复数-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）【解析版】

专题04复数

<---------；

知识概要，

知识占一数系的扩充和复数的概念

1.复数的定义：形如〃+历（八6GR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=—l.

全体复数构成的集合叫做复数集.

2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即2=°+历（a、6GR）,这一表示形式叫做复数的代数形式,

与b分别叫做复数Z的实部与虚部.

3.复数相等的充要条件

设a、b、c、d都是实数，那么a+bi=c+di=a=c且b=d.

4.复数z=a+Z?i（a、%GR）,z=0的充要条件是a=0且。=0,a=0是z为纯虚数的必要不充分条件.

5.复数的分类

[a=0

（1）复数z=a+历（a,%WR）,z为实数o》=0,z为虚数=厚0,z为纯虚数oj/。.

（2）集合表示:

复数集（C）

6.共辗复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共钝复数，复数

的共规复数记作巳

知识占二复数的几何意义

1.复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数,

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样,

从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.

(2)若复数z=a+历5、(GR),则其对应的点的坐标是(a,b),不是(a,bi).

(3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z=a+齿色、6CR)可以用点Z(m份或向量0m表示.

复数z=a+历(a、6GR)与点Z(a,与和向量。彳的——对应关系如下:

复数z=a+bi(。力WR)

平而向量该

点Z(ab)

3.复数的模

复数z=a+历(a、66R)对应的向量为。2,则。2的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|=y/a2+b2

当6=0时，z的模就是实数”的绝对值.

4.复数模的几何意义

复数模的几何意义就是复数z=a+bi所对应的点Z(a,切到原点(0,0)的距离.

由向量的几何意义知，Z2|表示在复平面内复数Z］与Z2对应的两点之间的距离.

知识点三复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除的运算法则

设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d@R),则

(1)zi±z2=(a±c)+(b±d)i；

(2)zi•Z2=(ac—bd)+(ad+bc)i；

2.复数的加、减法几何意义及运算律

Z|、Zi、Z3《C,设龙I、灵2分别与复数zi=a+bi,Z2=c+di(。、b、c、dGR)相对应，且岳卜龙2不

共线

几何卜4

-op---------------J

意义

复数的和Z|+Z2与向量灵|+应2=旅复数的差ZI—Z2与向量应1—位=技1的坐标

的坐标对应对应

交换律Z1+Z2=Z2+Z]

运算律(Z]+Z2)+Z3

结合律

=Z1+(Z2+Z3)

3.复数乘法的运算律

对任意复数zi、Z2、z3ec,有

交换律Z-Z2=Z2，Z]

结合律(zrZ2)・Z3=zr(Z2Z)

分配律Z|(Z2+Z3)=Z]Z2+Z]Z3

【点拨】复数的有关性质

1.i"(〃6N*)的性质

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质:

i1=i,i2=­1,i3=i-i2=—i,i4=i3i=—ii=i,

从而对于任何"GN*,都有i4"+i=i4".i=(i4)".i=i,

同理可证i4"+2=-l,y+3=—i,i4"+4=l.

这就是说，如果〃eN*,那么有

;4n+l——；；4〃+2———1;4〃+3———;;4〃+4——i

1——1，1——1,1——1f1——1.

1-i

由此可进一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=-2i,TV7

2.1的三次虚根的性质

由方程/一1=0,得

-1+小i—1-小i

元]=1,12=2,X3=2•

若取3=幽鱼，则了二二1?应，有如下关系:

⑴/=CD3=1；(2)\+CD+CO2=0;

---------------11

(3)/2=CD；(4)co・CO=1；(5)CD=彳，co=^^；

5CD

⑹①3”=1,炉”+1=3,方〃一』6

3.共胡与模是复数的重要性质，运算性质有：

22

⑴Z]±z2=Z]±z2；(2)Zjxz2=z,xz2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)||z||-|z2||<|z,±z2|<|z]|+|z2|;

