高考数学一轮复习第八章立体几何

§8.5空间向量及其应用

考纲解读

浙江省五年高考统计

考点考纲内容要求

20162017

18(文

10,517,4

8,5分)

分分9,4

7(文)(2),7

1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表20(2)20(2)分

分

示点的位置.19(

了解、5分14(文

1.空间角2.了解空间两点间的距离公式.9分8分2),

掌握18(文),

3.会用向量方法解决两异面直线所成角、直20(文20(文约

)4分

线与平面所成角、二面角的计算问题.))8

(2),817(2)

(2),5(2),8分

分

分分

8分

L了解空间向量的概念，了解空间向量的基本

定逑及芳意义,掌握空间向量的正交分解及其

坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运

用向量的数量积判断向量的共线与垂直.15,6

4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、分19,

2.综合应20,1520,1514,4

空间两点间的距离公式,并会解决简单的立体掌握17(2)15

用分分分

几何问题.分

5.理解直线的方向向量与平面的法向量.8分

6.会用向量语言表述直线与直线、直线与平

面、平面与平面的垂直、平行关系.

7.会用晌量方法证明直线和平面位置关系的

有关命题，了解向量方法在研究几何问题中的

作用.

分析解读1.空间角是立体几何中的一个突出的量化指标,是空间图形位置关系的具体体现,因此,空间角是

IWJ考的必考内容.

2.考查空间角的计算，既可能以选择题、填空题的形式出现,也可能以解答题的形式出现.以探索题、最值

问题考查空间角的计算,常以解答题的形式出现,空间角的计算主要是传统法和向量法.

3.在立体几何解答题中，建立空间直角坐标系（或取基底向量），利用空间向量的数量积解决直线、平面间的

位置关系、角度、长度等问题越来越受到青睐，特别是处理存在性问题、探索性问题、开放性问题等，比用传统

方法简便快捷,一直是高考的重点和热点.

4.预计2019年高考试题中，空间角的计算,空间向量在立体几何中的应用必是高考热点.复习时应引起高度

重视.

五年高考

考点一空间角

1.（2017浙江,9,4分）如图，已知正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P,Q,R分别为AB,BC,CA上的

BQCR

点,AP=PB,QC=R4=2.分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为a,B,丫，则（）

A.y<a<PB.a<y<0C.a<0<yD.0<y<a

答案B

2.(2014广东,5,5分)已知向量a=(l,0,T),则下列向量中与a成60°夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

答案B

3.(2014课标H,11,5分)直三棱柱ABC-A1BG中，ZBCA=90°,M,N分别是AB,AC的中点,BC=CA=CCi,则BM与

AN所成角的余弦值为()

12顿也

A.10B.5C.10D.2

答案C

4.(2016浙江文，14,4分)如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=击,ZADC=90".沿直线AC将4ACD翻

折成AACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是_______.

册

答案了

5.（2016浙江，17,15分）如图,在三棱台ABC-DEF中，平面BCFEJL平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

⑴求证:BF_L平面ACFD;

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

解析（1）证明：延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.

因为平面BCFE_L平面ABC,且AC±BC,所以,AC_L平面BCK,因此,BF1AC.

又因为EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以ABCK为等边三角形,且F为CK的中点，则BF±CK.

又ACCCK=C,

所以BF_L平面ACFD.

⑵解法一:过点F作FQ_LAK于Q,连接BQ.

因为BF_L平面ACK,所以BF1AK,则AK_L平面BQF,所以BQ1AK.

所以，ZBQF是二面角B-AD-F的平面角.

3.

在RtAACK中，AC=3,CK=2,得FQ=13.

37134739小

在RtZXBQF中,FQ=13,BF=悔,BQ=13，得cos/BQF=4.

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为4.

解法二:如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则易知ABCK为等边三角形.取BC的中点0,则K01BC,又平面

BCFE_L平面ABC,所以,K0_L平面ABC.以点0为原点,分别以射线OB,0K的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐

标系0-xyz.

