1-m2,

当m>l时，当cos%=1时，f(x)取得最小值g(m)=2—2机，

1,m<0

综上所述，g(〃，)=\1—nr.()W〃，W1，

[2—2m,rn>1

当m<0时，g(m)=1,

当OWmWl时，g(m)=1-机2在定义域内单调递减，

此时g(m)ma#=g(0)=1，

当巾>1时，g(m)=2-2m在定义域内单调递减，

此时gG)<g(i)=o,

综上函数g(?n)的最大值为1.

解析：本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性

质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

⑴由前=IAS=I(AC+CB),变形即可得到两向量模的比值；

(2)求出/'(X)=(COSX—巾)2+1-巾2,由xe[0,§,得COSX6[0,1],从而根据他的范围结合函数的

1,m<0

性质，分类讨论可得g(，〃)={I»r.()&mW1，进而可得函数g(m)的最大值.

、2—2rn,m>I

26.答案：解：(1)由市=/+2瓦，OB=aeT+4eJ>

由万?〃而，可得存在4使得函=2次

即a百+4定=2(可+26，解得a=2,即而=(2,4).

(2)若施=(3,