⑸|中21Tzi,㈤；唱唱♦

知识占四复数的三角形式及其运算

1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数2=。+6都可以表示成McosO+isin。)的形式，其中，r是复数z的模；。是以尢轴

的非负半轴为始边，向量0Z所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数z=a+hi的辐角，我们规定在0<0<2n

范围内的辐角。的值为辐角的主值，通常记作argz.NcosS+isin。)叫做复数2=。+〃的三角表示式，简称

三角形式.〃+历叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

2.复数三角形式的乘、除运算

若复数zi=〃(cosa+isina)，Z2=r2(cosOz+isin&),且z&2，则

(l)ziZ2=n(cos仇+isina)•/^(cosJz+isin仇)=

r\〃2[cos(。]+02)+isin(0i+&)]

zi门cos仇+isin仇

Q)Z2厂2cos02+isin&

[cos(4一02)+isin(仇一仍)].

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐

角所得的差.

《一•一・―・・•・・・・「

X胞考点速觉/

工潮考点精折/

-____________________J

考点01复数的概念

【典例1】（2023•高一课时练习）已知z=m+（〃7+，）（meR）,下列关于复数z的描述中，不正确的是（）

A.z不可能是实数B.z不可能是纯虚数

C.Rez-Imz>0D.Imz>2

【答案】D

【分析】根据复数的概念依次判断即可得出答案.

【详解】对A,w+-=0,即加+1=0无实数解，故z不可能是实数，故A正确；

tn

对B,加片0,故z不可能是纯虚数，故B正确；

对c,Rez-Imz="7（m+\）二/+1〉0,故C正确；

对D,Imz=/%+1~,当mvO时，ImzvO,故D错误，

m

综上，不正确的是D选项.

故选：D.

【典例2】（2023♦高一课时练习）已知复数z=cosa+icos2a（0<a<2兀）的实部与虚部互为相反数，则。

的取值不可能为（）

A.-B.—C.兀D.5兀

33

【答案】B

【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于COSQ的一元二次方程，解方程求得COSQ,

根据特殊角三角函数值和。的范围可求得结果.

【详解】由题意可得，cosa+cos2a=0,

/.2cos2a+cosa-1=0.

一1

cosa=-1或「.cosa=-

2

()<a<2兀

7T5兀

a=兀，一,—,

33

故选：B.

【总结提升】

(1)复数的代数形式：

若z=q+历，只有当a、6WR时，“才是z的实部，Z?才是z的虚部，且注意虚部不是历，而是/?.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理

解复数的概念.

(3)虚数单位i的性质

①产=T

②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.

③由于i2<0与实数集中a2K)(aeR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.

例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小.

考点02复数的分类

【典例3)【多选题】(2022•全国•高一假期作业)下列说法中正确的有()

A.若aeR,则(〃+l)i是纯虚数

B.若l+(f+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±l

C.若a40,则z=〃-从+(a+|a|)i(a,8eR)为实数

D.若a,beR,且a>b,则历2>工

【答案】CD

【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当a=—1,可得的(a+Di=0不是纯虚数，故A错误；

对于B中，当x=—1,可得W+3x+2=0,此时丁―l+(V+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误；

对于C中，当a40时，可得|a|+a=0,所以z=/-〃为实数，所以C正确;

对于D中，由i2=—1，且所以历2>32,所以D正确.

故选：CD

【典例4】(2022春・山东临沂•高一校考阶段练习)已知复数z=m(〃L3)+(m-3)i,其中i为虚数单位.若z满

足下列条件，求实数用的值：

(l)z为实数；

(2)z为纯虚数；

(3)z在复平面内对应的点在直线y=x上.

【答案】(1)帆=3；

(2)m=0；

(3)tn=1或桃=3.

【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0,虚部不为0；点在直线y=x上，其实部与

虚部相等；

(1)为实数，二，"-3=0,解得：加=3；

pw(/n-3)=0,

<=>zn=0

(2)为纯虚数，⑺-3二0,.