[1,0,5(-1,0,^

由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,窗)，A(-1,-3,0),E[221卜22)

因此,(0,3,0),(1,3,悯，'^=(2>3,0).

设平面ACK的法向量为m=(xi,yi,zj,平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).

(AC•m=0,3yl=o,

由'5一°得

・…x+啊=

；AB_-n0,

，2X2+3y2=0,

x+3%+A/3Z=0,厂

；AK-n。得22?2

由-取n=(3,-2,悯.

m,n小

于是，cos〈m,n〉=|m"n=4.

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为4.

6.(2017课标全国II理,19,12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

1

ABCD,AB=BC=2AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中点.

⑴证明：直线CE〃平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

解析本题考查了线面平行的证明和线面角、二面角的计算.

1

⑴取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点，所以EF//AD,EF=2AD.

1

由NBAD=NABC=90。得BC〃AD,又BC=5AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE〃BF,又BFu平面

PAB,CEC平面PAB,故CE〃平面PAB.

⑵由已知得BA1AD,以A为坐标原点,4B的方向为x轴正方向，|4B|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,窗)，'Pel(1,0,-筋)，"=(1,0)0).

PM

设M.(x,y,z)(0<x<l),则BM=(x-l,y,z),=(x,y-1,z-柩).

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,

而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

)22.

所以|cos〈BM,n〉|=sin45°,_I)2+y2+z?=2,

即(x-l)2+y2-z2=0.①

又M在棱PC上，设嬴二人PC则

x=入，y=l,z=木-小人.②

由①②解得(舍去)，或

所以J2~21,从而儿U2-21.

设m=(xo,y0,z0)是平面ABM的法向量，

p•空二0,z(2-位居+2y0+A/6Z0=0,

则"=。,即t…

所以可取m=(0,2).

m•n^/10

于是cos〈m,n>=巾«l=5.

易知所求二面角为锐角.

炳

因此二面角M-AB-D的余弦值为5.

7.(2017北京理，16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD_L平面ABCD,点M在线段PB

上,PD〃平面MAC,PA=PD=而,AB=4.

⑴求证:M为PB的中点；

(2)求二面角B-PD-A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

解析本题考查面面垂直的性质定理,线面平行的性质定理,二面角，直线与平面所成的角等知识.考查用空间向

量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力.

⑴设AC,BD交点为E,连接ME.

因为PD〃平面MAC,平面MACn平面PDB=ME,

所以PD/7ME.

因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.

所以M为PB的中点.

(2)取AD的中点0,连接OP,0E.

因为PA=PD,所以0P_LAD.

又因为平面PAD_L平面ABCD,且OPc平面PAD,

所以OP_L平面ABCD.

因为OEc平面ABCD,所以OP±OE.

因为ABCD是正方形,所以0E1AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,返)，D⑵0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),⑵0,-g).

设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),

n•BD:0,

j4x-4y=0,

n-PD=0[x-=0.

即2

令x=l,则y=l,z=也.

于是n=(l,1,询.

平面PAD的一个法向量为p=(0,1,0).

n•p1

所以cos〈n,p>=nIp1=2.

由题意知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为3.

II3.2,

⑶由题意知,爪2,4,0),MC』

设直线MC与平面BDP所成角为a,

n•MC|

2A/6

则sina|cos<n,MC>|二nMC|

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为9.

8.(2017天津理,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA_L底面ABC,NBAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的

中点,M是线段AD的中点,PA二AC=4,AB=2.

⑴求证:MN〃平面BDE;

⑵求二面角C-EM-N的正弦值；

⑶已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为21,求线段AH的长.

解析本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几

何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

如图，以A为原点,分别以IX,1c,如1方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

,I

(n•DE=0,

II\n•DB=0,?!97、n

⑴证明：DE=(0,2,0)二⑵0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,贝八即设”2z一。不妨设

z=l,可得n=(l,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN・n=0.

因为MNC平面BDE,所以MN〃平面BDE.

I

伊2・EM=0,

ln2・MN=0.

(2)易知m=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n产(x,y,z)为平面EMN的法向量,则

।r-2y-z=0,

因为£”=(0,-2,-1),“'=(1,2,-1),所以口+2y-z=0.

不妨设y=l,可得n2=(-4,1,-2).

%•电4

nn

因此有cos<ni,n2>=i2=一

V105

于是sinVm,ri2>=21.

7105

所以,二面角C-EM-N的正弦值为k.

⑶依题意,设AH二h(0WhW4),则H(0,0,h),进而可得二(-1,-2,h)，谒二(-2,2,2).由已知,得

一"㈣J…豆81

|COS&H,£〉|=N*BE|#+5X2显五,整理得10*26+8=0,解得h工或h=5.

所以，线段AH的长为M或5.

9.(2016课标全国II,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD

5

上,AE=CF=4,EF交BD于点H.将ADEF沿EF折到△□'EF的位置,0D'=廊.

(1)证明:D'H_L平面ABCD;

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

解析(1)证明：由己知得AC_LBD,AD=CD.

AECF

又由AE=CF得AD=CD,故AC〃EF.

因此EF_LHD,从而EFID'H.(2分)

由AB=5,AC=6得DO=BO=7xfi2-A°2=4.

OHAE

由EF〃AC得。。=4。=4.

所以OH-1,D'H=DH=3.

于是D,H2+0H2=32+l2=10=D'02,故D'H±OH.(4分)

又D'H_LEF,而OHPEF=H,所以D'H_L平面ABCD.(5分)

(2)如图，以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-

，

l,0),B(0,-5)0),C(31-l)0),D(0,0,3),

4B=(3,-4,0),4C=(6,0,0),4。'=(3,1,3).(6分)

设m=(xi,ybzi)是平面ABD)的法向量,

m•AB3X]-4yl=0,

1

m•AD3X]+%+3z1=0,

所以可取m=(4,3,-5).(8分)

设n=(x2,y2,Z2)是平面ACD'的法向量,

所以可取n=(0,-3,1).(10分)

XV10=-25

sin<m,n>=25.

2项

因此二面角B-D'A-C的正弦值是25.（12分）

10.（2015陕西，18,12分）如图1,在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NBAD=2,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,0是AC

与BE的交点.将4ABE沿BE折起到AAiBE的位置,如图2.

⑴证明：CDJ_平面AiOC;

（2）若平面AiBE_L平面BCDE,求平面AiBC与平面A£D夹角的余弦值.

解析（1）证明：在题图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，ZBAD=2,

所以BE±AC.

即在题图2中,BE±0Ai,BE10C,

从而BE_L平面AiOC,

又CD〃BE,

所以CD_L平面AQC.

（2）因为平面AiBE_L平面BCDE,

又由（1）知，BElOAi,BE±0C,

所以NAQC为二面角A-BE-C的平面角，

7T

所以NAQC=5.

如图，以o为原点,建立空间直角坐标系，

因为AiB=AiE=BC=ED=l,BC〃ED,

所以B’

f.f.o'

Illil

,CD=BE=(—小,0,0).

设平面AiBC的法向量ni=(xi,ybzi),平面AiCD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面AiBC与平面AiCD夹角为。,

II

(n•BC=0,

-1(-X1+V1=°.

(ni,A]C=0,jy-z.=0,

则得(11HZn,=(1,1,1);

(n2•CD=0,

AjC=0,

从而cos0-1cos<ni,n：

即平面A,BC与平面A£D夹角的余弦值为3.

11.（2014福建，17,13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1,AB±BD,CD1BD.将4ABD沿BD折起,使得平面

ABD_L平面BCD,如图.

⑴求证:AB_LCD;

(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

解析(1)证明：I•平面ABD_L平面BCD,平面ABDCI平面BCD=BD,ABc平面ABD,AB±BD,

，AB_L平面BCD.

又CDc平面BCD,.1.ABICD.

⑵过点B在平面BCD内作BE1BD,如图.

由(1)知AB_L平面BCD,BEc平面BCD,BDc平面BCD,

.\AB±BE,AB±BD.