(3)z在复平面内对应的点在直线y=x上，

机(加一3)=机-3=机=1或帆=3.

【总结提升】

1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，

其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并''还是"交”，非常关键，解答后进行验算是

很必要的.

2.形如历的数不一定是纯虚数，只有限定条件6GR且厚0时，形如历的数才是纯虚数.

考点03复数相等

【典例5】(2023•高一课时练习)若共物复数为>满足。+}92-3顼=4-&,则x,y共有组解.

【答案】4

【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.

【详解】设x=a+历,则y=a-砥a,beR),

V(x+>,)2-3孙i=4-6i,

(a+bi+a-bi)2-3(a+6i)(a-6i)i=4面-3,2+")i=4-6i,

4/=4,/=i,

3(a2+b2^-6[b2=1."

...共有4组解.

故答案为：4.

【总结提升】

复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实

部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解.

考点04复数的几何意义

【典例6】(2022•高一单元测试)已知i为虚数单位，则复数-2+3i在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由复数的几何意义即可求出答案.

【详解】-2+3i在复平面所对应的点为(-2,3),位于第二象限.

故选：B.

【典例7】(2023・高一课时练习)在正方形OMNP中，若OM对应的复数为l+2i,则NP对应的复数为.

【答案】-l-2i

【分析】在正方形。MNP中，NP=-OM，根据向量与复数的关系即可求出结果.

【详解】因为OM对应的复数为l+2i,所以OM=(1,2)

在正方形OMNP中，NP=-OM=(-1,—2)

则NP对应的复数为-l-2i

故答案为：-l-2i

【总结提升】

1.复数的几何意义包含两种：

(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点

的横坐标、纵坐标.

(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点

对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.

2.有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出

复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.

考点05复数模的计算

【典例8】(2022春•黑龙江・高一哈九中校考期中)已知i为虚数单位，复数z=l+i,则下列命题不正确的是

()

A.z的共朝复数为彳=1TB.z的虚部为i

C.z在复平面内对应的点在第一•象限D.|z|=V2

【答案】B

【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.

【详解】由题知，复数z=l+i=(l,l)的共班复数为三=l-i,虚部为1,在复平面内对应的点为(1,1)在第一

象限，|z|=』,故B错误

故选：B

【典例9】已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.

【答案】

【解析】设z="+%i(a,〃6R),代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a,h.

解法一：设z=a+4(a、&GR),则忆|=Ja2+=2,

代入方程得a+bi+y/a2+b2=2+8i,

a+J/+b2=2a=-15

・・.17,解得1..・.z=—15+8i.

b=8[b=8

解法二：原式可化为z=2一|z|+8i,

•••|z|6R,；.2一0是z的实部，于是|z|=J(2—|z|)2+82,

即|Z|2=68-4|Z|+|Z『,；.|Z|=17.

代入z=2一|z|+8i得z=-15+8i.

【总结提升】

计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但

它们的模可以比较大小.

考点06复数的四则运算

【典例10】（2022春•山西吕梁・高一校联考期中）设iz=4-3i,则复数Z=（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】A

【分析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：z=—=^^=—=-3-4i.

ii2-1

故选：A.

【典例11］（2023•高一课时练习）若（a-2i）（2+i）=b-i（a典牧R,i为虚数单位）,则储+/=

【答案】73

【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出”,〃得解即可.

［详解】因为（“_2i）（2+i）="_io2a+2+（a_4）i=b_i,

2a+2-b

所以解得a=3力=8,

a—4=—1

贝=9+64=73.

故答案为：73

【总结提升】

复数四则运算的解题策略

（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.

（2）复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共朝复数，即分母实数化.

（3）在含有z,z,|z|中至少两个的复数方程中，可设z=a+bi,a,b《R,变换方程，利用两复数相等的

充要条件得出关于a,b的方程组，求出a,b,从而得出复数z.

（4）注意应用：①（1土i）2=±2i；②JW=i，*=—力

考点07共朝复数

l-2i

【典例12］（2022春.河南洛阳.高一校考阶段练习）设复数z=——（i为虚数单位），则在复平面内W对应

1

的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求得z,从而求得），进而求得结果.

【详解】复数2=匕2=业包=出=-2-i,故2=—2+i,对应点的坐标为（-2,1）,位于第二象限.

iii-1

故选：B.

【典例13】(2023•贵州贵阳•统考模拟预测)已知li是虚数单位，复数(l-2i)2的共朝复数的虚部为()

A.4iB.-3C.4D.-4

【答案】C

【分析】利用复数乘方运算得到(l-2i)2=-3-4i,从而得到(l-2i)2的共轨复数及其虚部.

【详解】(l-2i)2=l-4i+4i2=l-4-4i=-3-4i,

故复数(l-2i)2的共辗复数为-3+4i,故共扼复数的虚部为4.

故选：C

【总结提升】

1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共辄复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代

数形式，再写出其共貌复数.

2.注意共舸复数的简单性质的运用.

考点08复数加减运算的几何意义

【典例14】(2023•高一课时练习)复平面上给定四个点O,A8,C可以构成一个平行四边形，其中四个点对

应的复数分别为z0=0,zA=l+i,2c=3+2i,则分=.

【答案】4+3i或-2-i或2+i

【分析】根据复数求对应点,再应用。，48,C构成平行四边形，分情况计算即可.

【详解】因为z0=0,z“=l+i,zc=3+2i,又因为O,A,5,Cu]■以构成一个平行四边形，分情况可得

当OABC为平行四边形，则%=+Zc=l+i+3+2i=4+3i；

当O54C为平行四边形，则z4=+z—即ZR=z「zc=l+i—(3+2i)=-2—i

当O3C4为平行四边形，则Zc=ZN+Z“，即Zp=Zc—z.=3+2i—(l+i)=2+i

故答案为：4+3i或-2-i或2+i

【典例15]已知|zi|=|Z2|=|zi—Z2|=l,求|zi+z2|.

【答案】V3

【解析】设出Z|、Z2,将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解.

解法一：设zi=a+bi,Z2=c+di(a、b、c、dWR),

V|zi|=|z2|=|zi-22|=b

C.cr+lr—c^-^cf-X,①

(a-c)2+(b—d)2=I,②

由①©得2ac+2bd=l.

22=百

|Zj+z2|=y/(a+c)+(b+d)

解法二：作出zi、z2对应的向量QZ|、0Z；,

则ZI—Z2对应Z,Z1,

|zi|=|z2|=1)7；OZ]、0Z,共线，

则|zi-zzLRZ]|=2或0,与已知矛盾.

与不共线.

•••OZ\OZ2

又|Z1|=|Z2|=|Z1—Z2],

.♦.△OZ|Z2为等边三角形.

.../Z|OZ2=60°,

设ZI+Z2对应向量OZ,则NOZiZ=120°,

二在AOZiZz中，由余弦定理得：

|<9Z|=Vl2+l2-2xlxlxcosl20°=^12+12-2xlxlx(-1)=5/3.

【总结提升】

1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量

加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决.

2.若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理.

例如关系式|ZI+Z2|=|ZI—Z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形0AC8为矩形.，

考点09复数的三角形式及运算

【典例16】(2021•全国•高一课时练习)将复数z=-26+2i化成三角形式是.

【答案】4(cos：7t+isin：k)

【分析】

由概念求出模长『和辐角9,再根据z=r(cos0+isin。)即可求解

【详解】

模长|Z|=J(-2G)2+22=4,设辐角为仇tane=T，且点(-26,2)在第二象限，得辐角主值为"故

(5..5)

I66J

故答案为：4(cos，+isin"

I6o

ITTTJTIT

【典例17](2021•全国•高一课时练习)6(cos—+isin—)-e-2(cos—+isin—)=

3366

【答案】挈+ji

【分析】

根据复数的三角形式的运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】

根据复数的三角形式的运算法则，可得:

7T兀兀九67t7T7T兀

6(cos-+isin—)+2(cos—+isin—)=--[cos(------)+isin(-------)]

336623636

=3.(cos-+isin-)=—+-i

6622

3+3.