以B为坐标原点,分别以裾，'叱K的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

(0.H,

依题意，得B(O,O,O),C(1,1,O),D(O,1,O),A(O,O,1),M、22,

则bcL(1,1,0),嬴=(°,5,3,AD=(0,1,-1).

设平面MBC的法向量为n=(xo,yo,z0),

/II

(n,BC=0,

,\n•=0,

则

/%+%=°，

11

2y°*/=°，

即

取z0=l,得平面MBC的一个法向量为n=(l,-l,1).

设直线AD与平面MBC所成角为0,

_^AD'

I,,,I,—

则sin0=|cos<n,AD>\=n,AD|=3,

季

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为万

教师用书专用(12—27)

12.(2015四川，14,5分)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ

上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为。，则cos。的最大值为

2

答案5

13.(2017课标全国I理，18,12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP=NCDP=90°.

⑴证明：平面PAB_L平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,NAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

解析本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.

(1)由已知NBAP=NCDP=90°,得AB±AP,CD±PD.

由于AB〃CD,故AB_LPD,

又APClPD=P,从而AB_L平面PAD.

又ABc平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.

(2)在平面PAD内作PF_LAD,垂足为F.

由⑴可知,AB_L平面PAD,故AB1PF,

又ADAAB=A,可得PF_L平面ABCD.

以F为坐标原点，工,的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A'5°'°

/142,，2),小虑0,0)13{2,，2),定(0,1,0).

设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则

(也岖

「•普=。，一万x+y-万z=0,

In-CB=0,I圾=0.

即

可取n=两.

设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则

I(也也

(m-PA=0,万x-yz=0,

[m•加=0Iy=0.

即

可取m=(l,0,1).

n•m

则cos〈n,ni>="m\=-3,

易知二面角A-PB-C为钝二面角，

g

所以二面角A-PB-C的余弦值为-了.

14.（2015课标H,19,12分）如图，长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=16,BC=10,AAi=8,点E,F分别在AB,DC

上,AiE=DiF=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

£2

⑴在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）

⑵求直线AF与平面a所成角的正弦值.

解析（1）交线围成的正方形EHGF如图：

MH

(2)作EM1AB,垂足为M,贝！JAM=AiE=4,EM=AAi=8.

因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.

于是MH二而"2_EM?=6>所以AH=10.

以D为坐标原点,bl的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则

II

A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),眸(10,0,0),HE=(o,-6,8).

设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，

n•FE

n-ffilOx=0,

-6y+8z=0,

所以可取n=(0,4,3).

又AF二（-10,4,8）,故|cos<n,”〉|=InAF|=15.

4而

所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为记

TT

15.（2015重庆，19,13分）如图，三棱锥P-ABC中，PC_L平面ABC,PC=3,ZACB=2.D,E分别为线段AB,BC上的点,

且CD=DE=M,CE=2EB=2.

⑴证明:DEL平面PCD;

（2）求二面角A-PD-C的余弦值.

解析（1）证明：由PC_L平面ABC,DEc平面ABC,得PC±DE.由CE=2,为等腰直角三角形,故

CDIDE.

由PCnCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,

故DE_L平面PCD.

(2)由(1)知，ACDE为等腰直角三角形，ZDCE=4.如图，过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,

故FB=2.

TTDFFB233

由NACB=5得DF^AC,AC=BC=3I故AC=2DF=2.

以C为坐标原点,分别以MM炭的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

b,O,III­1>0

C(0,0,0),P(0,0,3),A、2<E(0,2,0),D(1,1,0),(1,-1,0),DP=(T,-1,3),加=\2

设平面PAD的法向量为m=(xi,ybzi),

xi-yx+3z1=o,

1

-x.一y1二o,

21

由m•DP=0,ni,D4=0,得故可取ni=(2,1,1).

由⑴可知DE,平面PCD,故平面PCD的法向量3可取为ED,即3二(1,T,0).

从而法向量nb3的夹角的余弦值为

nn

cos<ni,n2>=।i।।21=6,

又二面角为锐角，

故所求二面角A-PD-C的余弦值为6.