故答案为:------F—1

2---2

【总结提升】

1.复数的代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模.

(2)决定辐角所在的象限.

(3)根据象限求出辐角.

(4)求出复数的三角形式.

2.提醒:

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2m的整数倍.

(2)复数0的辐角是任意的.

(3)在0&9<2兀范围内的辐角0的值为辐角的主值，通常记作argz,且OWargz<2n.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

(5)一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一

定取主值.

3.三角形式称、除法：

(1)乘法法则：模相乘，辐角相加.

(2)除法法则：模相除，辐角相减.

(3)复数的n次幕，等于模的n次幕，辐角为n倍.

拓广：

(1)有限个复数相乘，结论亦成立.

即zi-Z2...zw=n(cosa+isin0i)-r2(cos仇+isin仍)(cos仇+isin0tJ)=n-r2...6I[COS(0I+02+...+fti)+isin(0i

+优+…+0,j)]•

(2)当zi=Z2=...=z”=z时，即r\=n=...=rft=r,…有z〃=[r(cosJ+isine)]"=/(cos

+isin^）,这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角〃倍.

考点10复数的三角形式运算的几何意义

【典例18]在复平面内，把复数3—小i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋错，求所得向量对应的

复数.

【答案】-2小i.

【解析】因为3—小i=2小（乎—=）=2小（cos/t+isiiry

所以2同COS^TI+isin-iXcos楙+isiny^

=2V^[cos(%+§+isin(-31n

石兀+1?

=2#(cos卷兀+isirr^it)

=2网(兀I..兀

cos^+isin^

=3+小i

2s(cos*y■兀+isiiry■兀)x[cos|7T+isin(-凯

=2利cos(}-9+isin借V)]=2呵cos|n+isin旅)=-2小i.

故把复数3—小i对应的向量按逆时针旋转争导到的复数为3+^31,按顺时针旋转争导到的复数为一2小i.

【规律方法】

―>—►

两个复数zi，Z2相乘时，先分别画出与Z1,Z2对应的向量OZ”OZ2,然后把向量OZ|绕点。按逆时针方向旋

—►—>

转角仇如果。2<0,就要把OZl绕点。按顺时针方向旋转角|打，再把它的模变为原来的「2倍，得到向量OZ,

OZ表示的复数就是积ZIZ2.

考点11复数的综合问题

【典例19]（2023•高一课时练习）已知复数z=cosa+icos2a（0<。<2兀）（i为虚数单位）的实部与虚部互

为相反数，则a的取值不可能为（）.

7Tc2兀-c5兀

A.—B.—C.兀D.—

333

【答案】B

【分析】由已知得到cosa+cos2a=0,解出cosa,对选项逐一验证即可.

【详解】由已知可得cosa+cos2a=0,即2cos^c+cosa-1=0,

解得cosa=-1或coscr=—

2

计算选项中的三角函数可得，

7i12n115兀I

COS—=-,COS一=一一,COS7l=-l,COS—=~

323232

故选：B.

【典例20】（2023•高一课时练习）已知4、Z2GC,且|zj=l,^z,+z2=2i,则匕-z21的最大值是（）.

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】设4=“+万，得至U/+〃=i,Z2=-a+（2-b）i,计算得到|z「Z21=应筋，根据范围得到最值.

22

【详解】设4=。+仇（a,beR）,㈤=1,tha+b=1»zt+z2=2i,则z2=—a+（2—A）i,

14-Z21=|2“+（26-2）i卜J（26-23+（2a）2=sj4b2-8b+4+4a2=18-81,

当6=-l时，匕-22|有最大值为4.

故选：C

【典例21】（2023•高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点Z-Z2,Z3,其对应的复数为4,z2,

Z3.若|Z|-Z2|=6|Z|+Z3|=6,则△ZZ2Z3的面积S=.

【答案】立或立

24

【分析】由题意可知㈤=|即=闫=1,根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出NZQZl120°、

：

ZZ,OZ3=60,进而分类讨论当OZ2与（9Z3反向、线段。Z.3在的内部时的面积，即可求解.

【详解】由题意知，归|=|221Tz31=1,

由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得

cosNZ0Z,=㈤+忆二卜_z?|=_J_即/aOZ2=120",

-2㈤忆I2

Z+

cosZZ,OZ3=-.I!AL=L即NZ0Z3=60°,

2|zirlz3|2

当线段或3在NZQZ2的内部时，S，x也乂1=昱,

224

所以△ZZzZ的面积为正或且.

24

故答案为：B或显.

24

【典例22］（2023•高一课时练习）设复数4是方程/-6》+25=0的一个根.

⑴求z”

⑵设Z2=a+i（其中i是虚数单位，awR）,若z2的共辗复数］满足中•司=⑵石，求z）

【答案】（l）3+4i或3—4i；

（2）3±4i.

【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；

C2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得。=±2,进而即得.

【详解】（1）因为f-6x+25=0,

所以△=（-6）2-4x25=-64,

所以X=四回=3±4i,

2

所以4=3+4或Z]=3-4i；

(2)由z?=a+i,可得z2=a—i,

当4=3+4i时，3.司=卜+町.(4—i)卜1256,

所以125以+1=125石,解得a=±2.

当a=2时，z：=(2+ip=3+4i,

当a=-2时，z^=(-2+i)2=3-4i.

<---------

真题探秘/

1.(2022♦全国•统考高考真题)若z=-l+后,则二J=()

zz-1

A.-1+^iB.-1-V3iC.®D.」力

3333

【答案】C

【分析】由共聊复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-1-5/31,z7=(-l+^i)(-l-^3i)=1+3=4.

z—1+I\/3.

----------=----------------=--------1--------1

ZZ-1333

故选：C

2.(2022•全国•统考高考真题)已知z=l-2K且z+应+人=(),其中mb为实数,则()

A.a=l,b=—2B.a=—1/=2C.a=l,b=2D.a=-l,b=-2

【答案】A

【分析】先算出z，再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2Z

z+应+〃=1-2i+a(l+2i)+〃=(1+a+〃)+(2a-2)i

由z+aN+〃=(),结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,

1+〃+/?=0a=l

得，即

2a-2=0b=-2

故选:A

一、单选题

1.（2022春・河南洛阳•高一校考阶段练习）复数z满足iz=3+2i,则它的虚部为（）.

A.-3B.3C.2D.-3i

【答案】A

【分析】先求出复数z,在分析它的虚部即可.

【详解】由iz=3+2i,

3+2i（3+2i）•（-i）

所以z=——J.J.；2-3i,

ii（-i）

所以复数z的虚部为：-3,

故选：A.

2.（辽宁省营口市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）复数z满足z=?+3i（i是虚数单位），则z

的共辗复数三对应的点在复平面内位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的运算求复数z的代数形式，根据共辗复数的定义求三，根据复数的儿何意义确定三在复

平面上的对应点的坐标，由此确定其象限.

【详解】因为z=二与1+3i=-l+i,

所以W=-l-i，

所以［在复平面上的对应点的坐标为（-1,-1），点（-1,-1）位于第三象限.

故选：C.

二、多选题

3.（2022春•广西百色•高一校考期中）若复数z=x+yi（x,yeR），且满足Iz-4i|=|z+2|,则匚〉的值可为（）

A.x=y=lB.x=；,y=l

C.x=1,y=-D.x=2,y=—

22

【答案】AD

【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得x+2y=3,分析选项即可得答案.