16.(2014安徽,20,13分)如图，四棱柱ABCD-ABCD中，AiA_L底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD〃BC,且AD=2BjC.

过Ai,C,D三点的平面记为a,BB,.与a的交点为Q.

(1)证明:Q为BBi的中点;

(2)求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比；

(3)若AAi=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大小.

BC

解析⑴证明：因为BQ〃AA“BC〃AD,BCClBQ=B,ADClAAi=A,

所以平面QBC〃平面AiAD.

从而平面AiCD与这两个平面的交线相互平行，即QC〃AD

故△QBC与AAiAD的对应边相互平行,于是△QBCS/XAIAD.

BQBQBCI

所以BBI=44=而旦即Q为BBl的中点.

(2)如图1,连接QA,QD.设AA,=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为V上和V

T,BC=a,则AD=2a.

图1

111

%-4AD=3X2•2a•h•d二3ahd,

1a+2a11

VQ-ABCD=3•2•d•2h=4ahd,

7

所以V下二%-xiAD+Vo-ABCD=12ahd,

3

17~

又”-ABCD=2ahd,

3711

所以V上=〃品?「ABCD-VT=2ahd-12ahd=12ahd,

LLH

故人=7

(3)解法一:如图1,在ZkADC中，作AE±DC,垂足为E,连接AEAC.

又DE_LAAi,且AAiAAE=A,

所以DE_L平面AEAi,于是DE±AiE.

所以NAEAi为平面a与底面ABCD所成二面角的平面角.

因为BC/7AD,AD=2BC,所以SAAI>C=2SABCA.

又因为梯形ABCD的面积为6,DO2,所以SAADC=4,AE=4.

44]IT

于是tanNAEAi="E=1,NAEAi=4.

IT

故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为4

解法二:如图2,以D为原点,0%的方向分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.

图2

设NCDA=0.

a+2a

因为s四边形ABCD=2•2sin0=6,

2

所以a二sin。.

从而C(2cos9,2sin0,0),

，4

—0,4

Ai

，4

----,0,4

所以DC=(2cos9,2sin。，0),叫」

设平面AiDC的一个法向量为n=(x,y,1),

,I__I4

DAn=x+4=0,

1sm9

DC-n=2xcos0+2ysin0=0,,

由得x=-sin0,y=cos9,

所以n=(-sin0,cos0,1).

又因为平面ABCD的一个法向量为m二(0,0,1),

n•m也

所以cos<n,m>=lnl1^1=2,

由图知平面a与底面ABCD所成二面角的平面角为锐角，

1T

故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为4.

17.(2014广东,18,13分)如图，四边形ABCD为正方形,PD_L平面ABCD,NDPC=30°,AF±PC于点F,FE//CD,交PD

于点E.

⑴证明：CF_L平面ADF;

⑵求二面角D-AF-E的余弦值.

AB

解析(1)证明：:PD，平面ABCD,

.\PD±AD,

又CD_LAD,PDACD=D,

・・・AD_L平面PCD,,・・AD_LPC,

又AFI.PC,AFGAD二A,

・・・PC_L平面ADF,即CF_L平面ADF.

(2)设AB=1,则RtAPDC中，CD=1,•・•NDPO30

・・・PC=2,PD二瓶由(1)知CF±DF,

©

；.DF=2,

1

；.CF=5,又FE〃CD,

DECF1书

；.PD=PC=4t,-.DE=4,

33

同理EF=4CD=4,

如图所示，以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),

小3\

—,一,0J

E,440),C(0,1,0).

设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,

柒=(,,o,-1)

EF=(0,|,0),

m_1_AE,

m±S,

则又

二V3

Tn-AE=_X_z=0,

4

3

m-EF=-y=0,

令x=4,得z=也故m=(4,0,”)，

由⑴知平面ADF的一个法向量为1Pel(-啊1,0),设二面角D-AF-E的平面角为0,可知。为锐角，

I..:G城2^572^57

cos0=|cos<m,pC>|=m-PC|=4历X2=19，故二面角D-AF-E的余弦值为19.