［详解］解：；|z一4i|=|z+2］,z=x+yi(x,yeR)

.-.|A-+(>'-4)i|=|(x+2)+>i|,

x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,

.'.x+2y-3

的值符合条件的只有选项A,D.

故选：AD.

4.(2023・吉林・统考二模)已知复数z=l+i,则下列说法正确的是()

A.z的共扼复数是>i

B.z的虚部是i

C•一=1

z

D.若复数z。满足％-z|=l,则％|的最大值是0+1

【答案】AD

【分析】利用共轨复数的定义可判断A选项：利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选

项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为z=l+i,则］=IT，A对；

对于B选项，复数z的虚部为1,B错；

对于c选项，三z七1+1=£+：).、咛2=»c错；

对于D选项，令4=x+yi,(x,yeR),则区_2「=(x—l)2+(y_l)2=1,

即z0在圆心为(1,1)半径为1的圆上，而％|表示圆上点到原点的距离，

山圆心(LD到原点的距离为正，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为a+1,D对.

故选：AD.

三、填空题

5.(2023♦高一课时练习)若空2+i=0(a,6eR),则a=,b=.(其中i是虚数单位)

【答案】10

【分析】先化简题给条件，再利用复数相等列关于“、力的方程组，解之即可求得4、人的值

空%i=9型+i=0

【详解】ii-(-i)I)

1-«=067=1

则《hn，解之得

£7=06=0

故答案为：1;0

6.（2023•高一课时练习）已知ABC顶点的直角坐标分别为A（",4）,8（0力），C（c,0）,若虚数x=2+ai（a>0）

是实系数一元二次方程x2-cx+5=0的根，且2A是钝角，则实数6的取值范围是.

131616

7,+8

【答案】Z,T

【分析】根据条件求出a，。的值，然后由AB-AC<0可得答案，注意排除A8,A。共线的情况.

【详解】由已知，虚数x=2-d也是实系数一元二次方程/一6+5=0的根,

(2+ai)+(2-ai)=c

所以解得。=1>0,c=4,

(2+ai)(2—ai)=5

则A、。的坐标为4（1,4为C（4,0）,

所以48=（-1,8一4）,AC=（3,-4）»因NA是钝角，AB-AC=13-4b<0解得

4

乂当"，AC共线时有4=3。—4）,即〃=g.

所以匕的取值范围是借m印+。）.

故.壮答生案为、1：（仁13与16卜、日（16,+可、

四、解答题

7.（2023・高一课时练习）已知复数4、Z2满足团=㈤=1,K|Z（+Z2|=V2.求卜一2]的值.

【答案】41

【分析】由题意求出z£=Z2Z=l和zg+Z2W=0,再对|z「Z2|平方代入即可得出答案.

【详解】因为闵=同=1,所以Z]Z]=z2z2=\.又L+Z2I=正，

所以(4+Z2”]+Z2=2,

所以(Z1+Z2),+Z2)=2,所以Z1W+z2z,=0.

因为忆I-Z2『=（z,-z2）z,-z,=（Z|-z2）^zt-z2^=ztz}+z2z2-zlz2-z2z]=2,

所以|Z1—Zzl=0.

故答案为：V2.

8.（2022春•山西吕梁•高一校联考期中）已知复数4满足（l+i）z=-l+5i,Z2=“-2-i,其中i为虚数单位，

aeR,若上112卜团，求。的值.

【答案】1或7.

【分析】化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共辗复数即可得到4,根据模长之间的关系，得到

关于。的方程，解出。的值即可.

-l+5i（-l+5i）（l-i）—

【详解】解：4=「-=\公」=2+3i,z2=a-2-i,z2=a—2+i,

14-1+/

所以卜[-z2]=|（2+3。一（4一2+以=|4-〃+2i|=J（4-a）2+4,

乂因为团=万，卜1-22卜同，

所以J（4-a）2+4=Vii,

所以/-84+7=0，解得a=l或a=7.

所