18.(2014北京，17,14分)如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱

PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

⑴求证:AB〃FG;

(2)若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.

解析(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB〃DE.

又因为AB。平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因为ABc平面ABF,且平面ABFC1平面PDE=FG,

所以AB〃FG.

⑵因为PA_L底面ABCDE,所以PA±AB,PA±AE.

如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(O,0,0),B(l,0,0),C⑵1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),&1=(1,1,0).

设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),

/I

(n•AB=0,

即

令z=l,则y=-l.所以n=(0,-1,1).

设直线BC与平面ABF所成角为a,

n•BC

-------1

则sina=|cos〈n,BC>|二।MlBCI=2.

Tt

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为W.

设点H的坐标为(u,v,w).

因为点H在棱PC上,所以可设二xW(0<x<1),

即(u,v,w-2)=A(2,1,-2).

所以u=2入，v=入，w=2-2人.

因为n是平面ABF的法向量,所以n-1川二0,

即(0,T,1)・(2入，X,2-2X)=0.

2(半

解得入=3,所以点H的坐标为口3'队

所以PH=

19.(2014陕西，17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四

面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

⑴证明：四边形EFGH是矩形；

(2)求直线AB与平面EFGH夹角e的正弦值.

解析(1)证明：由该四面体的三视图可知,

BD1DC,BD1AD,AD1DC,BD=DC=2,AD=1.

由题设知,BC〃平面EFGH,

平面EFGHn平面BDC=FG,

平面EFGHP平面ABC=EH,

，BC〃FG,BC〃EH,，FG〃EH.

同理,EF〃AD,HG〃AD,；.EF〃叫

四边形EFGH是平行四边形.

又YAD^DC,AD_LBD,；.AD_L平面BDC,

；.AD_LBC,；.EF_LFG,

四边形EFGH是矩形.

(2)解法一:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),

/廿二y

X

必(0,0,1),盛二(-2,2,0),必(-2,0,1).

设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),

VEF/7AD,FG/7BC,

IIII

An•。4=0,n,BC=0,

(z=0,

得iTx+Z"。坂.,],。)，

I

BA•n

I2炳

/.sin8=|cos〈B4,n〉|=出川H=加X也=5.

解法二:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),

VE是AB的中点，，F,G分别为BD,DC的中点，

(1,0,1)

得N2<F(l,0,0),G(0,1,0).

I(°»°>I)IIII

・・・*\2),FG=(-1,1,0),BA=(-2,0,1).

设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),

贝ljn・=0,n•FG=0,

(1

I?-0，

,I-x+y=0,

得取n=(l,1,0),

I

BA•n

―।----2炳

/.sin8=|cos〈B4n>|=仍""宿=而X例=5.

20.(2014四川，18,12分)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线

段BC上的点，且MN_LNP.

⑴证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

俯视图

解析(1)证明：如图，取BD中点0,连接AO,CO.

由侧视图及俯视图知，AABD,ABCD为正三角形，

因此AO_LBD,0C1BD.

因为AO,OCu平面AOC内，且AOC0C=0,

所以BD_L平面AOC.

又因为ACc平面AOC,所以BD±AC.

取B0的中点H,连接NH,PH.

又M,N分别为线段AD,AB的中点，

所以NH〃AO,MN〃BD.

因为AO_LBD,所以NH_LBD.

因为MN_LNP,所以NP_LBD.

因为NH,NPc平面NHP,且NHCNP=N,

所以BD_L平面NHP.

又因为HPc平面NHP,所以BD±HP.

又0C1BD,HPc平面BCD,OCc平面BCD,所以HP〃OC.

因为H为B0中点，故P为BC中点.

⑵如图，作NQ1,AC于Q,连接MQ.

由(1)知,NP〃AC,所以NQ_LNP.

因为MN±NP,所以NMNQ为二面角A-NP-M的一个平面角.

由(1)知，AABD,ABCD是边长为2的正三角形，所以A0=0C=\5.

由俯视图可知,AO_L平面BCD.

因为OCc平面BCD,所以AO±OC.

因此在等腰RtAAOC中,AC=

作BR_LAC于R

AB2-(-V迎

在4ABC中,AB=BC,所以BR=J=2.

因为在平面ABC内，NQ_LAC,BR±AC,所以NQ〃BR.

又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，

BR顺

因此NQ=2=4.

炳

同理,可得MQ=V,

MNBD

24晒

所以在等腰AHNQ中，cosZMNQ=W^=V.

Vio

故二面角A-NP-M的余弦值是5.

21.(2014天津，17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA_L底面ABCD,AD±AB,AB/ZDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为

棱PC的中点.

⑴证明BE1DC;

⑵求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点,满足BF±AC,求二面角F-AB-P的余弦值.

解析依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E

为棱PC的中点，得E(l,1,1).

(1)证明：向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE-DC=Q_

所以BE1DC.

⑵向量加=(T,2,0),‘PB=(1,0,-2).设n=(xi,ybz)为平面PBD的法向量，

[n•BD=0,

j□_(-x+2y=Q,

则二°，即iX_2z=0.不妨令y=i,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有

।-产2®

cos<n,BEy=\n\•|BE|=的X也=3.

也

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为了.

⑶向量b3(l,2,0),CPL(-2,-2,2),1C=(2,2,0),定(1,0,0).由点F在棱PC上,

IIII

设CF二人牝0W入WL

3

i^BF=BC+CF=BC+XCP=(1-2入，2-2入，2入).由BFJ_AC,得BF.AC=0,因止匕,2入)+2(2-2入)=0,解得人二4.故

俨］•些=0,(1；‘3

L.BF=0,

BF4222”设m=(xi,y»zj为平面FAB的法向量，贝『即一

不妨令Z1=1,可得ni=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则

二1°-2-33710

nn

cos<ni,n2>=li।l2l=V10X1二一10.

易知,二面角F-AB-P是锐角，

3匹

所以其余弦值为工鼠.

22.（2013辽宁，18,12分）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.

⑴求证:平面PAC_L平面PBC;

（2）若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.

解析（1）证明：由AB是圆的直径,得AC±BC,由PA_L平面ABC,BCc平面ABC,得PA±BC.

又PAnAC=A,PAc平面PAC,ACc平面PAC,所以BC_L平面PAC.

因为BCu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PAC.（6分）

⑵解法一:过C作CM//AP,则CM_L平面ABC.

如图，以点C为坐标原点.分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

因为AB=2,AC=1,所以BC=<3.

因为PA=L所以A(0,l,0),B(避,0,0),P(0,1,1),

故屋(啊0,0),/L(0,1,1).

设平面BCP的法向量为m=(x,y,z),

(CB,n1=0,

CP・%=0,

则

fV3x=0,

所以”二。，

不妨令y=l,则ni=(0,1,-1).

因为*1(0,0,1),^(A-1,0),

设平面ABP的法向量为n2=(xi,ybzi),

I

(AP,n2=0,

jAB•n9=0,

则

(4=0,

所以向f=°'

不妨令X1=1,则n2=(l,小,0).

■V6

于是cos<ni,n2>=2^=4,

<6

由题图可知二面角C-PB-A为锐二面角，故其余弦值为了.(J2分)

解法二:过C作CM_LAB于M,

因为PA_L平面ABC,CMc平面ABC,

所以PA±CM,

故CMJ_平面PAB.

过M作MN1PB于N,连接NC,

易知CN_LPB.

所以NCNM为二面角C-PB-A的平面角.

小3

在RtAABC中,由AB=2,AC=1,得BC=/,CM=2,BM=2.在RtAPAB中,由AB=2,PA=1,得PB=A/5.

因为RtABNM^RtABAP,

3

MN23击

所以1=而，故MN=10.

A/30<6

又在RtACNM中，CN=5,故cosNCNM=4.

<6

所以二面角C-PB-A的余弦值为了.